第8章概率（考点串讲）高二数学下学期期末考点大串讲（2019选择性）

苏教版（2019）选择性必修第二册第8章概率考点大串讲串讲03第8章概率010203目

录押题预测题型剖析考点透视10大常考点：知识梳理、思维导图9个题型典例剖析+技巧点拨精选13道期末真题对应考点练考点透视01考点1相互独立事件(1)概念：对两个随机事件A，B，如果P(AB)＝

成立，则称事件A，事件B为相互独立事件.P(A)P(B)B考点2条件概率P(B|A)A发生的条件下B发生的概率(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝

；②概率的乘法公式：P(AB)＝

.P(A)P(B|A)(3)条件概率的性质①P(Ω|A)＝

；②P(∅|A)＝

；③若B1，B2互斥，则P((B1＋B2)|A)＝

.10P(B1|A)＋P(B2|A)(1)概念：一般地，设A，B为两个事件，P(A)>0，我们称_______为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为

，读作“________

”.即P(B|A)＝(P(A)>0).考点3.全概率公式

考点4离散型随机变量的概率分布随机变量X的概率分布列一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的

，简称为X的分布列.概率分布列(2)随机变量X的概率分布表Xx1x2…xnPp1p2…pn通常将上表称为随机变量X的

.随机变量X的概率分布、概率分布表都叫作随机变量X的概率分布.概率分布表考点6离散型随机变量的概率分布的性质3.离散型随机变量的概率分布的性质(1)pi

0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝

.4.离散型随机变量的均值与方差E(X)＝μ＝

.D(X)＝σ2＝

.≥1p1x1＋p2x2＋…＋pnxn(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝

.(2)D(aX＋b)＝

(a，b为常数).aE(X)＋ba2D(X)考点7.两点分布（或0－1分布）如果随机变量X的分布列为X01P1－pp其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）称为成功概率.考点8.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.提醒

超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征为：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.考点9.正态分布正态密度曲线下方x轴上(a，b]上方X～N(μ，σ2)68.3%95.4%99.7%5.正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝

，D(X)＝

.μσ2若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)是_____________

和

所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为

.4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为

.(2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为

.(3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为

.

上方

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.x＝μ

1

考点10.正态曲线的特点题型剖析02题型1.事件相互独立性的判断【例题1】已知A，B为两个随机事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则A.P(A＋B)<1B.若A，B为互斥事件，则P(AB)＝0C.若P(AB)＝0.24，则A，B为相互独立事件√√√题型1.事件相互独立性的判断若A，B为互斥事件，又P(A)＋P(B)＝1，则AB＝∅且A＋B＝Ω，故P(A＋B)＝1，P(AB)＝0，故A错误，B正确；若P(AB)＝0.24，即P(AB)＝P(A)P(B)，故A，B为相互独立事件，故C正确；【例2】

已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为

（

）A.B.C.D.

答案

B

题型2.条件概率（2）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为

⁠.

题型3.条件概率性质的应用√√题型3.条件概率性质的应用因为A，B是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，因为A，B是互斥事件，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝0，而P(B)∈(0,1)，故D错误.题型4.全概率公式

A.B.C.D.

答案

B

｜解题技法｜应用全概率公式求概率的思路（1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式计算.题型5.概率分布的性质【例题5】(多选)已知随机变量X的概率分布如表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的是A.a＝0.1 B.P(X≤2)＝0.7C.P(X≥3)＝0.4 D.P(X≤1)＝0.3√√√题型5.概率分布的性质X01234P0.10.20.40.2a因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由概率分布知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确.题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征【例题6】已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是A.E(X)＝1.5，D(X)＝0.36 B.E(X)＝1.4，D(X)＝0.36C.E(X)＝1.5，D(X)＝0.34 D.E(X)＝1.4，D(X)＝0.34时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1√时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达，P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立，题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45，题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1∴E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34.题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征｜解题技法｜离散型随机变量分布列性质的应用（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.题型7.超几何分布【例7】

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.

所以随机变量X的分布列为X1234P｜解题技法｜求超几何分布的分布列的3个步骤（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；（3）用表格的形式列出分布列.题型8.乘法公式的应用【例题8】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为

√设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以该射击运动员两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48.题型9.正态分布【例9】

（1）（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是

（

）A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等（1）解析

对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D.答案

D｜解题技法｜

解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴x＝μ；（2）标准差σ；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.⁠押题预测03⁠

A.B.C.D.

√3.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸出正品的概率是

（

）A.B.C.D.

4.在如图所示的正方形区域中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）＝0.9544）

（

）A.2386B.2718C.3413D.4772

⁠

5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为

（

）A.0.625B.0.75C.0.5D.0

A.甲类水果的平均质量为0.4kgB.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.σ2＝1.99

7.（多选）设随机变量X服从正态分布N（0，1），则下列结论正确的是

（

）A.P（｜X｜＜a）＝P（｜X｜＜a）＋P（｜X｜＝a）（a＞0）B.P（｜X｜＜a）＝2P（X＜a）－1（a＞0）C.P（｜X｜＜a）＝1－2P（X＜a）（a＞0）D.P（｜X｜＜a）＝1－P（｜X｜＞a）（a＞0）解析：ABD

服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以P（｜X｜＝a）＝0，A正确；X～N（0，1），μ＝0，所以正态曲线关于直线x＝0对称，P（｜X｜＜a）＋2P（X＞a）＝1.又P（X＞a）＋P（X＜a）＝1，所以P（｜X｜＜a）＋2[1－P（X＜a）]＝1，即P（｜X｜＜a）＝2P（X＜a）－1（a＞0），所以B正确，C错误；P（｜X｜＜a）＋P（｜X｜＞a）＝1（a＞0），D正确.二、填空题8.已知离散型随机变量ξ的概率分布如表所示.ξ－202Pab119.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为

⁠.

解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B（发芽又成长为幼苗）.依题意P（B｜A）＝0.8，P（A）＝0.9.根据条件概率公式P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.72ξ－202Pab所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11.10.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），则c＝

⁠.