12.5.1提公因式法课件华东师大版八年级数学上册

12.5因式分解1.

提公因式法学习目标1.

理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.（重点）2.

理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.小明是这样做的:993－99＝99×992－99×1＝99(992－1)＝99×9800＝98×99×100.所以，993－99能被100整除.993－99还能被哪些正整数整除？你能说出每一步的依据吗？99(992－1)=99×(99+1)×(99-1)情境导入合作探究将99

换成其他任意一个大于1

的整数，还能写成几个整式的乘积的形式吗？解决问题的关键是把上面式子化成了几个整式积的形式.用a

表示任意一个大于1

的整数，则：a3-a=a·a2-a=a(a²-1)=a(a+1)(a-1).

合作探究知识讲解知识点1因式分解的定义

运用前面所学的知识填空：（1）m(a+b+c)=（2）(a+b)(a-b)=（3）(a+b)2=ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2回顾观察上面三个等式，填空：（1）ma+mb+mc=()()（2）a2-b2=()()（3）a2+2ab+b2=()2ma+b+ca+ba-ba+b试一试（1）ma+mb+mc=()()（2）a2-b2=()()（3）a2+2ab+b2=()2ma+b+ca+ba-ba+b想一想（1）m(a+b+c)=（2）(a+b)(a-b)=（3）(a+b)2=ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2这两组等式，有什么联系和区别？整式乘法运算把一个多项式化为几个整式的积的形式因式分解的定义概括把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.因式分解与整式乘法是互为逆运算关系.多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止.注意事项随堂小测1.下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a；

（2）4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1；（3）a(a-b)=a2-ab；

（4）2a2-2b2=2(a+b)(a-b).解：第（4）式是因式分解，其余都不是.2.下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式?X√√XXX相同因式p这个多项式有什么特点？pa+pb+pc

我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.知识讲解知识点2提公因式法

思考提公因式法概括一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.把下列多项式分解因式：（1）3a+3b=_________________；（2）5x-5y+5z=_______________；3(a+b)5(x-y+z)做一做

（1）当各项系数都是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内的第一

项的系数成为正数；

（3）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（4）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．你认为怎样确定一个多项式的公因式？1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式.只在某项或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.2.公因式可以是单项式，也可以是多项式.3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式.注意事项

找出3x2–6xy

的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x

所以公因式是3x.指数：相同字母的最低次幂1做一做把下列多项式分解因式：（1）-5a2+25a（2）3a2-9ab（1）-5a2+25a=-5a(a-5)（2）3a2-9ab=3a(a-3b)-5a3a解方法总结：找公因式时应分三步:(1)找各项系数的最大公约数;(2)找相同的字母;(3)找相同字母的最低指数次幂.例18a3b2+12ab3c；分解因式：分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.解：8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.例2总结归纳

正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.

1.多项式8a3b2+12ab3c各项的公因式是()A.abc B.ab2C.4ab2 D.4ab2cC2.下列各组式子中没有公因式的是()A.4a2bc与8abc2B.a3b2+1与a2b3－1C.

b(a－2b)2

与a·(2b－a)2D.

x+1与x2－1B随堂小测3.因式分解:(2x+3)2-(2x+3)=

.2(2x+3)(x+1)4.因式分解:4(x-y)3-6(y-x)2=

.2(x-y)2(2x-2y-3)

(a-b)2(a-b-1)1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）A.-6ab2cB-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c

2.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（）A.-1-3x+4yB.1+3x-4yC.-1-3x-4yD.1-3x-4yCD当

堂

检

测3.多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是(

)A．x4B．x3＋1C．x4＋1D．x3－1C4.把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是(

)A．a(a－4)B．(a＋2)(a－2)C．a(a＋2)(a－2)D．(a－2)2－4A病因：___________________________药方：___________________________

病因：__________________________药方：__________________________

（2）（1）还有公因式没提取漏掉一个因式“1”（3）提取系数为负的因式，没有变号病因：__________________________药方：__________________________

5.查找下列因式分解的病因和药方6.把下列各式因式分解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；(2)3a(x－y)－(x－y)；(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；(4)a(m－2)＋b(2－m)；(5)2(y－x)2＋3(x－y)；(6)mn(m－n)－m(n－m)2解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)．(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)．(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)＝(x－y)[2(x－y)＋3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．(6)mn(m－n)－m(n－m)2＝mn(m－n)－m(m－n)2＝m(m－n)[n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)＝m(m－n)(2n－m)．课堂小结提公因式法