2024 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(一)数学试题及答案

2024届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）R1.已知集合Ax2x3，Bxx22x0，则AðB（）A.x0xB.xx0或xD.x2x0或2xC.x2x3z2.设复数z的共轭复数为z，且2zz1，则（）zA.iB.iC.2D.23.已知函数fxsin2x，设甲：函数fx是偶函数，乙：，则甲是乙的（）2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆雉，若直角圆雉底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（）A.21B.21C.22D.25.若tan2，则sin2（）2113A.3B.2C.D.26.袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）1416125A.B.C.D.107.已知曲线E的方程为：x22xy22y2x22xy22y262，点A，B的坐标分别为A，B1，过点A的直线交曲线E于C，D两点，且B，C，D三点不共线，则△BCD的周长为（）A.32B.42C.62D.122x8.若过点Pm可以作三条直线与曲线C：fx相切，则m的取值范围是（）ex555eA.,B.,0C.,D.2e2e2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（）A.数据1，2，3，4，5，6，8，9，11的第75百分位数是7PN1B.若事件M，N的概率满足PM0,1，PN0,1且M，N相互独立，则PNMC.由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到28.612，依据0.001的独立性检验10.828，可判断X，Y独立i4x7上，则这组样本数据的相关系D.若一组样本数据x,yi,n的对应样本点都在直线yi数为1a10.已知平面向量a，b满足a2，b1，ab1，cb，则下列说法正确的是（）aA.babB.ab3ca3C.D.R，abab恒成立ca211.已知圆O：x2y4，过直线l：xy60上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则2（）A.若点P的坐标为，则PA22B.△PAO面积的最小值为232233473C.直线AB过定点,D.AB,412.如图，在菱形ABCD中，AB2，BAD，将△ABD沿BD折起，使A到A，点A不在底面3BCD内，若M为线段AC的中点，则在△ABD翻折过程中，以下说法正确的是（）A.BDACB.四面体ABCD的表面积的最大值为423C.不存在点A，使得BMCD136D.当二面角ABDC的余弦值为时，四面体ABCD的内切球的半径为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）61x3x2的展开式中第五项为______.（系数用数字作答）13.14.已知动圆M过点，且与直线y1相切，则圆心M的轨迹方程为______.15.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数，其图象关于点(6,0)对称.当x0,6时，f(x)x6x，则f(2024)______.216.如图，已知动圆C和定圆O（O为坐标原点）的半径分别为1和2，动圆的圆心C的初始坐标为C0)，动圆C上的点A的初始坐标为(2,0)，动圆C逆时针沿定圆O滚动，则在滚动过程中，点A离开其初始位置距离的最大值为______.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinA，sinB，sinC成等差数列，且b5，c3.（1）求角A；（2）求角A的内角平分线AD的长.18.（本小题满分12分）T13n，1已知数列a的前n项积为n，且Tn1Tn.nan（1）求证：数列T是等差数列，并且求其通项公式；n（2）证明：aaaa3.12319.（本小题满分12分）某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为p(0p，且每道题答对与否互不影响.（1）分别求小张，小王答对题目数的分布列；（2）若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求p的取值范围.20.（本小题满分12分）如图甲，在矩形ABCD中，ABBC，AB3，BC4，E为边AD上的点，且AE1.将△ABE沿BE翻折，使得点A到A，满足平面ABC平面AEC，连接AC，AD，如图乙.11111甲乙（1）求证：平面1BE平面BCDE；（2）求二面角E1CD的正弦值的大小.21.（本小题满分12分）x22y220已知双曲线C的方程为：点作双曲线C的切线l.ab0)，若点Ax,y是曲线C上一点，以点Ax,y为切000ab0xy0y（1）求证：切线l的方程为1；a2b2（2）分别过双曲线C的左焦点F(c,0)和右焦点F(c,0)作切线l的垂线，垂足分别为N，N.求证：1212FNFN为定值.112222.（本小题满分12分）x2已知函数f(x)1014x1013lnx.2（1）求函数f(x)的单调区间；fx，且123，求证：312024.3（2）若fxfx122024届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号答案12345678DABCBADD【解析】1.因为A[，B[0,2]，则ðB(,0)(2,)，所以AðB[0)(2,3]，故选D.RR2.设zxi（x,yRzxi，由2zzx3i1，可得xy1，所以z1i，zz1ii)22所以i，故选A.1i1i23.f(x)为偶函数，则f(0)sin1，解得k(kZ)，当k1时，；又当222时，f(x)2x为偶函数，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B.x12x4.沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为2x，则由三角形相似可得，111即x21，所以正方体棱长为22，故选C.212222sin22sin2tan22tan222225.sin22，故选B.2sin21tan2222PAA21，又PAAPAPAA116.记i为第i次摸到的是红球，则PAA12121212，PA5410221322PAPAA1PAPAAPAAPAPAA，所以21212121125454512PAA，故选A.147.设曲线E上任意一点为P(x,y)，则由题设可得(x2(y2(x2(yPAPB262AB，可得曲线E的轨迹是以A，B为焦点且长轴长为62的椭圆，所以△BCD的周长等于CBCA262122，故选D.x1xx1x0e0xx，当l经0x,00，则由f(x)，可得该点处的切线方程l:y08.设一个切点为exexe00x1x0e0x2001，即m1x过点P时，有m0，则过点P切线的条数即为方程e00e0x2001xx12m的解的个数.设g(x)，则e0ex2x1x2x1xx2(xx2)2，所以g(x)在(,，(2,)上单调递g(x)exexex减，在(2)上单调递增.当x时，g(x)，当x时，g(x)0，又由42155x20001g(2)，g(e0，可得m时，m有三个解，故选D.e2e2e2e二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号答案9101112BCDACDACDAB【解析】9.对于选项A，9个数据从小到大排列，由于90.756.75，所以第75百分位数应该是第7个数8，故AP()错误；对于选项B，由M，N相互独立得：P()P(M)P(N)，所以PNMP(N)，P(M)PNMPNP(N)PPN1，故B正确：对于选项C，由28.61210.828，可以认为X和Y独立，故C正确：对于选项D，样本点都在直线y4x7，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为1，故D正确，故选BCD.10.对于A，因为bab0，所以bab，故A正确；222对于B，因为ababa4abb1223，所以B错误；a对于C，因为，b都是单位向量，由平行四边形法则和菱形性质知c对应有向线段平分a，b的夹角，由aca3题设知a,b，c,a所以C正确；362ca对于D，由A选项知：bab，所以由向量减法的几何意义直接看出结果成立.2，整理2222另法：abab恒成立，则abab，即a2ab2ba2abb2得(0，此式恒成立，所以R，abab恒成立，所以D正确，故选ACD.2PO2226422，所以A选11.A选项，如图1，由圆的切线性质及勾股定理可得：PA0062项正确：B选项，O到直线l:xy60的距离为32，而PA2223221414，所以PA的最小值为14，所以三角形PAO面积的最小值为14214，所以B选项错2a2(6a)22a21236a误：C选项，设P(a,6a)，a6a，线段的中点坐标为22222a26a22a212a36,，所以以为直径的圆的方程为xy，224x2yax(6a)y0，由x22y4，两式相减得直线AB的方程为：ax(6a)y4，2xya(xy)6y40，由22233解得xy，所以直线AB过定点,，C选项正确（法二：6y43直线AB的方程也可直接由圆的切点弦方程直接求出）；D选项，由C选项知，圆心O到直线AB的距离47422d，所以AB2r32d224d23,4，D选项正确，故选2a212a36ACD.图112.对于A选项，如图2，连接AC交BD于点O，连接，则由题设知BDAC，BDAO，所以BD平面A，故BDAC，A选项正确；对于B，由题意可知122ACBMAMBM，因为AB2AM2BM4，故2BM2AM2，当且仅当AMBM2时取得等号，故，的最大值为AMBM212，而22sin603，则四面体ABCD的表面积的最大值为2423，B正确：C选项，不妨假设存在点A，使得BMCD，取CD的中点为N，连接，BN，M为线段AC的中点，故//AD；由于在菱形ABCD中，ABBC，ABBC，而M为线段AC的中点，故BMAC.由于CDACC，CD，AC平面A，故BM平面A，平面A，故BM，而BAD，33故BCD，即△BCD为正三角形，则BCBD，故BNBC3.又//AD，且3212，故BMBNAD122.由于BMAC，故222422AC22.因为AOAMABBM3，满足AOAC，即BD，BD，故A为二面角当AC22时，使得BMCD，C错误：对于D，因为1ABDC的平面角，即A，所以322AC233AC22AO6AC13，即AC2，而2AO2336ADABBDBCCD2，则四面体ABCD为正四面体，故将其补成如图3所示正方体，且正112233222方体棱长为2，则四面体ABCD的体积V42，则四面体32V46ABCD的内切球半径r，D错误，故选AB.6图2图3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号答案131415816135x24y33【解析】r1x6r13.设展开式的第r1项是r16r3x26r36r(r123rx，令r4，所以564364(4135.14.由题意可知：圆心M到点的距离与到直线y1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知圆心M的轨迹是以为焦点，y1为准线的抛物线，故得圆心M的轨迹方程为2x4y.15.由已知f(x)f(x)，且fx)f(x)f(x24)fxx)ffx)f(x)f(x)，即函数f(x)是以24为周期的周期函数，故f(2024)f24ff12(4)f(4)8.16.如图4所示，设圆C逆时针绕圆O转过的圆心角，点A转到点1，则由题设知ACO，过点C作CD//x轴，再过点A作ABCD，垂足为B，则ACB.设1111A(x,y)，则xcosAC)3cos3，11ysin1C)3sinsin3，所以232)436cos21214AA(3cos2(3sinsin3)213cos62443211214163122420，令2tcos，则AA2ft)t3t2t20，t[，又ft)24(2tt，t[.11112由ft)0，得1t；ft)0，得t1，易知ft)f27，故22AA33.1图4四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）1）因为sinA，sinB，sinC成等差数列，所以2sinBsinAsinC.由正弦定理得bac，又b5，c3，所以a7.3252721由余弦定理得，A，A(0,)，故A.23523BDAB35（2）由三角形内角平分线性质知：，CDAC53又C，D，B三点共线，所以ADABAC，88222583858583838158所以ADABACAB2ABACAC.18.（本小题满分12分）T1）由数列a的前n项积为n，得ann(n2)，nn1T由题设n1Tn，2nn可得n1nn1nn1n1，所以数列T是等差数列.n113T1123由题设1，故1TT21121，TT21，，3133123所以T是首项为，公差为的等差数列，n31232故T(nn1.n33（2）aaaaaaaaT1512315123215001999lg10003.319.（本小题满分12分）1）设小张答对的题目数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为1，2，3，4.C17C3437172342633有P(X，P(X2)，21030C2101073C131052101274340351P(X，P(X4)，C4C2106故小张答对的题目数X的分布列为X1123312416P3010设小王答对的题目数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y~B(4,p)，Y的取值分别为0，1，2，3，4，有PY0)p)4，PYC41p)p4pp)3，3PY2)C4PYC4PY4)p4.2p)2p26p2p)2，3p)p34pp)，3故小王答对的题目数Y的分布列为Y01234p)44pp)36p2p)24p3p)p4P13116145，EY)4p，（2）由（1）可知EX123430102若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数，147则E(X)EY)，即4p，可得0p.51020.（本小题满分12分）（1）证明：如图5，过E在平面AEC内作EGAC交AC于G，111因为平面ABC平面AEC，平面ABC平面AECAC，所以EG平面ABC.111111故EGAB，又ABAE，所以AB平面AEC，11111故1BEC，在Rt△ABE中，AB3，AE1BE2.同理，在Rt△中，EC23，2BE2CE2222316BC2CEBE.BEABBCE平面ABE.11又CE平面BCDE平面1BE平面BCDE.图5（2）解：如图，作AHBE，垂足为H，在△ABE中，可得AH312，EH，1112由（1）知，EBEC，平面1BE平面BCDE，以点E为坐标原点，EB，EC分别为x，y轴，过点E垂直平面BCDE为z轴，建立如图所示的空间直角333123坐标系，可得B(2,0)，C0,23,0，A,0,，D,,01222332333332则BA,0,，,,0，,.112222由（1）知AB平面AEC，所以n2BA3是平面AEC的一个法向量.11111设平面C的一个法向量为n(a,b,c)，12323abbn22则即n2133232ac2令a3，可得b3，c13，n3,13，2nn330(3(8181181n,n，1212nn(2222((220(3)(3)12又0n,n，则sinn,n128181181323531812n,n1.12121232353181所以二面角E1CD的正弦值为21.（本小题满分12分）.1）法1：导数法法2：判别式法（略）x22y22ba22x2a，1，可得y22由双曲线的方程abbbaf(x)x2a2或g(x)2xa2，即a其中函数f(x)的图象即为双曲线在x轴的上半部分，函数g(x)的图象即为双曲线在x轴的下半部分.01、当y0时，由导数的几何意义可知：以点Ax,y为切点的切线斜率kfx，0000a02a2所以切线方程为：yy0fxxx，000①.xx即yy00a02a2baaybfxx20a2，故0a220，又y000xy0yx20y202代入①整理得，a2b2a2bx20a2y20b21，又切点Ax,y在双曲线上，故000xy0y所以切线方程为：1.a2b202、当y0时，以点Ax,y为切点的切线斜率kgx，0000a02a2所以切线方程为：yy0fxxx，000②.xx即yy00a02a2baygxx20a2，故0a220，又y00ab0xy0yx20y202代入②整理得.a2b2a2bx20a2y20b21，又切点Ax,y在双曲线上，故000xy0y所以切线方程为：1.a2b20xa2y0yb23、当y00时，切点为(a,0)，切线方程为xa，满足1，x22y220xy0y01.综上：ab0)上一点Ax,y为切点的切线l的方程为0a2b2ab（2）由（1）知，切线l的方程可化为b20xa2y0ya22b0，由点到直线的距离公式得b20c