2024-2025学年广东省广州大学附中高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州大学附中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是(

)A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥22.已知z=1−i是方程z2+2az−b=0(a,b∈R)的根，则a+b=(

)A.−3 B.−1 C.2 D.33.已知aea=π，blnb=π，c=A.a<c<b B.c<a<b C.c<b<a D.a<b<c4.已知α,β∈(0,π4),cos2α−sin2A.π12 B.π6 C.π45.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)，f(π6A.f(0)=12

B.f(x)的图象向左平移π6个单位长度后关于y轴对称

C.f(x)在(π6.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”.现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过(    )个小时才会“药物失效”.(参考数据：lg2≈0.3010)A.4 B.5 C.6 D.77.已知圆台的体积为135π3，母线长为3，高为A.36π B.24π C.18π D.12π8.已知O为△ABC的内心，角A为锐角，sinA=158，若AO=μAB+λA.12 B.34 C.45二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式成立的是(

)A.ab≥14 B.4a+9b10.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点PA.直线AD1与直线DP所成角的大小不变

B.平面PBD1⊥平面A1C1D

C.点P到平面A1C111.一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有(

)A.平均数为3，中位数为4 B.中位数为4，众数为3

C.平均数为2，方差为2.1 D.中位数为3，方差为0.85三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为______分.13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是△ABC的中线.若AD=2，且b2+c2+bc=(bcosC+ccosB14.设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：

(ⅰ)f(x1−x2)=f(x1)⋅f(x2)+1f(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(0<ω<1,|φ|<π2)的图象过(−2π3,0)，(π3,3)两点，将f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移π16.(本小题15分)

已知斜三角形ABC．

(1)借助正切和角公式证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．

并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：

①tan20°+tan40°+3tan20°tan40°，

②tan20°+tan40°+tan120°tan20∘tan4017.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BC，垂足为P.E为CD中点，

(1)若AP⋅AC=32，求AP的长；

(2)设|AB|=2，|AC18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=60°，PD=AD=1，PB=AB=2．

(1)证明：BD⊥平面PAD；

(2)当二面角D−PA−B的正切值为6时，求直线BD与平面PBC所成角的大小．19.(本小题17分)

已知有序数对X：{x1,x2,x3}，有序数对Y：{y1,y2,y3}，定义“Ω变换”：y1=|x1−x2|，y2=|x2−x3|，y3=|x3−x1|，可以将有序数对X转化为有序数对Y．

(1)对于有序数对X参考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.D

6.D

7.D

8.C

9.BCD

10.ABC

11.ABD

12.86.25

13.414.4a

15.解：(1)因为函数f(x)=3sin(ωx+φ)(0<ω<1,|φ|<π2)的图象过(−2π3,0)，(π3,3)两点，

所以T4+kT=π，k∈Z，即(14+k)×2πω=π，k∈Z，

解得ω=12+k,k∈Z，

因为0<ω<1，所以ω=12，

则f(π3)=3sin(π3×12+φ)=3，

所以π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=π3+2kπ,k∈Z，

又|φ|<π2，所以φ=π3，

所以f(x)=3sin(x2+16.解：(1)证明：∵C=π−(A+B)，

∴tanC=−tan(A+B)，

∴tanC=−tanA+tanB1−tanAtanB，

∴tanC(1−tanAtanB)=−(tanA+tanB)，

∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

①tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=tan20°+tan40°+tan120°+3tan20°tan40°+3=−3tan20°tan40°+3tan20°tan40°+3=3；17.解：(1)∵AP⊥BC，AP是AC在AP方向上的投影向量，

∴AP⋅AC=AP2=|AP|2=32，即AP=42．

(2)在△ABC中，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos∠BAC=2+5−2×2×5×(−1010)=9，

∴BC=3，cosB=BC2+AB2−AC22×AB×BC=2+9−52×3×2=22，

∵B∈(0,π)，所以B=π4，AP=ABsinB=1，BP=ABcosB=118.解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcosA=1+4−2×1×2×12=3，

显然AD2+BD2=AB2，则∠ADB=π2，即AD⊥BD，

由AD=PD，AB=PB，BD=BD，

得△ABD≌△PBD，则∠PDB=π2，即PD⊥BD，

又AD∩PD=D，PD，ADC平面PAD，

所以BD⊥平面PAD；

(2)取PA中点E，连接BE，DE，

如图，

由AB=PB，AD=PD，则BE⊥PA，DE⊥PA，

即∠BED为二面角D−PA−B的平面角，

由(1)知，BD⊥平面PAD，DE⊂平面PAD，则BD⊥DE，BD=3，

于是tan∠BED=BDDE=6，DE=22，

而PD=AD=1，

则AE=22，PA=2，PD2+AD2=PA2，

于是PD⊥AD，又BD⊥AD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，

因此AD⊥平面PBD，又BC/​/AD，

则BC⊥平面PBD，

过D作DF⊥PB于点F，DF⊂平面PBD，于是BC⊥DF19.解：(1)对于有序数对X：{3,4,5}，不断进行“Ω变换”，

得到的有序数对分别为{1,1,2}，{0,1,1}，{1,0,1}，{1,1,0}，{0,1,1}，…，

以下重复出现，所以不能得到有序数对{0,0,0}．

(2)易知y=|x1−x2|，2=|x2−x3|，x=|x3−x1|，

因为有序数对Y的三项之和为2024，且x≥y，

所以x+y=2022，x≥1011≥y，

所以|x3−x1|≥1011≥|x1−