理论力学-课件第8章

第8章

质点运动微分方程本章内容1动力学引言

2动力学的基本定律

3质点的运动微分方程

4质点动力学的两类问题第一节

动力学引言动力学则对物体的机械运动进行全面的分析，它研究作用于物体上的力和物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。动力学研究的力学模型是质点和质点系。质点是具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。它是一般物体的抽象，当物体的几何形状和尺寸对所研究的问题影响很小时，就可以把该物体看成是质点。这样做不仅使问题简化，而且便于抓住问题的本质。如果物体的几何形状和尺寸不可忽略，则物体应抽象为质点系。质点系是由有限个或无限个有联系的质点组成的系统。质点系包含极为广泛的物体及其组合。第二节

动力学的基本定律第一定律（惯性定律）

不受力作用的质点，将保持静止或做匀速直线运动。不受力作用的质点，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。第一定律阐述了物体做惯性运动的条件，故又称为惯性定律。第二定律（力与加速度之间的关系定律）

质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即（8-1）式（8-1）是第二定律的数学表达式，它是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。该式表明：图8-1（1）质点的加速度矢

与力矢

的方向相同，如图8-1所示。式（8-1）是矢量形式。其中，力应理解为作用于质点的合力，即（2）力与加速度的关系是瞬时的关系，即只要某瞬时有力作用于质点，则该瞬时质点必有确定的加速度。（3）如在某一段时间内，没有力作用于质点，则在这段时间内质点没有加速度，质点速度的大小和方向保持不变，质点在这段时间内做惯性运动，这与第一定律是相符合的。（4）对质量相等的质点，作用于质点的力大，则其加速度也大；如用大小相等的力作用在质量不同的质点上，则质量大的质点加速度小，质量小的质点加速度大。这说明质点的质量越大，保持原来运动状态的能力越强，即质点的质量越大，质点的惯性也越大。因此，质量是质点惯性的度量。由上可知，物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的力，同时也与物体的惯性有关。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用

表示。根据第二定律有（8-2）式中：P——物体所受的重力；

g——物体所受的重力加速度。在国际单位制中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为m，kg和s；力的单位是导出单位。质量为1kg的质点，获得

的加速度时，作用于该质点的力为一个国际单位，称为N，即在工程中常用工程单位制。在工程单位制中，长度、力和时间的单位是基本单位，分别取为m，kgf和s，并把1kg质量所受重力作为力的单位，即第三定律（作用力与反作用力定律）

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。第三节

质点的运动微分方程一、适量形式的质点运动微分方程如图8-2所示，设有质点M，质量为m，作用于其上各力的合力为

，矢径为

，加速度为

。由运动学有（8-3）代入式（8-1），得（8-4）式（8-4）就是矢量形式的质点运动微分方程。通过式（8-4）可求作用于质点上的力F，也可求质点矢量形式的运动方程

。图8-2二、直角坐标形式的质点运动微分方程将式（8-4）在直角坐标系Oxyz各轴上投影，得（8-5）由动运学有（8-6）式中，x，y，z是质点M在直角坐标系Oxyz中的坐标。将式（8-6）代入式（8-5），得（8-7）式（8-7）就是直角坐标形式的质点运动微分方程。三、自然形式的质点运动微分方程将式（8-1）投影于自然轴系

，n，b的各轴，得（8-8）式中，

，

，

和

，

，

分别是质点M的加速度a和作用于质点M上各力的合力F在切线、主法线和副法线上的投影。由运动学有（8-9）将式（8-9）代入式（8-8），得（8-10）式（8-10）就是自然形式的质点运动微分方程。第四节

质点动力学的两类问题质点动力学的问题总的来讲可分成两类：第一类问题是已知质点的运动，求作用于质点上的力；第二类问题是已知作用于质点上的力，求质点的运动。一、质点动力学第一类问题的典型例题例8-1重力为P的质点M，在有阻尼的介质中铅垂降落，如图8-3所示。其运动方程为

，

常数。求介质对质点M的阻力，并表示为速度的函数。解（1）选取研究对象。选取质点M为研究对象。图8-3图8-3（2）画受力图。将质点M放在运动的一般位置上画出其受力图。质点在此位置上所受的力有重力P和介质阻力

，如图8-3所示。（3）选定坐标系。质点M做铅垂直线运动，选轨迹直线为直角坐标轴Ox，并规定向下为正。（4）建立运动微分方程。质点M直角坐标形式的运动微分方程为式中，

和

分别为P，

在Ox轴上的投影。如图8-3所示，有，于是运动微分方程可写为（5）求阻力

。由运动微分方程得根据质点M的运动方程，有于是有例8-2如图8-4所示，半径为R的偏心轮以匀角速度

绕O轴转动，推动导板AB沿铅垂滑道运动。已知偏心距

，开始时OC沿水平线。若在导板顶部D处放有一质量为m的物块M。试求：（1）导板对物块的最大约束力及此时偏心C的位置。（2）欲使物块不离开导板，求角速度

的最大值。图8-4解（1）选物块M为研究对象，选坐标轴如图8-4（a）所示。（2）画受力图，如图8-4（b）所示。

为导板约束力，W为M的自重。（a）

（b）图8-4（3）分析运动。由图8-4（a）可知，M点的运动方程为（a）点的加速度应为（b）（4）列质点运动微分方程，求解。由式（8-7）得到（c）所以

（d）当

，即C点在最低位置时，约束力

便可达到最大值：由式（d）又可知，当

时，即C达到最高位置时，

达到最小值：使物块M不离开导板的角速度最大值为例8-3已知单摆长为l，重为G，做小幅角摆动的规律为

，其中

为常量，如图8-5（a）所示。求单摆经过最高位置和最低位置时绳的拉力。图8-5（a）解（1）选质点M为研究对象。（2）分析力，画受力图，如图8-5（b）所示。作用于M上的力有重力G和绳的拉力

。图8-5（b），（3）分析运动，列质点运动微分方程，求解。质点M的运动微分为由于

，因此有，，代入运动微分方程，得第二个方程可用于求绳的拉力

，由此方程解得当单摆处于最高位置时，

，

，于是有当单摆处于最低位置时，

，此时的

为当

时（最低位置），有于是有二、质点动力学第二类问题的典型例题例8-4重力2000N的帆船以速度1.5m/s沿直线运动，如图8-6所示。在取下风帆后，船克服水的阻力而继续向前运动。设水的阻力

（其中，

为船的速度，单位为m/s，

的单位为N），问在多少时间内船的速度减小到原速度的四分之一，并求在这段时间内船航行的距离。图8-6解（1）选帆船为研究对象。（2）受力分析，画受力图。船在铅垂方向的重力和浮力相平衡，故只需画出水平方向的阻力F。（3）选固定坐标轴Ox，并建立运动微分方程。设船重为G，则船的运动微分方程为式中，

，

分别为阻力F和船的速度

在轴Ox上的投影，于是有为了求出速度v与时间t的关系，可将

写为代入运动微分方程，得分离变量后写为根据已知条件，当

时，

，定积分可写为积分后得解得当

时，所经过的时间为为求出v与x的关系，将

写为代入运动微分方程，有或时，，于是有积分后得当

时，船的航行距离为例8-5弹性线系于A点，并穿过一固定光滑小环O，线的另一端系一质量为

的小球M，线未被拉长时的长度

，每将线拉长一个单位长度，需要加力

，其中弹性线的刚度系数k为常数，今沿AB方向将线拉长，使其长度增加一倍，并给小球沿与AB垂直方向的初速度为

，如图8-7所示。设小球重力不计，线的拉力与线的伸长成正比，小球在铅直面Oxy平面内运动。求小球的运动规律。图8-7解（1）选小球M为研究对象，建立直角坐标系Oxy，如图8-7所示。（2）分析力，画受力图。小球M的作用力F（a）（3）分析运动。在弹性线恢复力F的作用下，小球M将做曲线运动，其运动规律及运动轨迹将由小球M的运动微分方程来确定。（4）列运动微分方程，求解。设小球M在Oxy平面内的坐标为

，则由式（8-5）可得小球的运动微分方程为（b）将式（a）代入式（b），得或（c）式（c）的两个方程均为二阶常系数齐次线性微分方程，其通解为（d）运动开始时，小球M位于点B，其坐标为

，，则有（e）将式（d）对时间求导数，得（f）将初始条件式（e）代入式（f），可得（g）（h）（i）（j）联立求解式（g）～式（j），可得再将积分常数代入式（d），可得小球M的运动方程为（k）（l）最后由式（k）、式（l）求得小球的轨迹方程为（m）例8-6在铅垂平面内，质量为m的质点M自O点抛出，其初速度为

，方向角为

，如图8-8所示。设空气阻力

的大小为mkv（k为常数），方向始终与质点M的速度

方向相反。求该质点M的运动方程。图8-8解

（1）选质点M为研究对象，选取如图8-8所示的直角坐标系。（2）分析力，