2025千题百炼-高考数学100个热点问题（二）：第45炼 均值不等式含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第45炼均值不等式含答案第45炼利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设（1）调和平均数：（2）几何平均数：（3）代数平均数：（4）平方平均数：2、均值不等式：，等号成立的条件均为：特别的，当时，即基本不等式3、基本不等式的几个变形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当求的最小值。此时若直接使用均值不等式，则，右侧依然含有，则无法找到最值。①求和的式子→乘积为定值。例如：上式中为了乘积消掉，则要将拆为两个，则②乘积的式子→和为定值，例如，求的最大值。则考虑变积为和后保证能够消掉，所以（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。5、常见求最值的题目类型（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子（2）已知（为常数），求的最值，此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。例如：已知，求的最小值解：（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：例如：已知，求的最小值解：所以即，可解得，即注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以二、典型例题：例1：设，求函数的最小值为_______________思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为答案：例2：已知，且，则的最大值是________思路：本题观察到所求与的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即，代入方程中可得：，解得：，所以最大值为4答案：4例3：已知实数，若，且，则的最小值为（）A.B.C.D.思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。，结合分母可将条件，变形为，进而利用均值不等式求出最值解：，即的最小值为答案：A例4：已知正实数满足，则的最小值为__________思路：本题所求表达式刚好在条件中有所体现，所以考虑将视为一个整体，将等式中的项往的形式进行构造，，而可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于的不等式，解不等式即可解：方程变形为：解得：答案：的最小值为例5：已知，则的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为，所以可将构造为，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：思路二：观察到表达式中分式的分母，可想到作和可以消去，可得，从而，设，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：答案：3小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解（2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验例6：设二次函数的值域为，则的最大值为__________思路：由二次函数的值域可判定，且，从而利用定值化简所求表达式：，则只需确定的范围即可求出的最值。由均值不等式可得：，进而解出最值解：二次函数的值域为答案：例7：已知，则的最大值是________思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为均含，故考虑将分母中的拆分与搭配，即，而，所以答案：小炼有话说：本题在拆分时还有一个细节，因为分子的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中也要相同，从而在拆分的时候要平均地进行拆分（因为系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。例8：已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为________思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，。进而只需求得的最小值。将视为一个整体，将中的利用均值不等式换成，然后解出的范围再求最小值即可解：解得：或（舍）（在时取得）例9：已知，则的最小值是___________思路：观察到所求的两项中部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形的分子。因为，所以，则，所以原式，因为要求得最小值，所以时，，故最小值为答案：小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造例10：已知，且是常数，又的最小值是，则________思路：条件中有，且有，进而联想到求最小值的过程中达到的最值条件与相关：，即的最小值为，所以，解得，所以答案：7三、历年好题精选1、(2016，天津河西一模）如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A.B.C.D.2、（2016，南昌二中四月考）已知都是负实数，则的最小值是（）A.B.C.D.3、（2016，重庆万州二中）已知为正实数，且，则的最小值为________4、（扬州市2016届高三上期末）已知且，则的最小值为________5、已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A.B.C.D.不存在6、设，为坐标原点。若三点共线，则的最小值是_________7、已知，且，则的最大值是（）A.B.C.D.8、设，若，则的最大值为9、已知，且，则的最小值是习题答案：1、答案：D解析：，因为三点共线，所以，根据所求表达式构造等式为，所以有：，由均值不等式可得：，所以2、答案：B解析：是正实数3、答案：解析：4、答案：3解析：或5、答案：A解析：解得：或（舍）而下面验证等号成立条件：解得：所以等号成立，的最小值为注：本题要注意到，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件6、答案：解析：三点共线7、答案：A解析：8、答案：1解析：9、答案：解析：第46炼多变量表达式的范围——消元法一、基础知识：1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域2、常见消元的方法：（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：①要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）②若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）（2）换元：常见的换元有两种：①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：推广：平方差：联想到正割（）与正切（）的平方差为1，则有，推广：注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围3、消元后一元表达式的范围求法：（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值。（3）三角函数：①形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）②形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解③形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围二、典型例题：例1：设实数满足，则的取值范围是__________思路：考虑可用进行表示，进而得到关于的函数，再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围，再求出函数值域即可解：由及（*）可得：，解得：小炼有话说：（*）为均值不等式的变形：例2：已知函数，对任意的，存在，使得，则的最小值为（）A.B.C.D.思路：由已知，可得：，考虑进行代入消元，但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量作为桥梁，分别表示，进而将变为关于的表达式再求最值。解：令，设可得且为增函数在单调递减，在单调递增答案：D例3：设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为思路：首先要通过取得最小值，得到之间的关系，然后将所求表达式进行消元，再求最值即可。解：①等号成立条件为：，代入到①可得：的最大值为2例4：已知，且，则的最大值为（）A.B.C.D.思路：所求表达式为，考虑消元，由已知可得，从而，达到消元效果，所求表达式为，进而将问题转化为求函数的最值。先确定的取值范围，由可得，即，所以，所以当时，答案：A小炼有话说：（1）本题处理的关键在于选择作为核心变量，这是因为在条件中可得到，从而可用表示，使得消元变得可能（2）在处理的最值时，也许会想到均值不等式：，但看一下等号成立条件：并不满足，故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最值。例5：已知，则的最大值为________解：设，其中可知当时，答案：例6：若实数满足条件，则的取值范围是_________思路一：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则思路二：本题也可以考虑利用三角换元。设，从而原式转化为：，由可知的范围为答案：例7：已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是________解：为方程的两个根代入可得：设设在单调递减即答案：例8：对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值是________思路：首先要寻找当最大时，之间的关系，以便于求多元表达式的范围从方程入手，向靠拢进行变形，在利用取得最大值时的关系对所求进行消元求最值。解：由可得：（等号成立条件：最大值是，从而可得：解得：答案：的最小值为例9：已知函数，其中且（1）若，求函数的极值（2）已知，设为的导函数，若存在使得成立，求的取值范围解：（1）由已知可得：令，即解不等式解得：或的单调区间为：的极大值为的极小值为（2）由已知可得：