新疆乌鲁木齐市第126中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

新疆乌鲁木齐126中2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题，每小题4分）1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x22．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+1＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣4）2＝16 C．（x﹣4）3＝7 D．（x﹣4）2＝153．（4分）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根4．（4分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（）A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝4685．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（）A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝26．（4分）若A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y17．（4分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）A． B． C． D．8．（4分）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（）A．50（1+x）2＝132 B．（50+x）2＝132 C．50（1+x）+50（1+x）2＝132 D．50（1+x）+50（1+2x）2＝1329．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．310．（4分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（）A．①②④ B．①③⑤ C．①②③ D．①④⑤二．填空题（共6小题，每小题4分）11．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是．12．（4分）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为．13．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x+k﹣2与x轴有公共点，则k的取值范围是．14．（4分）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为．15．（4分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了m．16．（4分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是．三．解答题（共7小题，17题20分，18--19题10分，20--21题12分，22题8分，23题14分）17．（20分）解下列方程：（1）2（x+1）2＝18；（2）x2﹣6x＝11；（3）3x2﹣4x﹣2＝0；（4）（x﹣1）2＝5x﹣5．18．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？19．（10分）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．20．（12分）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？21．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣10124…y…830﹣13…（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当y＞0时，x的取值范围．22．（8分）阅读下面的材料，回答问题．解方程：x4﹣10x2+9＝0．这是一个一元四次方程，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，∴原方程可变为y2﹣10y+9＝0．解得：y1＝1，y2＝9．当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1．当y2＝9时，x2＝9，∴x＝±3．∴原方程有4个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝3，x4＝﹣3．请参照例题解方程（x2﹣x）2+3（x2﹣x）﹣10＝0．23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若点P在直线BC的上方，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标．参考答案一．选择题（共10小题，每小题4分）1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x2【解答】解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意；B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意；C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意；故选：B．2．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+1＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣4）2＝16 C．（x﹣4）3＝7 D．（x﹣4）2＝15【解答】解：x2﹣8x+1＝0，x2﹣8x＝﹣1，x2﹣8x+16＝﹣1+16，（x﹣4）2＝15，故选：D．3．（4分）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根【解答】解：原方程化为4x2﹣4x+1＝0，∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×4×1＝0，则方程有两个相等的实数根．故选：A．4．（4分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（）A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468【解答】解：设入口的宽度为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468．故选：A．5．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（）A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝5，即方程的另一个根为﹣1．故选：A．6．（4分）若A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，2﹣（﹣1）＝3，2﹣1＝1，4﹣2＝2，∴y2＞y3＞y1，故选：B．7．（4分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．故选：A．8．（4分）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（）A．50（1+x）2＝132 B．（50+x）2＝132 C．50（1+x）+50（1+x）2＝132 D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132【解答】解：根据题意得：明年生产零件为50（1+x）（万个）；后年生产零件为50（1+x）2（万个），则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝146，故选：C．9．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，解得c＝3或c＝﹣1，故选：A．10．（4分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（）A．①②④ B．①③⑤ C．①②③ D．①④⑤【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确，符合题意；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②错误，不符合题意；③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误，不符合题意；④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正确，符合题意；⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意．故选：D．二．填空题（共6小题，每小题4分）11．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（3，﹣4）．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（3，﹣4），故答案为：（3，﹣4）．12．（4分）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为x（x﹣1）＝210．【解答】解：∵小队共有x人，且每位同学向其他同学赠送1句祝福语，∴每人赠送（x﹣1）句祝福语，又∵小队内共收到210句祝福语，∴可列方程x（x﹣1）＝210．故答案为：x（x﹣1）＝210．13．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x+k﹣2与x轴有公共点，则k的取值范围是k≤3．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k﹣2与x轴有交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣2）≥0，解得：k≤3；故答案为：k≤3．14．（4分）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为2024．【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，α2+2α﹣2026＝0，∴α2+2α＝2026，∴α2+3α+β＝（α2+2α）+（α+β）＝2026+（﹣2）＝2024，故答案为：2024．15．（4分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了45m．【解答】解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45，∴汽车刹车后到停下来前进了45m，故答案为：45．16．（4分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是6＜k≤11或k＝2．【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+2+k，当抛物线顶点恰好平移到线段MN上，此时，2+k＝4，可得k＝2；当抛物线经过点M（0，4）时，此时﹣（0﹣2）2+2+k＝4，可得k＝6，此时M（0，4）关于对称轴x＝2对称的点M′（4，4），在线段MN上，不符合题意；当抛物线经过点N（5，4）时，此时﹣（5﹣2）2+2+k＝4，可得k＝11，此时N（5，4）关于对称轴x＝2对称的点N′（﹣1，4），不在线段MN上，符合题意；结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点时，k＝2或6＜k≤11；故答案为：k＝2或6＜k≤11．三．解答题（共7小题，17题20分，18--19题10分，20--21题12分，22题8分，23题14分）17．（20分）解下列方程：（1）2（x+1）2＝18；（2）x2﹣6x＝11；（3）3x2﹣4x﹣2＝0；（4）（x﹣1）2＝5x﹣5．【解答】解：（1）2（x+1）2＝18；（x+1）2＝9，x+1＝±3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x1＝2，x2＝﹣4；（2）x2﹣6x＝11，x2﹣6x+9＝11+9，（x﹣3）2＝20，x﹣3＝±2，x﹣3＝±2或x﹣3＝﹣2，x1＝3+2，x2＝3﹣2；（3）3x2﹣4x﹣2＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝16+24＝40＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（4）（x﹣1）2＝5x﹣5，（x﹣1）2＝5（x﹣1），（x﹣1）2﹣5（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1﹣5）＝0，（x﹣1）（x﹣6）＝0，x﹣1＝0或x﹣6＝0，x1＝1，x2＝6．18．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）81+81×8＝729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．19．（10分）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）设AD的长为x米，则AB＝27﹣3x，根据题意，得x（27﹣3x）＝54，整理，得x2﹣9x+18＝0，解得x1＝3，x2＝6∵墙的最大可用长度为12米，∴27﹣3x≤12，∴x≥5，∴x＝6，即AD的长为6米；（2）不能围成面积为90平方米的花圃．理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，于是有（27﹣3y）•y＝90，整理得y2﹣9y+30＝0，∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×30＝﹣39＜0，∴该方程无实数根，∴不能围成面积为90平方米的花圃．20．（12分）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？【解答】解：（1）20+2×4＝20+8＝28（个）；（40﹣4）×28＝36×28＝1008（元）．答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，又∵每个模型盈利不少于25元，∴x＝10．答：每个模型应降价10元．21．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣10124…y…830﹣13…（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当y＞0时，x的取值范围．【解答】解：（1）由题意，根据表格数据，可得抛物线的对称轴是直线x＝＝2，∴顶点坐标为（2，﹣1）．∴可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1．又图象过（1，0），∴a﹣1＝0．∴a＝1．∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．（2）由题意，令y＝x2﹣4x+3＝0，∴x＝1或x＝3．又抛物线开口向上，∴y＞0时，x的取值范围是函数图象是x轴上方的部分对应的自变量．∴x＜1或x＞3．22．（8分）阅读下面的材料，回答问题．解方程：x4﹣10x2+9＝0．这是一个一元四次方程，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，∴原方程可变为y2﹣10y+9＝0．解得：y1＝1，y2＝9．当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1．当y2＝9时，x2＝9，∴x＝±3．∴原方程有4个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝3，x4＝﹣3．请参照例题解方程（x