第17讲重难点拓展基本不等式的综合问题（三大题型归纳分层练）

第17讲重难点拓展：基本不等式的综合问题【苏教版2019必修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01常数代换法求最值 1题型02消元法求最值 3题型03换元法求最值 6分层练习 9夯实基础 9能力提升 18创新拓展 25题型01常数代换法求最值【解题策略】常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商【典例分析】【例1】（2324高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（

）A．6 B．16 C．20 D．18【答案】D【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为正数，满足，则，当且仅当，即时等号成立.故选：D【变式演练】【变式1】（2324高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为.故选：B．【变式2】（2324高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为【答案】6【分析】先把已知变形为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求最值.【详解】由得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：6.【变式3】（2324高一上·甘肃·期末）已知.(1)求证：；(2)若，求的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)8.【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式推理即得.（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】（1），则，当且仅当时取等号，所以.（2）由，且，得，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值8.题型02消元法求最值【解题策略】对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．【典例分析】【例2】（2324高一上·四川成都·期中）已知正实数a，b满足，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根据条件代入消去，变形后利用均值不等式求解.【详解】由可得，所以，因为正实数a，b满足，所以，故，当且仅当，即，故选：D【变式演练】【变式1】（2324高一上·湖南·阶段练习）已知，且，当取最小值时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值；【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，当时，取得最大值，最大值为.故选：D.【变式2】（2324高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为．【答案】/0.25【分析】由题意转换成二次函数的最值来做即可.【详解】由题意，，所以，所以等号成立当且仅当，即的最大值为.故答案为：.【变式3】（2122高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围；（2）已知，，，求的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意可得，将展开利用基本不等式求出最小值即可求解；.【详解】（1）因为恒成立，所以，由题意可知，当且仅当即，时等号成立，所以，所以，解得：，所以实数的取值范围为：；（2）由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝eq\f(8－x,2＋2x)，因为x>0，y>0，所以0<x<8.所以x＋2y＝x＋eq\f(8－x,x＋1)＝x＋eq\f(9－1－x,x＋1)＝x＋eq\f(9,x＋1)－1＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－2≥2eq\r(9)－2＝4，当且仅当x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2时，等号成立．所以x＋2y的最小值为4.题型03换元法求最值【解题策略】换元法求最值的思路观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决【典例分析】【例3】（2324高一上·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】利用换元得，即可变形为，利用不等式即可求解.【详解】设，则，则由可得，化简得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即或时等号成立，故，故选：D【变式演练】【变式1】（2324高一上·湖北黄冈·期中）已知，则函数的最大值为（

）A． B．7 C． D．【答案】A【分析】先令，将原式化为有关t的代数式，最后化简，利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，设，则，，当且仅当即相当于时取等号，所以函数的最大值为是.故选：A【变式2】（2324高一上·云南迪庆·期末）已知二次函数，若对任意，若且不等式恒成立，则的最小值为．【答案】8【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可.【详解】因为不等式恒成立，所以，可得，因为，所以由，设，因为，所以，则有当且仅当时取等号，即当时取等号，即当时取等号，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是根据一元二次不等式的解集性质得到，进而利用换元法、基本不等式进行求解【变式3】．（2324高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值；（2）求函数的最小值．【答案】（1）3；（2）9．【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得；（2）令，则，利用基本不等式计算可得；【详解】（1）∵，，且，所以，则，当且仅当时等号成立，因此的最小值为3．（2）因为，所以，令，所以，所以，当且仅当，即时等号成立；所以函数的最小值为【夯实基础】一、单选题1．（2324高一上·云南曲靖·期中）已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先变形，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】由，可得，又由，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：C.2．（2223高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【详解】由题设，，而，，所以，所以且，又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，即目标式最大值为.故选：D3．（2324高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（

）A．15 B． C．17 D．【答案】C【分析】利用，可将消元为只含或只含的式子，再利用基本不等式求解.【详解】∵，∴，其中，∴，又∵，∴，则，当且仅当即时，等号成立.∴的最小值为17.故选：C4．（2223高一上·重庆·期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】,.故选:D.二、多选题5．（2324高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则的最大值是B．若都是正数，且，则的最小值是3C．若，则的最小值是3D．若实数满足，则的最大值是4【答案】ABD【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；根据基本不等式即可判断C；利用万能“”法即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故A正确；对于B，由都是正数，且，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是3，故B正确；对于C，若，则，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，故C错误；对于D，令，则，又，则，化简得，所以，解得，所以的最大值是4，故D正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．（2324高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（

）A．的最小值为8．B．的最小值为C．的最大值为．D．的最小值为．【答案】ABC【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D.【详解】A选项，因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，故A正确；B选项，因为，当且仅当，即时取等号，故B项正确；C选项，，当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确；D选项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误．故选：ABC.【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值.三、填空题7．（2324高一上·山东济南·期中）若正数，满足，则的最大值为．【答案】【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.【详解】因为正数，满足，所以，即，则，当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9，则的最大值为．故答案为：8．（2324高一上·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是．【答案】【分析】根据基本不等式在最值求解中的应用计算即可．【详解】因为实数，，，则，当且仅当，即，时取等号．故答案为：．9．（2324高一上·湖北武汉·阶段练习）已知正实数满足，则的最大值为.【答案】【分析】由常数代换法，换元法，并利用基本不等式解决最值问题即可.【详解】解：根据题意，由于，令，当时，由已知可得，所以；当时，则，令；，当且仅当，即，即时取等号，即的最大值.故答案为：.四、解答题10．（2324高一上·广西南宁·阶段练习）回答下列两题：(1)已知，，且，求的最小值；(2)已知，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“1”的妙用，变形为，利用基本不等式，即可求解；（2）变形后，直接利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意可知，，当时，即，得时，等号成立，综上可知，的最小值为；（2）原式，当时，等号成立，即，所以的最小值为.11．（2324高一上·四川达州·阶段练习）已知a，b为正实数，且．(1)求ab的最大值；(2)求的最小值【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用基本不等式即可求出ab的最大值；（2）利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】（1）由题意，a，b为正实数，且因为，当且仅当即时取等号，解得，即，故的最大值为2．（2）由题意及（1）得，a，b为正实数，且，∴，所以，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为．【能力提升】一、单选题1．（2324高一上·湖南株洲·阶段练习）已知：，且，则的最小值是（

）A．9 B．6 C．4 D．3【答案】A【分析】利用基本不等式的性质，直接计算可得答案.【详解】，，当且仅当时，即，由，得，即，可求出，即当时，不等式等号成立.故选：A2．（2324高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】由基本不等式可得答案.【详解】已知，则，，当且仅当，即时“”成立，故所求最小值是16.故选：D．3．（2324高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案.【详解】由得，其中，，所以，当且仅当，即，则，时，等号成立，故的最小值为9.故选：D4．（2324高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（）A．8 B．4 C． D．【答案】A【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解.【详解】由，，可得，则则，当，得时，等号成立，所以的最小值为8.故选：A二、多选题5．（2324高一上·黑龙江大庆·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（）A．有最小值8 B．有最小值C．的最小值是4 D．的最小值是【答案】ACD【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到A正确，直接利用均值不等式得到B错误C正确，消元利用二次函数性质计算得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，当且仅当，即，时等号成立，正确；对选项B：，，当且仅当，即，时等号成立，错误；对选项C：，当且仅当，即，时等号成立，正确；对选项D：，当时有最小值为，正确；故选：ACD6．（2324高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，且，则（

）A．的最大值为 B．的最大值是C．的最小值是8 D．的最小值是【答案】AC【分析】利用基本不等式判断AC；利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用消元法与基本不等式判断D.【详解】对于A，，所以，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；对于C，，，当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；对于D，由，得，由，得，，当且仅当，即时，等号成立，此时，矛盾，故等号取不到，故错误，故选：AC.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、填空题7．（2324高一上·安徽池州·期中）已知，若，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意，化简得到，设，求得，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，且，可得，则，设，可得且，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.8．（2223高一上·江苏宿迁·阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为【答案】【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.【详解】由，得，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.9．（2324高一上·浙江·期末）已知，则的最小值为．【答案】/【分析】根据已知条件，结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解．【详解】因为，所以设，则，所以，，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．四、解答题10．（2324高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知.(1)若与均为正数，求的最大值；(2)若与均为负数，求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用基本不等式求解即得.（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】（1）因为，，则，即，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最大值.（2）由与均为负数，得，因此，当且仅当，即，时取等号，所以当时，取得最小值.11．（2324高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐(1)令，用a、b表示(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，消去y即可得结果；（2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解.【详解】（1）因为，可得，整理得.（2）令，由（1）可得：，即，因为，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当，等号成立，即，则，可得，即，所以的最小值为【创新拓展】一、单选题1．（2223高一上·天津·期末）若实数，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.【详解】因为，所以，由，得，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D.二、多