数学八年级苏科版（上册）第3章勾股定理同步辅导

第页勾股定理在生活中的应用一、计算图形的周长和面积例1图1为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13m，AD=12m，BD=5m，AC=15m，求图中△ABC的周长和面积．图1分析：先根据直角三角形的判定得到AD⊥BC，再利用勾股定理得出DC的长，进而得出答案．解：在△ABD中，AB=13m，AD=12m，BD=5m，AB2=AD2+BD2，所以AD⊥BC．

在Rt△ADC中，AD=12m，AC=15m，AD2+DC2=AC2，所以122+DC2=152，解得DC=9m．所以BC=14m，所以△ABC的周长=14+13+15=42（m），△ABC的面积=×14×12=84（m2）．点评：图形中看似有直角，但条件中没有给出，仍不能直接用．由线段的长得到直角或垂直关系，常用直角三角形的判定．二、计算噪音影响的时间例2如图2，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=320m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时．（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由．（2）如果火车行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？图2分析：（1）如图3，作AC⊥ON于点C，看点A到直线MN的距离是否小于等于200m，若是则受影响，否则不受；（2）如图3，设在点C之前和之后各有一点到点A的距离是200m，则得到等腰△ABD，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算BD的长，最后利用时间=路程÷速度求得受到影响的时间．解：（1）如图3，过点A作AC⊥ON于点C，因为∠QON=30°，OA=320m，所以AC=160m，因为160＜200，所以居民楼会受到噪音的影响．（2）如图3，设点B，D到点A的距离都是200m，即火车从到B点直到驶离D点，对居民楼都会产生噪音影响．因为AB=200m，AC=160m，由勾股定理，得BC=120m．因为AB=AD，AC⊥MN，所以BD=2BC=240m．因为72km/h=20m/s，所以影响时间应是240÷20=12（秒）．图3点评：勾股定理是直角三角形的三边关系，所以只有直角三角形才能使用勾股定理，本题通过作垂线段构造了直角三角形，从而为勾股定理的使用创造了条件．三、计算最短距离例3如图4所示，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，求小虫爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）图4分析：如图5所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC于点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短，然后利用勾股定理求解．解：如图5所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．则A′B=AB=60cm，BE=60-40=20cm，所以A′E=80cm．在Rt△A′EG中，A′E=80cm，EG=60cm，所以A′G2=A′E2+EG2=802+602=10000，所以A′G=100cm，所以AQ+QG=A′Q+QG=A′G=100cm．所以最短路线长为100cm．图5点评：本题将最短路径问题与勾股定理结合在一起，本题最短路径问题是指求直线同旁两点（图中点A，G）到直线（图中BC）上一点的距离和最小，此类问题需用轴对称解决．专题讲座巧用勾股妙解翻折在解决有关图形翻折的问题时，适时地应用勾股定理，可以起到事半功倍的效果.1.三角形的翻折图1例1图1是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为图1A．4cm B．5cmC．6cmD．10cm分析：利用勾股定理求得AB的长，由折叠的性质推出AE＝BE＝AB．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝62+82＝100＝102，所以AB＝10．由折叠的性质，知AE＝BE＝AB＝5cm．故选B．2.四边形的翻折例2如图2，在长方形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为_______.分析：由折叠的性质知EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，再说明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，由OE=OD，进一步得出DG=PE.设AP=EP=x，用含x的式子表示出PD，DG，CG，BG的长，在Rt△BCG中，根据勾股定理列出方程，求得AP的长．解：由题意，知∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8.由图形的折叠得EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8.在△ODP和△OEG中，∠D=∠E，OD=OE，∠DOP=∠EOG，所以△ODP≌△OEG.所以OP=OG，PD=GE.所以OP+OE=OD+OG，即DG=EP.设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，所以CG=8-x，BG=8-(6-x)=2+x.在Rt△BCG中，由勾股定理，得BC2+CG2=BG2，即62+(8-x)2=(x+2)2.解得x=4.8，即AP=4.8.故填4.8．温馨提示：图形翻折的实质是图形的全等，解题时要注意寻找出折叠前后的不变量（即相等的线段、相等的角）.在图形中寻求最佳的直角三角形，运用勾股定理创设方程模型来解题.【牛刀小试】如图3，在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_________.参考答案：.活学实用实际问题中的勾股定理例1在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图1所示，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，请问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明.分析：如图1，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，若小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于点D，如图1，根据勾股定理求出AB的长度，利用三角形的面积公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可做出判断．解：如图2，过C作CD⊥AB于点D.因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以由勾股定理，得AB=500米.S△ABC=AB•CD=BC•AC，所以CD==240（米）．因为240米＜250米.所以AB段公路有危险，需要暂时封锁.例2（2017年东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图2所示，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是____尺.分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为图3，是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．解：如图3，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），由勾股定理，得AB2=202+152=625，所以AB=25.所以葛藤的最短长度为25尺．故填25.错解剖析一起来纠错——勾股定理大课间，小菲把自己做的作业题主动给组长小丽检查，并高兴地对小丽说：“我《勾股定理》学得不错，作业轻松地做出来了.”小丽：“别得瑟，稍等一会儿，我看看，……你有几道做错了，我们一起来探讨一下.”练习题1一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x2为（）A．5B．25C．7D．7或25小菲：x2=32+42=25，选B，没错吧．小丽：你审题不仔细，题中并没有说明3，4为直角边长，所以分两种情况：x为斜边长或4为斜边长.你能算出答案了吧！小菲：能，我记住下次要看清楚题目，没有确定边是直角边还是斜边时，应分情况讨论.练习题2在边长为整数的△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＞AC，求AB的长度.小菲：由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝42＋32＝25.所以AB＝5cm.小丽：你忽视了勾股定理成立的条件，此题不能用勾股定理求解.应由三角形的三边关系来解，即由三角形的三边关系可得AC＜AB＜AC＋BC，后面的部分你自己来吧！小菲：好的，我要记住在没有直角的前提条件时，不能练习题3在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC=________．小菲：画出图形如图1所示，在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2=169-144=25，所以BD=5；在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=225-144=81，所以CD=9.所以BC=CD+BD=9+5=14．故填14.图1图2小丽：本题是无图题，所以△ABC的形状不确定．当△ABC是锐角三角形时，你做的正确；当△ABC是钝角三角形时，如图2，在Rt△ABD和Rt△ACD中，求出BD，CD的长，进而求出BC的长．你应该很快能得出答案吧！小菲：没问题，我要记住题中没有给出图时，要考虑高可能在三角形内部或外部，考虑问题要全面．专题讲座直角三角形的判定精彩展示节目1判定三角形的形状例1在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足c+a=2b，c-a=b，则△ABC的形状是____________.分析：由已知条件，得c2=b2+a2，根据勾股定理逆定理，得△ABC是直角三角形．解：因为c+a=2b，c-a=b，所以（c+a）（c-a）=2b×b，整理，得c2-a2=b2，即c2=b2+a2.所以△ABC是直角三角形.节目2求图形的面积图1例2如图1，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9，求△ABC的面积图1分析：先由勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出线段DC，最后利用三角形面积公式计算即可．解：因为AD2+BD2=122+92=225，AB2=152=225，所以AB2=AD2+BD2．所以△ABD是直角三角形，即△ADC也是直角三角形．在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD2=AC2−AD2=132−122=25，所以CD=5．所以BC=BD+CD=14．所以S△ABC=BC•AD=×14×12=84.图2节目3图2例3如图2，在正方形ABCD中，边长为4a，F为DC的中点，E为BC上的点，且CE=BC，问：AF与EF垂直吗？并说明理由．分析：连接AE，由已知条件，运用勾股定理分别求出△AEF的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定△AEF是直角三角形即可证明.解：AF与EF垂直．理由：连接AE.由勾股定理，得AF2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AE2=（4a）2+（3a）2=25a2．因为AF2+EF2=AE2，所以△AFE是直角三角形，即AF⊥EF．图3节目4图3例4如图3，在长方形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别在边BC，DC上，若DF=BE=1，则∠EAF的度数是_____________.分析：由题意得到BE，CF，EC的长度，根据勾股定理即可求出AE，EF，AF，最后利用勾股定理的逆定理推出△AEF为等腰直角三角形，得∠EAF=45°.解：由题意，知CD=AB=2，BC=AD=3.因为DF=BE=1，所以EC=2，CF=1.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2=5.在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF2=CF2+CE2=5.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=10.所以AE=EF，且AE2+EF2=AF2.所以△AEF为等腰直角三角形.所以∠EAF=45°．直角三角形的判定这样用1.求线段的长度图1例1如图1，已知△ABC中，AC=6，AB=8，BC=10，AD是BC边上的高，求AD图1解：因为AC2+AB2=62+82=102=BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.根据三角形的面积公式，得AC·AB=AD·BC，即6×8=10AD，所以AD=4.8．图2C图2CDBA例2如图2，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．解：连接BD.因为∠A=90°，AB=AD=2，所以∠ADB=45°.由勾股定理，得BD2=AD2+AB2=22+22=8.因为BD2+CD2=8+12=32=BC2，所以△BCD为直角三角形，且∠CDB=90°.所以∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°+90°=135°．3.求面积图3CDBA例3如图3，在△ABC中，AB=5cm，BC=26cm，AD是BC边上的中线，图3CDBA解：因为AD是BC边上的中线，BC=26cm，所以BD=CD=13cm.因为AB2+AD2=52+122=132=BD2，所以△ABD是直角三角形，且∠BAD=90°.图4BCDA所以S△A