10.3直线与平面间的位置关系（第3课时）（七大题型提分练）

10.3直线与平面间的位置关系（第3课时）题型1：正方体中的线面角1．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面AA1D1D所成的角的大小是______.【答案】arctan【分析】根据正方体的几何性质，结合线面角的定义进行求解即可.【解析】因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，所以平面AA1D1D，连接，所以是BD1与平面AA1D1D所成的角，设该正方体的棱长为，所以，在直角中，，所以BD1与平面AA1D1D所成的角的大小是arctan，故答案为：arctan2．在正方体中，下列四个结论中错误的是（

）A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为C．直线与直线所成的角为 D．直线与直线所成的角为【答案】B【解析】连接，求出可判断选项A；连接找出点在平面的投影O，设直线与平面所成的角为θ，由可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解析】连接∵为等边三角形，∴，即直线与所成的角为60°，故选项A正确；连接，∵，∴四面体是正四面体，∴点在平面上的投影为的中心，设为点O，连接，，则，设直线与平面所成的角为θ，则，故选项B错误；连接，∵，且，∴直线与所成的角为90°，故选项C正确；∵平面，∴，即直线与所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．题型2：由射影长求线面角3．线段AB的长等于它在平面内的射影的长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角大小为______．【答案】/【分析】根据线面角的定义得到是AB所在直线与平面所成的角，然后在直角三角形中可求出结果.【解析】依题意可得，是AB所在直线与平面所成的角，所以，所以.故答案为：.4．线段的长等于它在平面上射影的倍，则所在的直线和平面所成的角为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】设所在的直线和平面所成的角为，则可得，即可求出所成角.【解析】设所在的直线和平面所成的角为，因为线段的长等于它在平面上射影的倍，所以，由得.故选：B.【点睛】本题考查线面角的求解，属于基础题.5．若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则直线与所成的角为（

）A．60° B．45° C．30° D．120°【答案】A【分析】根据题意，得到平面，推出即为与平面所成的角，再由题中条件，即可求出结果．【解析】因为斜线段是它在平面上的射影的倍，所以平面，，所以，因此即为与平面所成的角，所以，因此．故选：A6．平面的一条斜线段长为4，它在上的射影长为，则该斜线段与所成角的大小为______．【答案】30°/【分析】结合斜线段的长和射影长求得斜线段与所成角的大小.【解析】设斜线段与所成角为，，依题意.故答案为：题型3：最小角定理7．平面的斜线与平面交于点A，且斜线与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成角的范围是_________．【答案】【分析】根据线面角中最小角定理求解即可.【解析】斜线与平面所成角是，则直线与平面内所有直线所成角中最小角为，显然最大角为，所以范围为.故答案为：.题型4：其他几何体中求线面角8．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．【答案】45°【解析】由PA⊥平面ABC可知∠PBA为PB与平面ABC所成的角，由等腰直角三角形可得出所求角.【解析】PA⊥平面ABC，∠PBA为PB与平面ABC所成的角，PA＝AB，∠PBA＝45°.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的定义，知道怎样找到直线与平面所成的角，是一道基础题.9．如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为________.【答案】【分析】作出直线和平面所成角，由此求得所成角的正切值.【解析】是的中点，所以，在直三棱柱中，，由于，所以平面.过作，垂足为，则，由于，所以平面，所以是直线和平面所成角，.所以直线和平面所成角的正切值为.故答案为：10．正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设底面正三角形的中心为，则即为与底面所成的角，设棱长为，则根据正三棱锥的几何性质，可求得的长，即可得答案.【解析】设正三棱锥的底面正三角形的中心为，连接，棱长为，如图所示：因为正三棱锥，即底面，则即为侧棱与底面所成的角，因为正三角形，所以，在中，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查正三棱锥的几何性质，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题.11．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.【答案】/【分析】先复原正方体，再构造线面角后可求正弦值.【解析】复原后的正方体如图所示，设所在面的正方形的余下的一个顶点为，连接，则平面，故为AD与平面ABC所成角，而，故为AD与平面ABC所成角的正弦值为.故答案为：.12．如图，桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则圆柱母线与水面所在平面所成的角等于________．【答案】【分析】根据题意作出示意图即可得到答案.【解析】如图所示，母线与水平面所成角为.故答案为：.13．将一本书打开后竖立在桌面上（如图），则书脊所在的直线与桌面所在的平面所成的角的大小为______.【答案】【分析】利用线面垂直的判定定理可得直线与桌面所在的平面垂直，从而可得所求的角.【解析】因为，而平面，平面，，故平面，所以直线与桌面所在的平面所成的角的大小为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，注意根据判定定理判断即可，本题属于容易题.14．已知三棱锥S­ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥面ABC，SA＝3，D为BC的中点，则SD与面ABC所成角的正切值为（）A． B．C．3 D．【答案】A【分析】首先找出SD与面ABC所成角为∠SDA，再求角的正切值.【解析】连接AD．∵△ABC为等边三角形，D为BC的中点，∴．又SA⊥平面ABC，∴∠SDA为SD与平面ABC所成的角，∴tan∠SDA＝．故选：A【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．题型5：线面角有关解答证明题15．（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥中，平面平面，△ABC是正三角形，四边形是正方形，D是AC的中点．(1)求证：平面；(2)求直线BC和平面所成角的正弦值的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于点，连接，由中位线的性质，可知，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点作于点，连接，可证平面，从而知即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【解析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，因为是的中点，所以，又平面，平面，所以∥平面．（2）过点作于点，连接，因为四边形是正方形，所以，又平面平面，平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为是正三角形，且是的中点，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，所以就是直线和平面所成角，设，在中，，所以，在中，.16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据，再根据线面平行的判断定理，即可证明；（2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直；（3）根据（2）的结论，求线面角，再根据几何关系求解正弦值.【解析】（1）在中，，分别是，的中点，，又平面，平面，平面．（2）四边形是正方形，，又平面，平面，

，又，且平面，平面．（3）由（2）知，平面，为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成角．由题意，在中，，，，，即直线与平面所成角的正弦值为．17．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，．

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行；（2）首先证明平面，并说明为线面角，根据几何关系，即可求解.【解析】（1）因为点分别是的中点，所以，平面，平面，所以平面；（2）因为是等边三角形，点是中点，所以，又，，且平面，所以平面，所以直线与平面所成角为，.所以直线与平面所成角的正切值为.18．如图，在正四棱锥中，点为的中点.(1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小.【答案】(1)相交，理由见解析(2)【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形是梯形，即可得解；（2）依题意可得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，求出棱锥的高与，再由锐角三角函数计算可得.【解析】（1）由、分别为侧棱、的中点，所以且，又且，故且，所以四边形是梯形，因此直线与相交.（2）由为的中点，得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，设，连接，则平面，由正四棱锥的各棱长均为，所以，则即正四面体的高为，所以点到平面的距离为，又，设直线与底面所成角为，则，故直线与底面所成角的大小为.19．如图，和都垂直于平面，且，是的中点.(1)求证：平面；(2)若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）证明为直线与平面所成角，利用直角三角形求解.【解析】（1）取的中点，连接，，是的中点，，，和都垂直于平面，，，，四边形为平行四边形，从而，平面，平面，平面.（2）为正三角形，为中点，.平面，平面，则，又，，平面，平面.又，则平面，得为在面上的射影，为直线与平面所成角.在中，，，，得，直线与平面所成角的正弦值为.20．如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面．

(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据线面垂直判定定理；（2）先根据面面垂直的判定定理的平面平面，从而得到平面，在利用线面夹角的定义找到夹角，计算得出夹角正弦值的取值范围.【解析】（1）因为平面，平面，所以，因为，，所以，平面，所以平面.（2）取中点，连接，，则所以四边形是平行四边形．因为，，，AD，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．作于E，平面平面，平面，则平面，连接CE，则为直线与平面所成的角，

由，，，知，又由（1）知平面ABC，所以，，．则，由于，所以，所以．故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．题型6：动点问题21．如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．【答案】【分析】结合长方体的结构特点，可知与平面所成的角为，由及勾股定理可得，进而可求出得出结果.【解析】长方体中，因为，，所以，，，因为底面，平面，所以，所以与平面所成的角为，，由条件可得，解得，因此，因为，所以，与平面所成的角为，故答案为：题型7：翻折问题22．如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角.(1)证明：；(2)求与面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）在折叠前的正方形ABCD中，作出对角线AC，BD，由正方形性质知，又//，则于点H，则由直二面角可知面，故.又，则面，故命题得证；（2）作出线面角，在直角三角形中求解该角的正弦值.【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，连结AC交EF于H.因为，故可得，即又旋转不改变上述垂直关系，且平面，∴面，又∵面，所以（2）因为为直二面角，故平面平面，又其交线为EF，且，平面，故可得底面ABF，连结DH，则即为与面所成角，连结BD交AH于O，在Rt△ODH中，在Rt△PHD中所以与面所成角的正弦值为.一、填空题1．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是.【答案】【分析】作于D.判断出即为与平面所成的角.设，，利用几何性质得到，进而.证明出.解得，即可求出的取值范围【解析】作于D.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，.设，，则.在直角三角形中，由正弦的定义：.在直角三角形中，由等面积可得：，所以，所以.在直三棱柱中，.因为平面，所以.因为平面，平面，，所以平面，故，从而，即.于是，解得：.又，解得：.故答案为：.2．在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为.【答案】【分析】分析题目条件，点在线段的中垂面与底面的交线上，取中点，中点，中点，证明得平面，从而点在线段上；再由平面，为直线与平面所成的角，当取得最小时，利用相似可得此时取得最大值为.【解析】如图，连接，取中点，中点，中点，因为，则点在线段的中垂面与底面的交线上.可求得，所以，所以.又知，所以.又，直线和直线都在平面内，所以平面，从而点在线段上.易得，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设为，则.设的最小值为点到的距离为，取得最小时，易得与相似，可知，所以，又，所以的最大值为.故答案为：3．已知、、三点位于平面内，，是平面的斜线，若，则与平面所成的角的大小为．【答案】【分析】交于，于，与，连接，，确定，，，计算，，得到答案.【解析】交于，于，与，连接，，，，故，，，平面，故平面，平面，故，同理可得：，设，故，根据对称性知，故，与平面所成的角为，故答案为：.4．如图，在棱长为6的正方体中，点P在面内，，则与面所成角的正切值为，则的取值范围是.

【答案】【分析】先求出点到平面的距离，求得的轨迹方程，再作一个正方体，作出线面角，再求出两条直角边，最后求出线面角的正切值即可.【解析】如图所示，

作平面于，由可得，解得，要使得，则，即点在以为圆心为半径的圆上，该圆恰好与相切.作同样一个正方体与原正方体面，则//，//，所以四边形为平行四边形，所以四点共面，过作平面，连接，则为与面所成角的平面角，易得，所以，即，而，所以，即，故答案为：二、单选题5．在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】为中点，由题意可得，可证平面平面，作，垂足为，则与平面所成角为，勾股定理求各边的边长，证得，由，求值即可.【解析】中，，由余弦定理，有，为中点，连接，由，有，，平面，则有平面，平面，所以平面平面，平面平面，作，垂足为，平面，得平面，则与平面所成角为，，，则有，得，则.故选：A.【点睛】方法点睛：利用已知条件证得平面平面，结合面面垂直的性质由得平面，则与平面所成角为，证明为直角三角形，可求.6．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，找到线线角的平面角，即可求解.【解析】如图所示，连接，交平面于点.设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得，平面，则平面与平面平行或重合，在线段上取点P，使，则为满足题意的其中一个直线，正方体绕体对角线旋转的过程可认为是正方体不动，绕体对角线旋转，，，所以BC与直线所成的角即与直线所成的角，可得当P在线段上时，与直线所成的角最小，由正方体的性质可得，则，所以.故选：B.7．如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可得当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大，作平面,垂足为，点作平面，垂足为，则可求，进而可求解.【解析】取中点，连接，

当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大，此时，因为平面，平面，所以平面平面，过作平面，垂足为，则为正三角形的重心，设正四面体的边长为1，则,因为直线BC与平面所成角为即,且，所以,所以点到平面的距离等于，过点作平面，垂足为，则，∴在中，，即直线与