经济数学基础（第六版）（上册）课件全套 顾静相 第1-5章 函数、极限与连续- 定积分

经济数学基础辅导第1讲1.1

函数教学要求

理解函数、复合函数、初等函数的概念，了解函数性质；

掌握复合函数的复合过程．函数的概念

在日常生活经常遇到各种不同的量．这些量可以分为两类，一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们把它称作常量；另一类量在所考察的过程中是变化的，可以取不同数值，我们把它称作变量．函数的概念

在理解常量与变量时，应注意：(1)常量和变量依赖于所研究的过程．同一个量，在某种情况下可以认为是常量，而在另一种情况下则可能是变量；反过来也是同样的．这说明常量和变量具有相对性．(2)从几何意义上讲，常量对应着实数轴上的定点，变量则对应着实数轴上的动点．(3)一个变量所能取的数值的集合叫做这个变量的变动区域．函数的概念

有一类变量可以取介于两个实数之间的任意实数值，叫做连续变量，连续变量的变动区域常用区间表示．函数的定义

定义1.1

设

x和

y是两个变量，若当变量

x在非空数集

D内任取一数值时，变量

y依照某一规则

f总有一个确定的数值与之对应，则称变量

y为变量

x的函数，记作

y=f(x)．这里，

x称为自变量，

y称为因变量或函数.f是函数符号，它表示

y与

x的对应规则．有时函数符号也可以用其他字母来表示，如

y=g(x)或

y=

(x)等．函数的定义

集合

D称为函数的定义城，相应的

y值的集合则称为函数的值域．

当自变量

x在其定义域内取定某确定值

x0时，因变量

y

按照所给函数关系

y=f(x)求出的对应值

y0叫做当

x=x0时的函数值，记作

或

f(x0)．函数的概念

常用的函数表示法有三种：

解析法(又称公式法)、表格法和图形法．

当函数关系由不同的式子

(公式)分段表达的函数称为分段函数．分段函数是微积分中常见的一种函数．函数的概念例1求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．函数的概念例1求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．解(1)在分式

中，分母不能为零，所以

，解得

，且

x0，即定义域为

．函数的概念例1求下列函数的定义域．(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；解(2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有

，解得

-3

x

3，即定义城为[-3,3]．(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有4x–3>0，解得

，即定义域为

．函数的概念例1求下列函数的定义域．(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．解(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有

-1

2x-11，解得0

x

1，即定义域为[0,1]．(5)该函数为(3)，(4)两例中函数的代数和，此时函数的定义域应为(3),(4)两例中定义域的交集，即

．函数的概念例2设函数求

f(-

)，f(1)，f(3.5)及函数的定义域．函数的概念例2设函数求

f(-

)，f(1)，f(3.5)及函数的定义域．解

因为-

[-4,1)，所以f(-

)=sin(-

)=0；因为1[1,3)，所以f(1)=1；因为3.5[3,+)，所以

f(3.5)=5

3.5-1=16.1;函数的定义域为[-4,+)．函数的有界性

定义1.2设函数

y=f(x)在区间

D上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的

x

D，恒有

，那么称函数

f(x)在

D上是有界的．如果不存在这样的正数

M，那么称

f(x)在

D上是无界的.函数的有界性y=f(x)在(a,b)内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在(a,b)内被限制在

y=

M和

y=M两条直线之间.函数的有界性y=f(x)在(a,b)内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在(a,b)内被限制在

y=

M和

y=M两条直线之间.注意：1．当一个函数

y=f(x)在区间（a,b）内有界时，正数M的取法不是唯一的．函数的有界性y=f(x)在(a,b)内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在(a,b)内被限制在

y=

M和

y=M两条直线之间.注意：1．当一个函数

y=f(x)在区间（a,b）内有界时，正数M的取法不是唯一的．2．有界性是依赖于区间的．函数的奇偶性

定义1.3设函数

y=f(x)在集合D上有定义，如果对任意的

x

D，恒有

f(

x)=f(x)，那么称

f(x)为偶函数；函数的奇偶性

定义1.3设函数

y=f(x)在集合D上有定义，如果对任意的

x

D，恒有

f(

x)=f(x)，那么称

f(x)为偶函数；如果对任意的

x

D，恒有f(

x)=

f(x)，那么称

f(x)为奇函数．函数的奇偶性

由定义可知，对任意的x

D，必有-x

D，否则，f(

x)没有意义．因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的．函数的奇偶性

偶函数的图象关于

y轴对称；

由定义可知，对任意的x

D，必有-x

D，否则，f(

x)没有意义．因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的．函数的奇偶性

奇函数的图象关于原点对称．

由定义可知，对任意的x

D，必有-x

D，否则，f(

x)没有意义．因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的．函数的奇偶性例3

判断下列函数的奇偶性：（1）

；

（2）

；（3）.函数的奇偶性例3

判断下列函数的奇偶性：（1）

；

（2）

；（3）.解（1）

因为所以是偶函数.函数的奇偶性

（2）

因为同理所以既非奇函数,也非偶函数．函数的奇偶性

（2）

因为同理所以既非奇函数,也非偶函数．

（3）

因为所以是奇函数．函数的单调性

定义1.4设函数

y=f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于

(a,b)

内的任意两点x1和

x2，

当

x1<x2时，有

f(x1)<f(x2)，那么称函数

f(x)在(a,b)

内是单调增加的；函数的单调性

定义1.4设函数

y=f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于

(a,b)

内的任意两点x1和

x2，

当

x1<x2时，有

f(x1)<f(x2)，那么称函数

f(x)在(a,b)

内是单调增加的；如果对于

(a,b)

内的任意两点x1和

x2，当

x1<x2时，有

f(x1)>f(x2)，那么称函数

f(x)在(a,b)内是单调减少的．函数的单调性

单调增加或单调减少的函数，统称为单调函数，使函数保持单调的区间叫做单调区间．函数的单调性

例4验证函数

y=3x

2在区间（

,+

）内是单调增加的．函数的单调性

例4验证函数

y=3x

2在区间（

,+

）内是单调增加的．

证

在区间（

,+

）内任取两点

x1,

x2，当

x1<x2时，由f(x1)

f(x2)=(3x1

2)

(3x2

2)=3(x1

x2)<0即

f(x1)<f(x2)，所以

y=3x

2在区间（

,+

）内是单调增加的．函数的周期性

定义1.5对于函数

y=f(x)，如果存在非零常数

a，使得对于任意

x

D，有x+a

D，且f(x+a)=f(x)恒成立，那么称此函数为周期函数．满足这个等式的最小正数

a称为函数的基本周期，简称为周期．函数的周期性如

y=sinx，y=cosx是以

2

为周期的周期函数函数的周期性如

y=sinx，y=cosx是以

2

为周期的周期函数

y=tanx，y=cotx是以

为周期的周期函数反函数

定义1.6设函数

y=f(x)值域为R，如果对于R中的每一个

y值，都有一个确定的且满足

y=f(x)的

x值与之对应，那么得到一个定义在

R

上的以

y为自变量，x为因变量的新函数，我们称它为

y=f(x)的反函数，记作

x=f-1(y)．并称=f(x)为直接函数．反函数

定义1.6设函数

y=f(x)值域为R，如果对于R中的每一个

y值，都有一个确定的且满足

y=f(x)的

x值与之对应，那么得到一个定义在

R

上的以

y为自变量，x为因变量的新函数，我们称它为

y=f(x)的反函数，记作

x=f-1(y)．并称=f(x)为直接函数．当然也可以说y=f(x)是

x=f-1(y)的反函数，就是说，它们互为反函数．反函数

例5求

y=4x

1的反函数．

解

由

y=4x

1得到

，然后交换

x

和

y，得

．即

是

y=4x

1的反函数．复合函数

定义1.7设

y

是

u的函数

y=f(u)，u

是

x的函数

u=

(x)．如果

u=

(x)的值域或其部分包含在

y=f(u)的定义域中，那么

y通过中间变量

u成为x的函数，称为

x的复合函数，记作

y=f[

(x)]．其中，x

是自变量，u

称作中间变量．复合函数

例如，函数

u=x2的值域是

[0,+)，而函数

y=sinu的定义域是

(

,+)，故

y通过中间变量

u能构成

x的复合函数

y=sinu=sinx2．复合函数注意：1．不是任何两个函数都可以构成一个复合函数的．

如

，不能复合

例如，函数

u=x2的值域是

[0,+)，而函数

y=sinu的定义域是

(

,+)，故

y通过中间变量

u能构成

x的复合函数

y=sinu=sinx2．复合函数注意：1．不是任何两个函数都可以构成一个复合函数的．

如

，不能复合

2．复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，这些中间变量是经过多次复合产生的．复合函数注意：

3．复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数复合而成，而更多的是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数构成的，这样，复合函数的合成和分解往往是对简单函数的．复合函数

例6将函数

y=lnu，u=4

v2，v=cosx表成复合函数．复合函数

例6将函数

y=lnu，u=4

v2，v=cosx表成复合函数．

解将中间变量u=4

v2代入函数中，得

y=lnu=ln(4

v2)，再将

v=cosx代入函数中，得

y=lnu=ln(4

v2)=ln(4

cos2x)

．复合函数

例7将复合函数

分解成较简单的函数．复合函数

例7将复合函数

分解成较简单的函数．

解设，则；

设，则

．所以，

可以看成是由

，

，

三个函数复合而成．函数谢谢大家！

经济数学基础辅导第二讲1.2极限的概念教学要求

理解极限的定义，了解左、右极限的概念．函数的极限

定义1.9

设函数f(x)在(a为正常数)时有定义，如果当

x的绝对值无限增大时，函数

f(x)趋于一个常数

A，则称当

x→∞时函数

f(x)以

A为极限．记作

或

f(x)→

A

(x→∞)．函数的极限

定义1.9′

设函数f(x)在x>a时有定义，如果当

x>0且无限增大时，函数

f(x)趋于一个常数

A，则称当

x→+∞时函数

f(x)以

A为极限．记作

或

f(x)→

A

(x→+∞)．函数的极限

定义1.9″

设函数f(x)在x<

a时有定义，如果当

x<0且x的绝对值无限增大时，函数

f(x)趋于一个常数

A，则称当

x→-∞时函数

f(x)以

A为极限．记作

或

f(x)→

A

(x→-∞)．函数的极限例1求．

函数的极限例1求．

解函数的图象如右图所示．当

x→+∞时，

无限变小，函数值趋于1；x→-∞

时，函数值同样趋于1，所以有

=1．

函数的极限

定义1.10

设函数y=f(x)在x0的某个邻域(点

x0本身可以除外)内有定义，如果当

x趋于x0(但x≠x0)时，函数

f(x)趋于一个常数

A，则称当

x趋于x0时，

f(x)以

A为极限．记作

或

f(x)→

A

(x→x0)

，亦称当

x→x0时，

f(x)的极限存在．否则称当

x→x0时，f(x)的极限不存在．左极限与右极限

定义1.11

设函数y=f(x)在x0右侧的某个邻域(点

x0本身可以除外)内有定义，如果当

x>x0趋于x0时，函数

f(x)趋于一个常数

A，那么称当

x趋于x0时，f(x)的右极限是

A.记作

或

f(x)→

A

．左极限与右极限设函数y=f(x)在x0左侧的某个邻域(点

x0本身可以除外)内有定义，如果当

x<x0趋于x0时，函数

f(x)趋于一个常数

A，那么称当

x趋于x0时，

f(x)的左极限是

A．记作

或

f(x)→

A

．极限存在的充分必要条件

定理1.1当

x→x0时，

f(x)以

A为极限的充分必要条件是

在点

x0处左、右极限存在且都等于A．即

．例2设试判断

是否存在．

左极限与右极限例2设试判断

是否存在．

解先分别求

f(x)当

x→1时的左、右极限：，左极限与右极限左、右极限各自存在且相等，所以

存在，且

．例3

判断

是否存在．

左极限与右极限例3

判断

是否存在．

左极限与右极限解当x→0+时，

，

，即

；当x→0-时，

，

，即

．左极限存在，而右极限不存在，由充分必要条件可知

不存在．

极限的概念谢谢大家！

经济数学基础辅导第三讲1.3无穷小量与无穷大量教学要求理解无穷小的概念和性质，会对无穷小进行比较．无穷小量与无穷大量

定义1.12若函数

y=f(x)在自变量

x的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中，

f(x)为无穷小量，简称无穷小．无穷小量与无穷大量

定义1.12若函数

y=f(x)在自变量

x的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中，

f(x)为无穷小量，简称无穷小．

例如，当

x→0时，sinx，

，

x3是无穷小量；

当

x→1时，(x-

1)3

是无穷小量；

当

x→∞时，

，

是无穷小量．我们经常用希腊字母

α，β，γ

来表示无穷小量．无穷小量与无穷大量注意：(1)定义中所说的变化过程，包括1.2节所定义的函数极限的六种形式；(2)无穷小的定义对数列也适用；(3)无穷小量是以零为极限的变量，不要把一个很小的数误认为是无穷小量；(4)不能笼统地说某个函数是无穷小量，必须指出它的极限过程．因为无穷小量是与极限过程相联系的．在某个变化过程中的无穷小量，在其他过程中则不一定是无穷小量．极限与无穷小之间的关系

定理1.2

函数

f(x)以

A为极限的充分必要条件是：f(x)可以表示为

A与一个无穷小量

α

之和．即

，

其中

limα=0．无穷小量与无穷大量

定义1.13若在自变量

x的某个变化过程中，函数

是无穷小量，即则称在该变化过程中，

f(x)为无穷大量，简称无穷大，记作Limf(x)=∞．

无穷小量与无穷大量

例如，当

x→0时，

是无穷大量；

当

x→0+

时，cotx，

是无穷大量；

当

x→∞时，x+2，x2是无穷大量．无穷小量与无穷大量注意：(1)关于无穷大量的定义，对数列也适用．(2)无穷大量是一个变化的量，一个不论多么大的数，都不能作为无穷大量．(3)函数在变化过程中绝对值越来越大且可以无限增大时，才能称无穷大量．(4)当我们说某个函数是无穷大量时，必须同时指出它的极限过程．无穷小量与无穷大量的关系

当

x→0时，x3是无穷小量，是无穷大量；

当

x→∞时，x+2是无穷大量，

是无穷小量．这说明无穷小量和无穷大量存在倒数关系．无穷小量的性质

性质1.1有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量．

性质1.2有界变量乘无穷小量仍是无穷小量．

性质1.3常数乘无穷小量仍是无穷小量．

性质1.4无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量．例4求．

无穷小量的性质例4求．

无穷小量的性质解因为

，所以

是有界变量；当

x→0时，x

是无穷小量．根据性质1.2，乘积

是无穷小量．即

．记

，

，

，它们都是

时的无穷小量．但，

，

．

无穷小量的阶

定义1.14设

α、β

是同一变化过程中的两个无穷小量，

(1)若

，则称

α是比

β

高阶的无穷小量．也称

β

是比

α

低阶的无穷小量．

(2)若(c

是不等于零的常数)，则称

α

与

β

是同阶无穷小量．若

c=1，则称

α与

β

是等价无穷小量．

无穷小量的阶无穷小量与无穷大量谢谢大家！

经济数学基础辅导第4讲1.4极限的性质与运算法则教学要求

掌握极限的四则运算法则．极限的性质

性质1.5（唯一性）若极限limf(x)存在，则极限值唯一．

性质1.6（有界性）若极限

存在，则函数

f(x)在

x0的某个空心邻域内有界．极限的性质

性质1.7（保号性）若

，且

A>0(或

A<0)，则在

x0

的某空心领域内恒有

f(x)>0(或

f(x)<0)．若

，且在

x0的某空心邻域内恒有

f(x)≥0(或

f(x)≤0)，则

A≥0(或A≤0)．求极限的四则运算法则定理1.3若，

，则(1);(2);(3)当

时，

．

求极限的四则运算法则定理1.3若，

，则(1);(2);(3)当

时，

．

四则运算法则可以推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况．

四则运算法则的推论

推论设存在，c为常数，n为正整数，那么(1)；(2)

．

四则运算法则的推论

推论设存在，c为常数，n为正整数，那么(1)；(2)

．

注意：(1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在．(2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零．

四则运算求极限的方法例1求．

四则运算求极限的方法例1求．

解因为分母在

x=0

处，

，所以用公式（3.1）得：

．

四则运算求极限的方法例2求．

四则运算求极限的方法例2求．

解先求分母的极限：，此时由于分母极限为零，不能直接使用运算法则．在分母为零的情况下,求极限的方法将取决于分子极限的状况．本题中容易求得分子极限不等于零．这时我们先来考虑原来函数倒数的极限．

四则运算求极限的方法即是

x→1时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到

．

，

四则运算求极限的方法结论：如果记

，其中

为常数．那么

．即n次多项式

当

x

x0

时的极限就是

在

x0处的函数值

．

四则运算求极限的方法

又记

，其中

为常数．那么当

时，有理分式的极限为：

（4.1）四则运算求极限的方法

又记

，其中

为常数．那么当

时，有理分式的极限为：

（4.1）当x

时，有理分式函数()的极限为：

（4.2）

利用无穷小性质求极限的方法例3求．

利用无穷小性质求极限的方法例3求．

解因为

，

所以不能直接利用商的极限运算法则．但是

，故

．

利用无穷小性质求极限的方法解因为

，

所以不能直接利用商的极限运算法则．但是

，故

．

即当

x2

时，

是无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得

．

利用无穷小性质求极限的方法例4求．

利用无穷小性质求极限的方法例4求．

解因为即当

x

时，

是无穷小．

利用无穷小性质求极限的方法例4求．

解因为即当

x

时，

是无穷小．

又

sinx

是有界变量，由无穷小量性质3“有界变量乘无穷小量仍是无穷小量”，得

．

极限的性质与运算法则谢谢大家！

经济数学基础辅导第5讲1.5两个重要极限教学要求

会用两个重要极限求函数的极限．极限存在的准则

准则Ⅰ如果函数

f(x)，g(x)，h(x)在同一变化过程中满足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，那么limf(x)存在且等于A．极限存在的准则

准则Ⅰ如果函数

f(x)，g(x)，h(x)在同一变化过程中满足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，那么limf(x)存在且等于A．

准则Ⅱ如果数列{xn}单调有界，那么一定存在．两个重要极限第一重要极限：两个重要极限第一重要极限：由第一重要极限得：利用第一重要极限求极限的方法例1求．

利用第一重要极限求极限的方法例1求．

解令

t=arcsinx，则

x=sint，且当

x0

时

t0．于是

．

利用第一重要极限求极限的方法例2求．

两个重要极限第二重要极限：利用第一重要极限求极限的方法例2求．

解令

，则当

x

时

t0．于是

．

两个重要极限第二重要极限：如果令

，那么当

x

时，u

0，于是上式可化为

．

两个重要极限第二重要极限：如果令

，那么当

x

时，u

0，于是上式可化为

．

结论：

可以化为两个重要极限第二重要极限：如果令

，那么当

x

时，u

0，于是上式可化为

．

结论：

可以化为教材中“连续复利问题”的例子就是第二重要极限的一个应用，大家要认真地阅读．利用第二重要极限求极限的方法例3求．

利用第二重要极限求极限的方法例3求．

解因为

，由结论

，得

．

利用第二重要极限求极限的方法例4求．

利用第二重要极限求极限的方法例4求．

解令u=2x+1，则

，当

x

时，u

，于是有

．

利用第二重要极限求极限的方法例4求．

解令u=2x+1，则

，当

x

时，u

，于是有

．

两个重要极限谢谢大家！

经济数学基础辅导第6讲1.6函数的连续性教学要求

理解函数在一点连续性的概念，初等函数的连续性；

了解闭区间上连续函数的性质；

会判别间断点的类型，会求连续函数的极限．连续函数的概念

定义1.17设函数

y=f

(x)

在点

x0

的某个邻域内有定义，如果当

x→x0时，函数

f(x)的极限存在，且等于

f(x)在点

x0处的函数值

f(x0)，即

，

则称函数

f(x)在点

x0处连续．

连续函数的概念结论:1．若函数

y=f

(x)在点

x0处连续，则

f(x)在点

x0处的极限一定存在；反之，若

f(x)在点

x0处的极限存在，则函数

f(x)在点

x0处不一定连续．2．若函数

y=f

(x)在点

x0处连续，在求x→x0时

f

(x)的极限，只需求出

f

(x)在点

x0处的函数值

f(x0)即可．

连续函数的概念结论:3．当函数

y=f

(x)在点

x0处连续时，有

．这个等式的成立意味着在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换．

连续函数的概念

若函数

u=

(x)当

x→x0时极限存在且等于

u0，即而函数

y=f

(u)在点

u0处连续，则复合函数

y=f

[

(x)]当

x→x0时极限存在，且

．

定义1.18如果函数

y=f

(x)

在区间

(a,b)内任意一点都是连续，则称

f

(x)

在区间

(a,b)内连续．

若函数

y=f

(x)在区间

(a,b)内连续，且

，

，则称

f

(x)在闭区间

[a,b]上连续．连续函数的概念初等函数的连续性

定理1.4若函数

f(x)

与

g(x)

在点

x0

处连续，则这两个函数的和

f(x)+

g(x)

、差

f(x)g(x)、

积

f(x)

g(x)

、商

（当g(x0

)0时）在点

x0

处连续．

初等函数的连续性

定理1.4若函数

f(x)

与

g(x)

在点

x0

处连续，则这两个函数的和

f(x)+

g(x)

、差

f(x)g(x)、

积

f(x)

g(x)

、商

（当g(x0

)0时）在点

x0

处连续．

定理1.5

设函数

u=

(x)在点

x0

处连续，

y=f(u)

在点

u0

处连续，且

u0=

(x0)，则复合函数y=f[

(x)]

在点

x0处连续.

初等函数的连续性结论

基本初等函数在其定义域内都是连续函数．

由基本初等函数经过四则运算以及复合步骤所构成的初等函数在其定义区间内都是连续的．

因此，求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可．连续函数求极限的方法例1求．

连续函数求极限的方法例1求．

解因为是求有理分式的极限，由二项式的展开式得分子的最高次幂是

，分母的最高次幂是

，所以用公式（4.2

）得：

．

连续函数求极限的方法例2求．

连续函数求极限的方法例2求．

解因为

，所以不能利用商的极限运算法则，也不能利用（4.1）式求之．又因为

，所以可有理化，即分子、分母同乘

，得：连续函数求极限的方法例4求．

解因为

，所以不能利用商的极限运算法则，也不能利用（3.1）式求之．又因为

，所以可有理化，即分子、分母同乘

，得：连续函数求极限的方法解因式分解连续函数求极限的方法解因式分解函数的间断点定义1.19设函数

y=f

(x)

在点

x0

的某个邻域内有定义，如果y=f

(x)

在点

x0

处不连续，那么称点

x0为f

(x)

的间断点．

函数的间断点如果f

(x)

在点

x0

处有下列三种情况之一，则点

x0

是f

(x)

的一个间断点．

(1)在点

x0

处

f

(x)

没有定义；

(2)不存在；

(3)虽然存在，但

．

函数的连续性

例3考察函数

在点

x=

1

处的连续性．函数的连续性

例3考察函数

在点

x=

1

处的连续性．

解因为

在点

x=

1

处没有定义，所以x=

1是f(x)的一个间断点．函数的连续性

例3

讨论函数

在点

x=

1

处的连续性．

解因为

在点

x=

1

处没有定义，所以x=

1是f(x)的一个间断点．

又因为

所以点

x=

1称为f(x)的无穷间断点．函数的连续性

例4

讨论函数

在点

x=0

处的连续性．函数的连续性

例4

讨论函数

在点

x=0

处的连续性．

解虽然在点

x=0

处

f(x)

有定义，且

f(0)=0，但是在

x=0

处，

,

,即

f(x)

在

x=0

处左、右极限不相等，得f(x)

在

x=0

处极限不存在．所以

x=0

是

f(x)

的一个跳跃间断点．函数的连续性

解虽然在点

x=0

处

f(x)

有定义，且

f(0)=0，但是在

x=0

处，

,

,即

f(x)

在

x=0

处左、右极限不相等，得f(x)

在

x=0

处极限不存在．所以

x=0

是

f(x)

的一个跳跃间断点．函数的连续性

例5

讨论函数

在点

x=2

处的连续性．函数的连续性

例5

讨论函数

在点

x=2

处的连续性．

解虽然在点

x=2

处

f(x)

有定义，函数值f(2)=-4，而且在

x=2

处函数的极限

,存在，但是．所以

x=2

是

f(x)

的一个间断点．函数的连续性

例5

讨论函数

在点

x=2

处的连续性．

解由右图可知，x=2是

f(x)

的一个可去间断点．只要在点

x=2改变定义或补充定义，就可以使

在该点连续．闭区间上连续函数的性质定理1.6若函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值.

闭区间上连续函数的性质定理1.6若函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值.

如右图，

f(x)在[a,b]上连续，在点

x1处取得最小值m，在点

x2与点

b处取得最大值M．

闭区间上连续函数的性质定理1.7(介值定理)若函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，

m和

M分别为

f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则对介于

m和

M之间的任一实数

C，至少存在一点

(a,b)，使得

f(

)=C．

闭区间上连续函数的性质

如下图，连续曲线

y=f(x)与直线

y=C相交于两点，其横坐标分别为

1,

2，且

f(

1)=f(

2)=C．

闭区间上连续函数的性质推论

若函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，且

f(b)与

f(a)异号，则至少存在一点

(a,b)，使得

f(

)=0．

闭区间上连续函数的性质推论

若函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，且

f(b)与

f(a)异号，则至少存在一点

(a,b)，使得

f(

)=0．

如右图，连续曲线

y=f(x)(f(a)<0,f(b)>0)与

x轴相交于

处，且

f(

)=0．

函数的连续性谢谢大家！

经济数学基础辅导第7讲2.1

导数的概念教学要求理解导数的概念；

了解导数的几何意义，可导与连续之间的关系．导数概念

定义2.1设函数

y=f(x)在

x0

点的某个邻域内有定义，当自变量在点

x0处取得增量

x(0)时，函数

f(x)取得相应的增量

y=f(x0+

x)-f(x0)．如果当

x0时，存在，那么称此极限值为函数

y=f(x)在点

x0的导数，记作

f

(x0)，或

，或

，或,导数概念如果当

x0时，存在，则称此极限值为函数

y=f(x)在点

x0的导数，记作

f

(x0)，或

，或

，或,并称函数

f(x)在点

x0

可导；如果

不存在，则称函数

f(x)在点

x0

不可导．导数概念

定义2.2

若函数

y=f(x)在区间(a,b)内任意一点处都可导，则称函数

f(x)在区间(a,b)内可导．导数概念

定义2.2

若函数

y=f(x)在区间(a,b)内任意一点处都可导，则称函数

f(x)在区间(a,b)内可导．若f(x)在区间(a,b)内可导，则对于区间(a,b)内每一个x值，都有一个导数值f

(x)与之对应，所以

f

(x)也是

x的函数，叫做

f(x)的导函数，简称导数．记作

f

(x)，或

y

，或

，或

．导数概念

显然，f(x)的导数

f

(x)在点x=x0

处的函数值就是f(x)在点

x0处导数

f

(x0)．

根据导数的定义，求函数

f(x)的导数的一般步骤如下：

1．写出函数的增量

y=f(x

+

x)-f(x)；

2．计算比值