初高中数学衔接教材7讲配答案(浓缩版) (二)

亲爱的新高一的同学们:

祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急常我们师生共同努力才

能解决，即“初高中衔接问题”。由于课程改革，目前湖北省初中是新课标，而高中也是新

课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高一数

学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降

低同学们初高中衔接中的不适应度，从而为新学期做好准备。

第■-^分

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

a(a>0)

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数,0的绝对值是0,即\a\=[0(。=0)

-a(a<0)

⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

⑷两个绝对值不等式：|x\<a(a>0)<=>-a<x<«；|x|>a(a>0)=x<或x>。

2乘法公式：

⑴平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵立方差公式：a3-b3=(a-h)(a2+ab+h2)

⑶立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

⑷完全平方公式：3±疗=〃2±2而+/,

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

⑸完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±by

3分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程ox=力解的讨论

①当。工0时，方程有唯一解x=£；

②当。=0,人工0时，方程无解

③当。=0,8=0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6不等式与不等式组

（1）不等式：

①用符不等号（>、,、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

（2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次

不等式。

（4）一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解

集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7一元二次方程：ax2+bx+c=0（«0）

①方程有两个实数根OA=Z?2-4tzc>0

A>0

②方程有两根同号O«C

菁七=—>0

A>0

③方程有两根异号O"c

XyX=—<0

2一a

bc

④韦达定理及应用：X+^2=—-,X]X--

]a2a

x：+x2=（X+x2产-,归一/1=J（X]+々:一4斗马二='b|”

2

M+X：=（X,+工2）（片-XyX2+.玲=（玉+工2）[（玉+工2）—3%/]

8函数

（1）变量：因变■,自变・。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的

数轴上的点表示因变量。

（2）-次函数：①若两个变量y,工间的关系式可以表示成丁二米+例〃为常数次不等于

0）的形式，则称y是五的一次函数。②当6=0时，称），是x的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量无与对应的因变量.v的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐

标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y=Z工的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当左<0,b<0,则经2、3、4象限；当Z<0,力>0时，则经1、2、

4象限；当左>0,力<0时，则经I、3、4象限；当％>0,8>0时，则经I、2、3

象限。

④当2>0时，y的值随工值的增大而增大，当女<0时，y的值隧工值的增大而减少。

（4）二次函数：

①一般式:y=ax2+Z?x+c=a(x+—)2—,对称轴是1=—―,

2a4。2a

--=/b4ac-b2

顶点是(一一,--------)x;

2a4a

②顶点式：y=a（x+小产+2（4/0）,对称轴是％=-m,顶点是（一加，女）;

③交点式：y=。*一％）（%-王）（。。0）,其中（％,0）,（9，°）是抛物线与x轴的

交点

（5）二次函数的性质

①函数丁=公2+灰+或。工0）的图象关于直线工=一2对称。

2a

②。＞0时，在对称轴（x=—）左侧，y值随x值的增大而减少;在对称轴（x=一~—）

2a2a

右侧；y的值随x值的增大而增大。当x二-乙b时，y取得最小值-^-ci-c---b-~-

2a4。

③。＜0时，在对称轴（1二一2）左侧，y值随工值的增大而增大;在对称轴（x=—2）

2a2a

右侧；y的值随x值的增大而减少。当x=-上~时，y取得最大值--------

2a4a

9图形的对称

（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那

么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称

的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互

相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图

形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

10平面直角坐标系

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x

轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点0

称为直角坐标系的原点。

(2)平面直角坐标系内的对称点：设Mt/,%)是直角坐标系内的两点，

①若M和AT关于y轴对称，则有1%=一/。

IY=%

②若M和M'关于x轴对称，则有|*二/。

[X=一必

③若〃和关于原点对称，则有1%=一天。

[y=-%

④若"和关于直线对称，则有|西二%。

1必=、2

⑤若M和“关于直线对称，则有卜二2"々或卜=2。-%.

〔乂=必〔乂=必

11.几何中高中应复习强化：平行线等分线段定理，平行传递性，梯形中位线，圆中垂径定

理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质，平行、垂直的定义,

判定，性质，三角形的认识、三角形的全等、相似，三角形的的心，梯形、平行四边形、矩

形、菱形、正方形、正六边形的定义、性质，直角三角形的射影定理等。

12统计与概率：

(D科学记数法：一个大于10的数可以表示成Ax10、的形式，其中A大于等于1小于10,

N是正整数。

(2)扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的

大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中,

每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。

(3)各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计

图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占

的百分比。

⑷平均数：对于N个数2,……，我们把……也)叫做这个N个数的

算术平均数，记为X。

(5)加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平

均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

(6)中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间

两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据

叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据

所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，

受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重灾次数大

致相等时，众数往往没有特别的意义。

(7)调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对

象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体

进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样

本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，

人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的

调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

(8)频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值

为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分

布直方图。

(9)数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与

平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数

据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。

(10)事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些

事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件

都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。

③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

(11)概率：①人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可

能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发

生的概率为1,记作P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0,记作尸(不

可能事件)=0；如果A为不确定事件，那么0<尸(4)<1

第二部分

分类例题精讲及实战演练

一、数与式的运算

一)、必会的乘法公式

【公式1](a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+lea

证明：:(a+6+c)2=[(〃+b)+=(〃+b)2+2(a+b)c+c

=a2+lab+b2+Zac+2bc+c2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

等式成立

【例1】计算：(X2-V2X+1)2

解：原式=[厂+(―H—r

3

=(x~-+(—■x/2x)**+(―)2+2x2(―V2)x+2尸x§+2x§x(―V2x)

4o/o3,322V21

=x-272xd—X--------XH—

339

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降基或升鼎排列.

【公式2】(。+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

证明：(。+力)(/—而+〃)=a，-a2b+ab2+a2b-ab2+by=a3+Z?3

说明:请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)=8a3+b3

【公式3】(a-h)(a2+ah+h2)=a3-b3(立方差公式)

1.计算

(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=

(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)=

1

小("1211、

(3)—m——\(—rn+—m+—)=

123j469

(4)(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=

2.利用立方和、立方差公式进行因式分解

(1)27m3-n3=

(2)27m3,1?二

8

(3)X3-125=

(4)m6-n6=

【公式4](a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2

【公式5】(a-b)3=a3-3crb+3ab2-b3

【例3】计算：

111,11

(1)(4+zn)(16-4/n+m7)(2)(—m—〃)(一m4—mn+—n7)

(3)(〃+2)(〃一2)(〃4+4〃2+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2

解：(1)原式=4、+苏=64+加

(2)原式=((m)3-g〃)3=机3一]〃3

222336

⑶原式二面-4)(/+4a+4)=(a)-4=«-64

22

(4)原式=(x+y)2*2一孙+y2)2=[(x+yX“2-xy+j)]

=(x3+)3)2=x6+2x3y34-y6

说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式

的结构.

(2)为了更好地使用乘法公式，记住I、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、

4、…、10的立方数，是非常有好处的.

【例4】已知f一31+1=0,求1?+二的值.

x

解：*/x2-3x+l=0「.xwO/.x+—=3

x

原式=(X+，)(X2_]+1)=(++3[(X+1)2_3]=3(32_3)=]8

XXXX

说明：本题若先从方程丁-3工+1=0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦

琐.本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算.请注意整体

代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.

【例5】已知a+Z?+c'=O,求〃(—H—)+b(—H—)+c(—H—)的值.

bccaab

解：a+b+c=O,:.a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b

b+c.a+ca+b

原式二a------卜b•----+c------

beacab

a(-a)+b(-b)+c(-c)_er"+b3+c3

①

beacababc

va3+b，=(a+b)[(a+b)2-3ab]=-c(c2-3ab)=-c3+3abc

:.a3+b3+c3=3abe②，把②代入①得原式=-即"=-3

abc

说明：注意字母的整体代换技巧的应用.

二)、根式

式子NO)叫做二次根式，其性质如下：

(1)(4a)2=a(a>0)(2)必=|a|

(3)yfab=4a•\[b(a>0,b>0)(4)(a>0,/?>0)

【例6】化简下列各式：

(1)J(百—2)2+府-1)2(2)«1-灯+«2-X)2(X>1)

解：(1)原式二|百-2|+|G-1|=2-退+G-1=1

(x-l)+(x-2)=2x-3(x>2)

*(2)原式=|%-1|+|」-2|=

(x-l)-(x-2)=l(l<x<2)

说明：请注意性质J/=|。|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字

母的取值分类讨论.

【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：（I）

⑵表（3）医

解:⑴宗

3(2-73)二牛痘,36

（2）原式=

(2+拘(2-扬22-3

⑶原式序=土铲

Vabab

（4）原式=2离

-Jxx2+」2x2、=>/2x卜2\/2x=3y/2x

说明：

（1）二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式；

②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：

①被开方数是整数或整式.化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或

因式开出来；

②分母中有根式（如」或被开方数有分母（如、E）.这时可将其化为平形式（如《可

2+75V24b

,转化为“分母中有根式”的情况.化简时，要把分母中的根式化为有理式，采

化为正)

33(2-拘

取分子、分母同乘以一个根式进行化简.化为其中2+6与

(2+我(2-扬

2-6叫做互为有理化因式).

有理化因式和分母有理化

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两

个代数式叫做有理化因式。如&与后；%+久方与一义方互为有理化因式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

【例8】计算:

(1)(G+•+1)(1—布+6)—(而+协)2(2)'l

a-yjaba+yjab

解：(1)JMi^=(1+y/by——(4?++b)=—2u—"I,Jab4-2,\fb4-1

8

(2)原式=------------+-------------=--------+--------

y/a(y[a-\[b)«(«+&)\/a->/b4a+4b

_{4ci+\/b)+(Ja-4b)_2\[a

(x/a+\[b){4a->fb)a-b

说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式

二次根式的运算.

【例9】设X=21噂,y=2S噂，求V+y3的值.

2-V32+V3

解：x=2+省=Q：")=1+4®y=7-46nx+y=14、jy=l

2-622-3

原式=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3孙]=14(14?-3)=2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根

据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量.

练习

I.二次根式病=一。成立的条件是()

A.a>0B.a<0C.a<0D.a是任意实数

2.若xv3,则内二晟寿一次一6|的值是()

A.-3B.3C.-9D.9

3.计算：

(1)(x-3y-4z)2(2)(2a+\-b)2-(a-b)(a+2b)

(3)(a4-b)(a2-ab+b2)-(a+b}3(4)(a-4Z7)(—a2+4/?24-ab)

4.化简(下列〃的取值范围均使板式有意义):

(I)J—8。3

小、V4ab

（3）—j=---产(4)

a\!b-byja右

5.化简：

⑴段标+10爬一2点后

⑵(x>y>0)

11-ri3x+xy-3y-,

6,若-----=2,贝ij-----:-----的值为()：

xyx-xy-y

5

D.

3

7.设”"看‘看看'求代数式X：：了的值.

8.已知。=—x+20,b——x+19,c=—x+21»求代数式。~+〃~+c?—a/?—Z?c—ac

202020

的值.

9.设工二正二!■,求d+f+2x-i的值.

2

10.化简或计算:

⑵2栏.亚7(2_后+普-

五/4V36+2

x\fx+Xy[yx+y[xy+y

xy-y2Xy/x-yyfy

三）、分式

当分式4的分子、分母中至少有一个是分式时，4■就叫做繁分式，繁分式的化简常用

BB

以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.

【例10】化简一7—

X

X+

\

X

XX_x(x+1)_x+1

解法一:原式二一7—v__2