3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时函数的单调性）课件高一上学期数学人教A版

第三章函数的概念与性质第1课时函数的单调性人教A版

数学必修第一册1.理解增函数和减函数的定义.2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数的单调性的方法.3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.课程标准基础落实·必备知识一遍过知识点

函数单调性的概念1.

定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)

f(x2)

f(x1)

f(x2)

那么就称函数f(x)在区间I上单调递增那么就称函数f(x)在区间I上单调递减图象特征函数f(x)在区间I上的图象是

的

函数f(x)在区间I上的图象是

的

图示

<>上升

下降

2.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间

叫做y=f(x)的单调区间.

函数的局部性质名师点睛1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可能是整个定义域,也可能是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.2.对于单独一点,由于它对应的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.I思考辨析若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上就是增函数吗?提示

不一定,例如f(x)=x2满足f(2)>f(1),但函数f(x)在R上是先减后增.自主诊断1.若函数f(x)=ax-3在R上单调递增,则a的取值范围为

.

(0,+∞)解析

因为f(x)=ax-3在R上单调递增,所以a>0.2.[苏教版教材习题]设a为实数,已知函数y=f(x)在定义域R上是减函数,且f(a+1)>f(2a),求a的取值范围.解

由题意得a+1<2a,所以a>1,即a的取值范围是(1,+∞).重难探究·能力素养速提升探究点一确定函数的单调区间【例1】

(1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-

D.f(x)=-|x|C(2)函数y=x2+x+2,x∈(-5,5)的单调递减区间为(

)D(3)函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是(

)A.[-1,0] B.[-1,0]和[1,+∞)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]和[0,1]B作出函数图象如图所示,由图象可知,函数的单调递增区间为[-1,0]和[1,+∞).故选B.规律方法1.一次、二次函数及反比例函数的单调性.(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=-为分界线.(3)反比例函数y=(k≠0)的单调性如下表所示.k的符号单调性k>0在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减k<0在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增2.对于含绝对值的函数可以去掉绝对值号转化为分段函数或作出函数图象判断函数单调性.3.注意单调区间是定义域的子集.变式训练1已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.由图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调递减区间为[1,2].

探究点二证明函数的单调性【例2】

[人教B版教材例题]求证:函数y=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数.规律方法利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤

特别提醒

作差变形的常用技巧(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.(3)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断这个函数在(-∞,-2)上的单调性并证明.故函数f(x)的定义域为{x|x≠-2}.(2)f(x)在(-∞,-2)上单调递增.证明如下:∵x1,x2∈(-∞,-2),x1<x2,∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增.探究点三函数单调性的应用角度1.根据函数单调性比较大小【例3—1】

已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与

的大小.★★【例3—2】

函数f(x)的定义域为R,且对于任意x1,x2∈R(x1≠x2)均有

<0成立,若f(1-a)>f(2a-1),则正实数a的取值范围为(

)B规律方法函数单调性的应用问题的解题策略(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.变式训练3(1)已知f(x)是定义在(-∞,0]上的增函数,且f(-2)=3,则满足f(2x-3)

<3的x的取值范围是(

)A解析

因为f(-2)=3,所以由f(2x-3)<3⇒f(2x-3)<f(-2),因为f(x)是定义在(-∞,0]上的增函数,C解析

由题意得当x≥0时,f(x)=-x2,则函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(x)≤f(0)=0,当x<0时,f(x)=x2,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(x)>f(0)=0,所以函数f(x)在R上是减函数,(3)已知g(x)的定义域是[-2,2],且在区间[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.解

∵g(x)的定义域是[-2,2]且在区间[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),角度2.根据函数单调区间或单调性求参数取值范围【例3—3】

函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(

)A规律方法含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间I上单调递增(或单调递减),则该区间是函数的原单调递增区间(或单调递减区间)D的子集,即I⊆D.变式训练4如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是(

)A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)C.(-∞,5] D.[5,+∞)A图象开口向上,∴函数在区间(-∞,1-a]上单调递减,要使f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,则1-a≥4,解得a≤-3.角度3.含参数的分段函数的单调性问题【例3—4】

已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是(

)A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)A所以f(x)在区间(-∞,2a]上单调递减.因为函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,所以2a≥2,得a≥1.故选A.规律方法

判断分段函数的单调性时不要忽视分段函数定义域的分界点的大小,由于分段函数是一个函数,因此对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小应满足函数的单调性的性质,否则求出的参数的取值范围会出现错误.变式训练5若函数f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围为

.

学以致用·随堂检测促达标1.(多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则下列区间是函数f(x)的单调递减区间的为(

)A.[-4,-2] B.[-3,-1]C.[-4,0] D.[1,4]AD解析

由图象可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,故选AD.

2.已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为(

)A.[-2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,-2]C解析

∵函数f(x)