2023-2024学年福建省泉州市科技中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市科技中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,2)，a−b=(5,2)，则A.4 B.5 C.6 D.72.在△ABC中，已知BD=2DC，设a=ABA.AD=13a+23b 3.已知a，b均为实数，复数：z=a2−b+(b−2a)i，其中i为虚数单位，若z<3，则a的取值范围为A.(−1,3) B.(−∞,−1)∪(3,+∞)

C.(−∞,−3)⋃(1,+∞) D.(−3,1)4.如图为水平放置的△OAB的直观图，则原三角形的面积为(

)A.3 B.32 C.6 5.已知向量a,b满足|a|=2|b|=2，且|a−A.−13b B.−12b6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为465，则BC边上的高线AH的长等于A.43 B.423 C.7.在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BB1上，且△ADC1所在的平面将三棱柱ABC−A1B1C1分割成体积相等的两部分，点M在棱A.2 B.3 C.4 D.68.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c−b=2bcosA.若λsinA−cos(C−B)<2恒成立，则实数λ的取值范围为(

)A.(−∞,22] B.(−∞,22)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是(

)A.(x+yi)+2=(3−4i)+2yi，则x+y=5

B.3+i>1+i

C.若z=(1+2i)2，则复数z对应的点位于第四象限

D.已知复数z满足|z−2i|=3，则10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(

)A.若sinA<sinB，则A<B

B.若b=3，且B=2π3，则S△ABC的最大值为334

C.若a=10，b=8，A=60°，则符合条件的△ABC有两个

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，分别是AA1，CCA.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面

B.存在点Q，使PQ//平面MBN

C.过Q，M，N三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面面积的取值范围为[26,33三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(−2,−1)，则zi=______．13.在正六边形ABCDEF中，已知AB=1，则AC⋅AE=14.已知正六棱锥的高是底面边长的23倍，侧棱长为13四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．

(1)求石凳的体积；

(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？16.(本小题15分)

已知|a|=1，|b|=2．

(1)若a//b，求a⋅b；

(2)若a与b的夹角为60°，求|2a+b|17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinC+3cosC=a，b=3．

(1)求角B；

(2)若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；

(3)若△ABC为锐角三角形，求边AC18.(本小题17分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．

(Ⅰ)求证：BC//AD；

(Ⅱ)求证：CE//平面PAB；

(Ⅲ)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB19.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D，E，F分别位于BC，CA，AB所在直线上，满足BD=αDC，CE=βEA，AF=γFB(α,β,γ∈R)．

(1)如图1，若三角形ABC是边长为3的正三角形，且α=β=γ=2，求BPPE；

(2)如图2，若AD，BE，CF交于一点P，

(i)求证：αβγ=1；

(ii)若AP=PD=7，BP=12，PE=6，CF=181.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】−1+2i

13.【答案】3214.【答案】3π

15.【答案】解：(1)正方体的体积为603=216000cm3，

石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为30cm，

故一个小正三棱锥的体积为13×12×302×30=4500cm3，

故石凳的体积为216000−4500×8=180000cm3；

(2)16.【答案】解：(1)因为a/​/b，所以a和b的夹角为0°或180°，

因为|a|=1，|b|=2，所以a⋅b=±|a||b|=±2；

(2)因为|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，

所以a⋅b=|a17.【答案】解：(1)因为sinC+3cosC=a，asinA=bsinB，

所以sinC+3cosC=bsinAsinB，

即sinB⋅sinC+3sinB⋅cosC=3sinA=3sin(B+C)=3sinBcosC+3sinCcosB．

所以sinB⋅sinC=3cosBsinC，因为sinC≠0，

所以sinB=3cosB，即tanB=3，

因为B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)由B=π3及余弦定理得3=c2+a2−ac=(c+a)2−3ac，又a+c=2，

所以ac=13，

由S△ABC=S△ABD+S△BDC得，12acsinB=12c⋅BD⋅sin18.【答案】证明：(Ⅰ)在四棱锥P−ABCD中，BC/​/平面PAD，BC⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴BC/​/AD，

(Ⅱ)取PA的中点F，连接EF，BF，

∵E是PD的中点，

∴EF/​/AD，EF=12AD，

又由(Ⅰ)可得BC/​/AD，BC=12AD，

∴BC/​/EF，BC=EF，

∴四边形BCEF是平行四边形，

∴CE/​/BF，

∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，

∴CE//平面PAB．

(Ⅲ)取AD中点N，连接CN，EN，

∵E，N分别为PD，AD的中点，

∴EN/​/PA，

∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴EN/​/平面PAB，

又由(Ⅱ)可得CE/​/平面PAB，CE∩EN=E，

∴平面CEN/​/平面PAB，

∵M是CE上的动点，AN⊂平面CEN，

∴MN/​/平面PAB，

∴线段AD存在点N，使得19.【答案】解：(1)设BPPE=λ，则BP=λPE，

因为CE=2EA,AF=2FB，

所以BP=λ1+λBE=λ1+λ(13AC−AB)=−λ1+λAB+λ3(1+λ)AC，

令BP=tBF+(1−t)BC=−t3AB+(1−t)(AC−AB)=(2