第06讲函数零点一轮复习讲义（知识点高频题型精讲真题再现）（原卷版）

第06讲函数的零点精讲一、知识梳理1、函数的零点对于一般函数，我们把使得成立的实数叫做函数的零点．提醒：函数的零点不是点，类似于函数极值点也不是点一样，是一个实数。2、函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点等价于方程的实数根，等价于函数的图象与轴的交点的横坐标，三者互相可以转化。即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.注：①上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.②若函数的图像连续不断，且在上存在零点，且单调，则。4、二分法对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：①确定零点的初始区间，验证．②求区间的中点c．③计算，并进一步确定零点所在的区间：a．若（此时），则c就是函数的零点．b．若（此时），则令b．c．若（此时，则令a．④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．5、常用结论①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.⑤若周期函数存在零点，则在定义域上零点不唯一。二、题型精讲题型一：函数零点所在区间的判断例1．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数零点所在区间为（

）A． B． C． D．【变式1】（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知方程的解在内，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型二：函数零点个数的判断例2（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（

）A． B． C． D．【变式1】．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知函数的零点个数为___________.【变式2】（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的零点个数是（

）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【变式3】（2023·江西赣州·统考一模）已知函数，则方程的实根个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数则解的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式5】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型三：已知函数零点个数求参数范围例3（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点1：分段含参讨论型【变式1】（湘豫名校联考20222023学年高三上学期10月一轮复习诊断考试（一）数学试题）已知函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【变式2】已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点2：参数分界型讨论【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数，当时，的零点个数为；若恰有4个零点，则的取值范围是.考点3：分离参数型水平线法求零点【变式4】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若存在，使得方程有两个不同的实数根且两根之和为6，则实数的取值范围是．【变式5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（

）A． B．8 C．或8 D．4【变式6】（2324高一下·广东东莞·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，，，且，，则实数的取值范围是．题型四：求零点和例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（

）A． B． C． D．【变式1】．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，（），则函数所有零点的和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数在上的所有零点之和等于.【变式4】（2020·广东中山·校联考模拟预测）定义域为的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，，，则（

）A．1 B．2 C． D．三、真题训练1．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．82．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．4．（2015·湖南·高考真题）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是．5.（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．7．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.8．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．