+初+中数学一元二次方程根的判别式++课件+湘教版数学九年级上册+

湘教·九年级上册2.3一元二次方程根的判别式回顾总结1.用公式法解方程❶❷❸2.解一元二次方程时,最终结果,可分为哪三种不同情形?3.为什么会有三种不同情形?由什么决定?①有两个不相等的实根②有两个相等的实根③无实根由Δ=b2-4ac的值来决定新课探究我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么?回顾：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0).解：二次项系数化为1，得

x2+x+=0.配方，得

x2+x+--=0,移项，得=问题1：接下来能用直接开平方解吗？一元二次方程根的判别式问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？≥0，4a2＞0.当

b2-4ac＞0时，x1=

，x2=当

b2-4ac=0时，

x1=x2=当

b2-4ac＜0时，不能开方(负数没有平方根)，所以原方程没有实数根.

我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ=b2-4ac.综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由Δ=b2-4ac来判断:当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根，其根为当Δ<0时，原方程没有实数根.两个不等的实数根

两个相等的实数根没有实数根两个实数根判别式的情况

根的情况

Δ>0

Δ=0

Δ<0

Δ≥0要点归纳要点归纳例不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:(1)3x2+4x-3=0; (2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).解：(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×(-3) =16+36=52>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.3.判别根的情况，得出结论.1.化为一般式，确定a，b，c的值.根的判别式使用方法2.计算Δ

的值，确定Δ的符号.要点归纳例不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:(1)3x2+4x-3=0; (2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).解：(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×(-3) =16+36=52>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.(2)将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=0.因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9 =144-144=0,所以，原方程有两个相等的实数根.例不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:(1)3x2+4x-3=0; (2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).(3)将原方程化为一般形式，得5y2-7y+5=0.因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5 =49-100=-51<0,所以，原方程没有实数根.课堂练习练习1.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况为()(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根(C)只有一个实数根 (D)没有实数根因为Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×1 =1-4=-3<0,x2-x+1=0所以，原方程没有实数根.D2.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:

解：(1)因为Δ=b2-4ac=32-4×1×(-1) =9+4=13>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.2.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:

解：(2)因为Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9 =36-36=0，所以，原方程有两个相等的实数根.2.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:

解：(3)因为Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×4 =9-32=-23<0，所以，原方程没有实数根.2.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:

解：(4)将原方程化为一般形式，得

所以，原方程有两个相等的实数根.3.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)．解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2

4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．(1)求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．解：(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2， ∴4+2p+q+1=0，

即q=-2p-5；4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．(1)求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．(2)证明：令x2+px+q=0．

则Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4＞0，即Δ＞0，

所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．

即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．课堂小结一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由Δ=b2-4ac来判断:当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根，其根为当Δ<0时，原方程没有实数根.2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:【选自教材P45习题2.3第2题】(1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1=0;(3)x(x+8)=16; (4)(x+2)(x-5)=1.解：(2)因为Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×1 =36-12=24>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:【选自教材P45习题2.3第2题】(1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1=0;(3)x(x+8)=16; (4)(x+2)(x-5)=1.解：(3)将原方程化为一般形式，得所以，原方程有两个不相等的实数根.x2+8x-16=0因为Δ=b2-4ac=82-4×1×(-16) =64+64=128>0，2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:【选自教材P45习题2.3第2题】(1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1=0;(3)x(x+8)=16; (4)(x+2)(x-5)=1.解：(4)将原方程化为一般形式，得所以，原方程有两个不相等的实数根.x2-3x-11=0因为Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-11) =9+44=53>0，B

组3.不解方程，利用判别式判断方程【选自教材P45习题2.3第3题】的根的情况.解：因为所以，原方程有两个不相等的实数根.4.先阅读下面的材料:【选自教材P45习题2.3第4题】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个不相等的实数根，那么Δ>0；如果方程有两个相等的实数根，那么Δ=0；如果方程没有实数根，那么Δ<0.再解答下面的题目:当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+x+t=2t-1，(1)有实数根;(2)没有实数根.如果方程有两个不相等的实数根，那么Δ>0；如果方程有两个相等的实数根，那么Δ=0；如果方程没有实数根，那么Δ<0.当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+x+t=2t-1，(1)有实数根;(2)没有实数根.当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+x+t=2t-1，(1)有实数根;(2)没有实数根.解：(1)关于x的方程可化为x2+x+1–t=0依题意Δ=b2-4ac=12-4×1×(1-t)=4t-3