2020-2021学年浙江省浙东北联盟ZDB高二下学期期中数学试题解析版

2020-2021学年浙江省浙东北联盟（ZDB）高二下学期期中数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点的坐标为A． B． C． D．【答案】A【详解】，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为（1,3），故选A【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念2．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．有极大值 B．有极小值C．有极大值 D．有极小值【答案】A【分析】由函数的图象，可得时，；时，；时，.由此可得函数的单调性，则答案可求.【详解】解：函数的图象如图所示，∴时，；时，；时，.∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.∴有极大值.故选：A.【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.3．设，则A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数的四则运算法则，结合初等基本函数的求导公式可得出其导函数，从而可得结果.【详解】,故选A.【点睛】本题主要考查导数的运算法则与求导公式，考查了计算能力，解题关键在于掌握导数的四则运算法则，属于基础题.4．袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据组合数的计算公式，分别求得任取2球不同取法，以及所取的2个球中恰有1个白球，1个红球取法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从10个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有种不同的方法；其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有种不同的取法，所以所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为.故选：B.5．若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．132 B． C． D．66【答案】D【分析】利用二项式系数的单调性求得；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得结果.【详解】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以为偶数，展开式有13项，，所以二项式展开式的通项为由得，所以展开式中含项的系数为.故选：D【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式求指定项的系数，涉及二项式系数的单调性，属综合基础题.6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A． B． C． D．【答案】D【详解】因为曲线，所以切线过点（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切线方程为：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），

令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），

∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.

故选D．7．已知，则A． B．180 C．45 D．【答案】B【分析】将写成；利用二项展开式的通项公式求出通项，令的指数为8，求出．【详解】解：其展开式的通项为令得故选：．【点睛】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．8．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D.9．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，，令，其中，则.，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，函数的最小值为，.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．若实数m，n，e，f满足，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．8【答案】D【分析】由题可知，将问题转化为求曲线与直线上任意两点之间距离的最小值的平方，利用导数的几何意义，容易求得结果.【详解】因为，故可得，，故点分别可理解为函数图象上的任意两点.又，令，故可得，即曲线在处的切线与平行，又切线方程为：，则曲线在处的切线与直线之间的距离，故的最小值即为.故选：.二、填空题11．为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒C类药．若每天只能检测1盒药品，且3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测．则不同的检测方案的个数是_________．【答案】432【分析】根据题意，分3步分析：先将2盒B类药，1盒C类药全排列，再从3盒A类药任选2盒，安排在相邻两天被检测，最后和另外1盒A类药，安排在上述4个空位中，由分步计数原理可得解.【详解】根据题意，分3步分析：先将2盒B类药，1盒C类药全排列，有种情况，排好后有4个空位，再从3盒A类药任选2盒，安排在相邻两天被检测，有种情况，最后和另外1盒A类药，安排在上述4个空位中，有种情况，利用分步计数原理知有（个）方案，故答案为：432.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.12．若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是_______．【答案】(，﹣1]【分析】令，有，根据不等式对一切xR恒成立，则为函数的最大值，且a≤0，求导由，解得，然后再分a＝0和a＜0两种情况讨论求解.【详解】令，有，所以恒成立，显然a≤0，，则，即，当a＝0时，，在(，0)递增，(0，)递减，当时，取得最大值，所以，符合题意，当a＜0时，在(，)上递减，在(，0)上递增，在(0，)上递减，因为x＜时，，又时，取得极大值即最大值，所以，符合题意，综上，a≤0，b＝﹣1，所以a＋b(,﹣1]．故答案为：(,﹣1]【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.13．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最大值为__________．【答案】1【分析】将不等式变形为，再利用恒成立即可解出．【详解】原不等式变形为，设，，由可知，函数在上递减，在上递增，所以恒成立，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号．设，显然函数为增函数，，，所以存在唯一的，使得．因为不等式对任意的恒成立，所以，即，当时，因为，，所以．故的取值范围为，即实数a的最大值为1．故答案为：1.【点睛】对于不等式恒成立问题，常用解法是分离参数求最值，本题也可以这样考虑，但是求导判断单调性过程较繁，所以选择同构的基本思想，利用常见的切线不等式，将不等式变形为，即可顺利求出．三、双空题14．已知复数，则z的虚部是____________；______________．【答案】5【分析】根据复数的定义和模的定义求解．【详解】由已知的虚部是，．故答案为：；5．15．已知复数是，若z是实数，则_______；若z是纯虚数，则______．【答案】或2【分析】根据实数和纯虚数的定义即可求出．【详解】若z是实数，则，解得或．若z是纯虚数，则且，解得．故答案为：或；2．16．已知，，随机变量X的分布列是X012Pab若，则a=___________________；_______________．【答案】5【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，期望定义，方差定义以及方差的性质即可求出．【详解】由题意可得，解得，因此，，即．故答案为：；5．17．已知随机变量X服从二项分布，若，，n=__________；P=_________．【答案】80【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组求解．【详解】由题意，解得．故答案为：80；．四、解答题18．已知复数：（为虚数单位），表示z的共轭复数；（1）求z；（2）若，求实数a，b的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由复数的混合运算计算可得；（2）根据复数相等的定义求解．【详解】（1），（2），由（1），即，所以，解得．19．已知的展开式中含x的项为第六项，且．（1）求n的值；（2）求的值．（3）求的值．【答案】（1），（2）0，（3）16【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，由含x的项为第六项。可知当时，的次为1，从而可求出n的值；（2）令，求出，再令，求出，从而可求出的值；（3）由（1）可得，给两边求导可得，然后令可求得结果【详解】解：（1）的展开式的通项公式为，因为的展开式中含x的项为第六项，所以，解得，（2）对于，令，则，令，则，得，所以，（3）由（1）可知，给等式两边求导得，令，得20．已知函数在处取极值.（1）求的解析式；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求得导函数,根据在处取极值可知,代入即可求得的值,进而得的解析式;（2）先得导函数.再根据导函数的符号判断函数的单调性,即可求得极值.通过和端点值比较,即可确定最大值.【详解】（1）函数则求导函数为,由,由此得,∴.（2）由（1）知,∴时,,所以在时单调递增；时,,所以在时单调递减；时,,所以在时单调递增；综上可知的最大值只可能为或.又,,所以最大值为.【点睛】本题考查了极值点与导函数的关系,根据导数判断函数的单调区间及极值,函数最值的求法,属于基础题.21．先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得分，没有命中得分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分的分布列及数学期望.【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析；【详解】试题分析：（I）三次射中一次，射中的一次可能是甲靶也可能是乙靶，而三次射击都是独立的，利用乘法公式求出三种情况下的概率并求和；（II）选手射击所的最低分为分，最高分为分，求出所有得分所对应的概率，并列表求期望.试题解析：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件；“该射手射击甲靶命中”为事件；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件由题意知，，，由于，根据事件的独立性与互斥性得（Ⅱ）根据题意，的所以可能取值为．根据事件的独立性和互斥性得，，，故的分布列为所以．【解析】独立性事件的概率，数学期望.22．已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论的单调性（3）若存在两个极值点，，证明：．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义求出；（2）求出导函数，设，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；（3）结合（2）将问题转为证明1，根据韦达定理转化为考虑h（x）＝2lnx﹣x的单调性，证出即可.【详解】（1）因为∴，当时，，∴，∴在（1，0）处的切线方程为．（2）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x），设g（x）＝﹣x2+ax﹣1，注意到g（0）＝﹣1，①当a≤0时，g（x）＜0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；②当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，（i）当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≤0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；（ii）当a＞2时，令f′（x）＞0，得：x；令f′（x）＜0，得：0＜x或x；∴当a＞2时，f（x）在区间（，）单调递增，在（0，），（，+∞）单调递减；综上所述，当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），（，+∞）上是减函数，在区间（，）上是增函数．（3）由（2）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则f（x1）﹣f（x2）x1+alnx1﹣[x2+alnx2]＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+