2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。1.下列方程是二元一次方程的是(

)A.x+2=1 B.x2+2y=2 C.1x2.已知a<b，则下列不等式中不成立的是(

)A.a+4<b+4 B.2a<2b C.−5a<−5b D.a3.下列长度的三条线段能组成三角形的是(

)A.1，2，3 B.1，2，3 C.3，4，8 D.4，5，4.画出△ABC一边上的高，下列画法正确的是(

)A.B.C.D.5.已知x=2y=1是方程ax−y=5的一个解，那么a的值为(

)A.−2 B.2 C.3 D.66.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是(

)A.三角形 B.五边形 C.四边形 D.六边形7.某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计．结果甲、乙两组的平均成绩相同．方差分别是s甲2=36，s乙A.甲组比乙组的成绩稳定 B.乙组比甲组的成绩稳定

C.甲、乙两组的成绩一样稳定 D.无法确定8.如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，则∠BFC的度数是(

)A.117°

B.120°

C.132°

D.107°9.下列说法：(1)三角形具有稳定性；(2)有两边和一个角分别相等的两个三角形全等(3)三角形的外角和是180°(4)全等三角形的面积相等．其中正确的个数是(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。10.已知4x−3y=5，用x表示y，得y=______．11.用不等式表示：x与5的差不小于x的2倍：______．12.一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是______cm．13.已知一组数据3，5，4，5，6，x，5，它的平均数是5，则x=______．14.如图，△ABC≌△DCB，∠DBC=40°，则∠AOD=______．15.如图，三角形纸片中，AB=5cm，AC=7cm，BC=9cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为BD，则△DEC的周长是______cm．16.△ABC中，∠B=20°，AD为BC边上的高，若∠DAC=30°，则∠BAC的度数为______°.17.如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB，CF=5，BD=2，点C到直线AB的距离为9，△ABC面积为______．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ.则CQ的最小值是______．三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.（8分）解方程组．

(1)2x−y=57x−3y=20

20.（8分）解不等式组．

(1)解不等式x−22−(x−1)<1

(2)解不等式组21.（8分）在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C分别和点A1，B1，C1对应；

(2)平移△ABC，使得点A在x轴上，点B在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C22.（6分）在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”.简称：“在同一个三角形中，大边对大角”.即，如图：当AB>AC时，∠C>∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：

(1)在△ABC中，AD是BC边上的高线．

①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；

②如图2，若AB≠AC，当AB>AC时，∠BAD______∠CAD.(填“>”，“<”，“=”)

证明：∵AD是BC边上的高线，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

∴∠BAD=90°−∠B，∠CAD=90°−∠C．

∵AB>AC，

∴______(在同一个三角形中，大边对大角)．

∴∠BAD______∠CAD．

(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线．

①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；

②如图3，若AB≠AC，当AB>AC时，∠BAD______∠CAD.(填“>”，“<”，“=”)

证明：

23.（8分）如图，点D，点E在△ABC的边上，AD=AE，BD=CE．

(1)求证：△ABC是等腰三角形．

(2)若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接写出图中除△ABC和△ADE以外的所有等腰三角形．24.（8分）某商场计划购进A、B两种商品，已知购进A种商品5件，B种商品4件需200元；A种商品10件，B种商品5件需310元

(1)A、B两种商品每件的进价分别为多少元？

(2)若A种商品每件售价21元，B种商品每件售价38元，准备购进A、B两种商品共100件，且这两种商品全部售出后，总获利高于588元，则最多购进A种商品多少件？25.（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°．

(1)如图1，求证AB=AC．

(2)如图2，点D是AC上一点，连接BD过点C作CE⊥BE，连接AE，求∠AEB的度数．

(3)如图3，在(2)的条件下，在BC上取点F，连接AF交BE于点G，连接EF交AC于点H，若∠BAF=∠FHC，AF+EF=15，求12(BE+CE)226.（10分）如图，点O是坐标原点，A(m,0)，B(0,n)，且m，n满足二元一次方程组m−n=12m−3n=−1．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)点P(t,0)是线段OA上一点，连接BP，当△ABP的面积为4.5时，求t的值；

(3)在(2)的条件下，过点A作直线m//y轴，在直线m上有一点M，直线BM交x轴正半轴于点K，在射线BO上有一点N，使△BPN≌△PMK，求点N坐标．

参考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.C

6.C

7.B

8.A

9.B

10.4x−5311.x−5≥2x

12.15

13.7

14.100°

15.11

16.100°或40°

17.63218.1

19.解：(1)2x−y=5 ①7x−3y=20 ②，

②−①×3得：x=5，

把x=5代入①得：y=5，

则方程组的解为x=5y=5；

(2)方程组整理得：3x−y=8 ①3x−5y=−20 ②，

①−②得：4y=28，

解得：y=7，

把y=7代入①得：x=5，

20.解：(1)x−22−(x−1)<1，

x−2−2(x−1)<2，

x−2−2x+2<2，

x−2x<2，

−x<2，

x>−2；

(2)−3(x−2)≥4−x ①1+2x3>x−1 ②，

解①得x≤1；

解②得21.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．

(2)如图所示，△A2B22.(1)①证明：∵AD是BC边上的高线，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴∠BAD=90°−∠B，∠CAD=90°−∠C，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠BAD=∠CAD．

②>；∠C>∠B；>；

(2)①证明：延长AD至E，使ED=AD，连接CE，如图1所示：

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

又∵∠ADB=∠EDC，

在△ABD和△ECD中，

AD=ED∠ADB=∠EDCBD=CD

∴△ABD≌△ECD(SAS)，

∴∠BAD=∠E，AB=EC，

∵AB=AC，

∴EC=AC，

∴∠CAD=∠E，

∴∠BAD=∠CAD；

②<23.(1)证明：过点A作AF⊥BC于点F，

∵AD=AE，

∴DF=EF，

∵BD=CE，

∴BF=CF，

∴AB=AC．

(2)解：∵AB=AC，∠BAC=108°，

∴∠B=∠C=36°，

∵AD=AE，∠DAE=36°，

∴∠ADE=∠AED=72°，

∵∠ADE=∠B+∠DAB，∠AED=∠C+∠CAE，

∴∠B=∠BAD=36°，∠C=∠EAC=36°，∠BAE=∠BEA=72°，∠ADC=∠DAC=72°，

∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，

24.解：(1)设A种进价为x元，B种进价为y元．由题意，得

5x+4y=30010x+5y=310，

解得：x=16y=30．

答：A种进价为16元，B种进价为30元．

(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(50−a)件．由题意，得

(20−16)a+(38−30)(100−a)>588

a<7023．

∵a是正整数，

∴a≤70．

答：最多购进A25.(1)证明：∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，

∴∠ABC=90°−45°=45°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

(2)解：如图2，在BE上截取BF=CE，

∵CE⊥BE，

∴∠BEC=∠BAC=90°，

∵∠ADB=∠EDC，

∴∠ABD=∠ECD，

即∠ABF=∠ACE，

∵AB=AC，BF=CE，

∴△ABF≌△ACE(SAS)，

∴AF=AE，∠BAF=∠CAE，

∴∠AEF=∠AFE，∠CAE+∠CAF=∠BAF+∠CAF=∠BAC=90°，

∴∠EAF=90°，

∴∠AEB=45°；

(3)解：∵∠BAF=∠FHC，∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠AFB=∠HFC，

延长AF至点E1，使FE=FE1，则∠BFE1=∠AFC=∠AFE+∠HFC，

∵∠BFE=∠AFE+∠AFB，

∴∠BFE=∠BFE1，

∵BF=BF，FE=FE1，

∴△BFE≌△BFE1(SAS)，

∴∠EBF=∠E1BF，BE=BE1，EF=E1F，

即∠EBC=∠E1BC，

∵BC=BC，

∴△BEC≌△BE1C(SAS)，

∴∠BEC=∠BE1C=90°，∠BCE=∠BCE1，C

E=C

E1，

延长E1B到点K，使KB=E1C，则KB=CE，

∵∠CBK=∠BE1C+∠BCE1=90°+∠BCE1，∠ABC=45°，

∴∠ABK=∠CBK−∠ABC=90°+∠BCE1−45°=45°+∠BCE1，26.解(1)解方程组m−n=12m−3n=−1，

得：m=4n=3，

∴A(4,0)，B(0,3)，

(2)由题意得：S△ABP=12AP⋅OB=12×(4−t)×3=6−32t，

当△ABP的面积为4.5时，即6−32t=92，

解得