预习11讲双曲线2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）预习11讲双曲线（精讲+精练）①双曲线的定义及其应用②双曲线的几何性质③求双曲线的标准方程④双曲线的渐近线⑤双曲线的离心率一、双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.二、双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.三、双曲线的简单几何性质标准方程（）（）图形性质范围或或对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标，,渐近线离心率，，a，b，c间的关系四、等轴双曲线（，）当时称双曲线为等轴双曲线①；②离心率；③两渐近线互相垂直，分别为；④等轴双曲线的方程，；五、直线与双曲线的位置关系1、代数法：设直线，双曲线联立解得：（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若，时，，直线与双曲线相交于两点；时，，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；相切不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点；六、弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则为直线斜率2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.①双曲线的定义及其应用策略方法双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系．【题型精练】一、单选题1．（2324高二上·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对【答案】D【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.【详解】因为、，所以，而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线.故选：D2．（2324高二上·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（

）A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【答案】C【分析】由双曲线的定义求解.【详解】由题意可知，，，若，则或9．故选：C3．（2324高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】B【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得.【详解】双曲线的，由双曲线的定义可得．因为，所以，得或17，若，则在右支上，应有，不成立；若，则在左支上，应有，成立．故选：B．4．（2324高二上·广西南宁·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】由双曲线的性质求出即可.【详解】方程表示双曲线，因为恒成立，所以，解得，故选：A．5．（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助双曲线定义计算即可得.【详解】由双曲线定义可知：，则三角形的周长为，故.故选：D.6．（2324高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（

）A．8或20 B．20 C．6或22 D．22【答案】B【分析】根据中位线的性质和双曲线的定义，即可求.【详解】由双曲线方程可知，，，设双曲线的右焦点为，中，点分别是的中点，所以，则，又因为.故选：B②双曲线的几何性质策略方法处理双曲线的简单几何性质问题思路处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．【题型精练】一、解答题1．（2324高二上·新疆喀什·期末）求双曲线C：的焦点坐标、实轴长、虚轴长、渐近线方程和离心率．【答案】答案见解析【分析】根据双曲线的标准方程可得结果.【详解】由标准方程知焦点在x轴上，且，所以，故焦点坐标，实轴长，虚轴长，渐近线方程，离心率，故双曲线的焦点坐标，实轴长，虚轴长，渐近线方程，离心率.2．（2324高二上·陕西渭南·期中）求双曲线的实轴和虚轴长，焦点和顶点坐标，离心率和渐近线方程.【答案】答案见解析【分析】j将双曲线方程变形为标准方程，再写出答案即可.【详解】双曲线，则标准方程：，则，故实轴长：；虚轴长：；焦点坐标：，；顶点坐标：，，离心率：,渐近线方程：.二、单选题3．（2324高二上·辽宁抚顺·期中）双曲线的一个焦点是，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】先将抛物线方程化为标准形式，从而根据平方关系即可得解.【详解】由题可知双曲线的焦点在y轴上，所以，则双曲线的标准方程为，所以，解得．故选：C.4．（2324高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，解得即可.【详解】由双曲线实轴长为，有，又，.故选：A.5．（2324高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（

）A．4 B． C． D．1【答案】C【分析】将双曲线方程转化为标准方程，根据实轴长与虚轴长相等列方程来求得的值.【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得.故选：C6．（2324高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线与，有（

）A．相同的离心率 B．公共焦点C．公共顶点 D．公共渐近线【答案】D【分析】根据双曲线的离心率、交点、顶点、渐近线等知识确定正确答案.【详解】双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，所以BC选项错误.双曲线对应，对应离心率为，渐近线方程为.双曲线对应，对应离心率为，渐近线方程为，所以A选项错误，D选项正确.故选：D7．（2324高二上·广东广州·期末）若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为（

）A．25 B．16 C．5 D．4【答案】C【分析】求出双曲线的焦点坐标，再根据题意即可得解.【详解】双曲线的焦点为，因为椭圆（）与双曲线的焦点相同，所以，解得.故选：C.8．（2324高二上·江苏·阶段练习）若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据题意写出焦点在轴的双曲线的标准方程，再根据该双曲线为等轴双曲线写出满足的条件，解得即可.【详解】由于双曲线是焦点在轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为，又因为双曲线为等轴双曲线，所以，解得.故选：.③求双曲线的标准方程策略方法求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．【题型精练】一、解答题1．（2324高二上·广东清远·阶段练习）求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在轴上，焦距为10，；(2)渐近线方程是，虚轴长为4.【答案】(1)(2)或【分析】（1）先判断焦点在轴上，再根据双曲线的性质即可求解；（2）根据双曲线的性质，分焦点在轴或焦点在轴两种情况，计算即可求解.【详解】（1）由题意得，解得，，则，所以双曲线的标准方程为.（2）由题意，当双曲线焦点在轴上时，，解得，，所以双曲线的标准方程为；当双曲线焦点在轴上时，，解得，，所以双曲线的标准方程为.综上所述，双曲线的标准方程为或.2．（2324高二上·陕西咸阳·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)一个焦点为，且离心率为；(2)经过两点.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的焦点位置，结合双曲线离心率公式进行求解即可；（2）利用待定系数法进行求解即可.【详解】（1）依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且，又，故其标准方程为.（2）设双曲线方程为，把点与点代入，有，解得，故所求双曲线的标准方程为：.3．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，经过点，焦点在轴上；(2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为.【答案】(1)(2)【分析】结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程.【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以可设双曲线的标准方程为，由，经过点，可得，解得，故双曲线的标准方程为；（2）椭圆的两个焦点为、，故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，令，即有，解得，故有，解得，故双曲线的标准方程为.4．（2324高二上·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等；(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根据题意求出即可；（2）设所求双曲线的方程为k（），代入点求出k即可.【详解】（1）过点（2，0），可知所求双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，因为所求双曲线与双曲线1的离心率相等；所以e，解得c，所以b1，所以双曲线方程为1．（2）与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2），则可设所求双曲线的方程为k（），把点M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2．所以所求双曲线的标准方程为1．5．（2324高二上·全国·课后作业）已知等轴双曲线经过点，且对称轴都在坐标轴上，求它的标准方程．【答案】【分析】依题意设双曲线方程为，代入点的坐标求出的值，即可得解.【详解】依题意设双曲线方程为，因为等轴双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.6．（2324高二上·四川南充·阶段练习）解答下列两个小题：(1)双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程；(2)已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出其焦点坐标，确定的值，再根据双曲线的实轴长确定的值，然后求出，可写出双曲线标准方程；（2）根据双曲线有相同的渐近线设方程，代入已知点的坐标，可求双曲线的标准方程.【详解】（1）对椭圆，因为，所以，所以焦点为，在轴上，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的标准方程为；（2）双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以所求双曲线方程可设为：又双曲线经过点，代入方程，，即,双曲线的标准方程为即.④双曲线的渐近线策略方法求双曲线渐近线方程的方法求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x；或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x．【题型精练】一、单选题1．（2324高二下·陕西安康·期末）双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据双曲线方程直接求解即可【详解】由，得，所以，即双曲线的渐近线方程为.故选：A2．（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】写出等轴双曲线方程，根据方程即可求出其渐近线方程.【详解】由题意，若等轴双曲线方程为，则，则其渐近线方程为；若等轴双曲线方程为，则，则其渐近线方程为，综上，等轴双曲线的渐近线方程为.故选：C3．（2324高二下·山西长治·阶段练习）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】分别求出两双曲线的渐近线方程，由题意列式计算即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以，所以.故选：C4．（2324高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】双曲线的渐近线方程为，离心率，由于，由离心率和渐近线斜率平方，可得出两者之间的关系即可解题.【详解】曲线的渐近线方程为，因为双曲线C的离心率为，所以.两边平方，即，又，所以.解得，则.故双曲线C的渐近线方程为．故选：C.5．（2324高二下·吉林·期中）若圆M：与双曲线C：的渐近线相切，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据渐近线的公式写出直线方程，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.【详解】双曲线C的渐近线方程为，不妨取，点M到直线的距离为，因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以．故选：A6．（2324高二上·福建漳州·期末）已知，为双曲线的两个焦点，为虚轴的一个端点，，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，结合求出可得答案.【详解】如图，因为，所以，可得，即，可得，则的渐近线方程为.故选：A.

⑤双曲线的离心率策略方法求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．【题型精练】一、单选题1．（2324高二上·甘肃武威·阶段练习）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】由双曲线方程结合离心率列方程求参数值.【详解】由双曲线，得，所以，则，解得.故选：B2．（2324高二下·湖北恩施·期中）已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】根据其渐近线方程列出方程，即可求得离心率.【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，依题意，，则其离心率为故选：B.3．（2324高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知双曲线的渐近线与轴的夹角为，则此双曲线的离心率为（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线标准方程得出渐近线，再由渐近线与轴夹角即可求出，然后利用双曲线中的关系式，即可求出离心率.【详解】由题知，双曲线方程为，则渐近线为，因为渐近线与轴的夹角为，所以，即，又，所以，.故选：C4．（2324高三下·江苏南通·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据综合条件，结合双曲线定义，利用余弦定理计算即得.【详解】令双曲线的焦距为，依题意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以双曲线C的离心率为.

故选：C5．（2324高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且，运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道，即，解得，故离心率为：.故选：C.6．（2324高二下