考研数学二分类模拟260

考研数学二分类模拟260解答题1.

设矩阵相似，求满足P-1AP=B的所有的可逆矩阵P.正确答案：解：因为A，B相似，所以|A|=|B|，tr(A)=tr(B)，可得a=-5，b=-6．

由|λE-A|=0可知A的特征值为-1(2重)．但是2-r(-E-A)＜2，故A不能相似对角化，所以B也不能．

设由P-1AP=B，得AP=PB，即有线性方程组

解得基础解系为ξ1=(-9，5，8，0)T，ξ2=(-5，1，0，8)T，可得通解为

k1ξ1+k2ξ2=k1(-9，5，8，0)T+k2(-5，1，0，8)T

=(-9k1-5k2，5k1+k2，8k1，8k2)T．

且当|P|≠0，即k1+k2≠0时，P为所求．[考点]矩阵的相似．

[解析]先判别不能相似对角化，再利用相似的定义求解．

因为本题的矩阵不能相似对角化，所以利用相似的定义转化为线性方程组的问题，题型新颖．

2.

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αm(m＜n)是n维列向量，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαm-1=αm≠0，Aαm=0．证明：向量组α1，α2，…，αm线性无关．正确答案：解：设有一组数x1，x2，…，xm，使

x1α1+x2α2+…+xmαm=0．①

由题设

Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαm-1=αm，Aαm=0

可知Ak-1α1=αk，则

Am-1αk=Am-1Ak-1α1=Ak-1Am-1α1=Ak-1αm=0(k=2，…，m)．

以Am-1左乘式①两边，得

x1αm=0．

因为αm≠0，所以x1=0．依次类推，可知x2=x3…=xm=0．因此，α1，α2，…，αm线性无关．[考点]线性相关性的证明．

[解析]利用线性相关性的定义证明．

3.

设求f(n)(0)．正确答案：解：因为的3n次多项式，注意到对任何正整数m，，则有

所以对，有f(n)(0)=0．[考点]分段函数求高阶导数．

[解析]分段函数在分界点处的导数用定义求解，用归纳法求高阶导数．

求解高阶导数可以先求1，2阶导数，然后再用数学归纳法求解．

4.

证明：对任意实数a和b，不等式成立．正确答案：证明：令，所以f(x)在[0，+∞)上单调增加，于是由|a+b|≤|a|+|b|，有f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，即

[解析]利用单调性证明不等式，一般是先构造辅助函数，然后证明函数的单调性，最后得出要证明的结论．如果用直接导数不好判定符号，则可借助二阶导数来判断一阶导函数的单调性．

5.

计算正确答案：解：

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可先分割积分区域，再利用直角坐标计算两个不同区域上的二重积分．

6.

计算二重积分，其中D是由圆

x2+y2=4，x2-2x+y2=0，x2+2x+y2=0

所围成的平面区域．正确答案：解：如下图所示，

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可先利用对称性，再利用极坐标来计算二重积分．

本题先利用对称性可以避免分割积分区域．

求函数极限：7.

．正确答案：解：由于极限式中有与|x|，故应分别考虑左、右极限，设则

故，从而

[考点]函数极限计算．

[解析]单侧极限与双侧极限之间的关系．

单侧极限与双侧极限之间的关系是考研数学中的重要考点．常见的结论是：

另外，需考虑单侧极限的常见函数：分段函数，带绝对值的函数，取整函数，指数函数，以及反正切、反余切函数等．

8.

其中[x+1]表示不超过x+1的最大整数．正确答案：解：

[考点]函数极限计算．

设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求：9.

方程组Ax=0．正确答案：解：由条件，所以A有特征值-1和1．因为r(A)=2，所以A有特征值0．

设特征值0对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，由于A为实对称矩阵，则有

解得线性无关的特征向量为

所以Ax=0的解为kα3，k为任意常数．[考点]二次型的规范型和最值．

[解析](1)求出属于特征值0的特征向量；

(2)借助相似对角化，反求矩阵；

(3)在的条件下，二次型的最值即为特征值的最值．

10.

矩阵A.正确答案：解：因为α1，α2，α3分别属于不同的特征值，所以两两正交，只需单位化可得正交矩阵

[考点]二次型的规范型和最值．

11.

二次型条件下的最值．正确答案：解：因为A相似于对角矩阵所以伴随矩阵A*相似于

即A*的特征值为0，0，-1．所以在的条件下，g(x1，x2，x3)=xTA*x的最大值为0，最小值为-1．[考点]二次型的规范型和最值．

12.

设f(x)连续，f(0)=0，f'(0)=0，f"(0)≠0，求正确答案：解：令u=x-t，则

[考点]关于含积分上限函数的极限问题．

[解析]用洛必达法则求解．

特别注意，本题中给出了f"(0)的存在性，在应用时要用其定义求解．

设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：13.

存在ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=1．正确答案：证明：由f(x)为奇函数得f(0)=0．

解法1由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得

f'(ξ)=f(1)-f(0)=f(1)=1．

解法2构造辅助函数F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]上可导，且F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1=0．于是，由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=f'(ξ)-1=0，即f'(ξ)=1．[考点]罗尔定理的应用．

[解析]构造辅助函数利用罗尔定理证明．

在有关罗尔定理应用的题目中，构造辅助函数求解是常见技巧，特别是当证明函数f'(x)+λf(x)在某闭区间内存在零点时，常构造函数F(x)=eλxf(x)应用罗尔定理求解．

14.

存在η∈(-1，1)，使f"(η)+f'(η)=1．正确答案：证明：解法1本问题即证明f"(x)+f'(x)-1在(-1，1)内存在零点在(-1，1)内存在零点．

令G(x)=f'(x)+f(x)-x，则G(x)在[-1，1]上可导，且G(1)=f'(1)+f(1)-1=f'(1)，G(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f'(-1)．

这里f(x)在[-1，1]上为奇函数，由于f(1)=1f(1)-1=0，f(-1)+1=-f(1)+1=0．又f'(x)在[-1，1]上为偶函数，f'(-1)=f'(1)，于是G(1)=G(-1)．

对F(x)在[-1，1]上用罗尔定理，可知存在η∈(-1，1)，使得G'(η)=f"(η)+f'(η)-1=0，即f"(η)+f'(η)=1．

解法2本问题即证明f"(x)+f'(x)-1在(-1，1)内存在零点在(-1，1)内存在零点在(-1，1)内存在零点．

令H(x)=ex[f'(x)-1]，则H(x)在[-1，1]上可导，由第一问知存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1，于是H(ξ)=0．又因为f'(x)为偶函数，f'(-ξ)=f'(ξ)=1，于是H(-ξ)=0．

因为，由罗尔定理知，存在使得H'(η)=0，即f"(η)+f'(η)=1．[考点]罗尔定理的应用．

15.

设函数f(x)在[a，b]上连续，n为大于1的自然数，证明：

正确答案：证明：如下图所示，积分区域可表示为D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤r}，故

[考点]交换二重积分的积分次序，积分等式的证明．

[解析]给出的等式左边若按先y后x的积分次序较难变到右边，应变为先x后y的积分次序．

交换二重积分的积分次序是证明积分等式的常用方法．

16.

设D={(x，y)|x2+y2≤1，y≥0}，连续函数f(x，y)满足

正确答案：解：

[考点]二重积分的计算．

[解析]由于二重积分的值是一个常数，故可先设，再列方程求出a．

17.

设矩阵问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1A100P为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．正确答案：解：由知，A的特征值为λ1=λ2=-1，λ3=1.

由条件知，对应的二重特征值为λ1=λ2=-1，必有两个线性无关的特征向量，因此有

r(-E-A)=1.

当λ1=λ2=-1时，

由r(-E-A)=1知，必有k=0．此时有

对应的特征向量为α1=(-1，2，0)T，α2=(1，0，2)T．

对于λ3=1，有

对应的特征向量为α3=(1，0，1)T.

[考点]矩阵的相似对角化．

[解析]求出特征值和特征向量即可．

本题是常规题型，但由于参数k的存在，使得很多同学“不敢”直接求特征值．事实上，参数k在计算过程中被消掉了．

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：18.

存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)=1-ξ．正确答案：证明：记F(x)=f(x)-1+x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1，F(1)=1，有F(0)F(1)＜0．由连续函数的零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ.[考点]零点定理及拉格朗日中值定理的应用．

[解析]构造辅助函数，利用零点定理和拉格朗日中值定理证明．

19.

存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使f'(η)f'(ζ)=1．正确答案：证明：利用第一问的结果，在[0，ξ]上应用拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)，使得

在[ξ，1]上应用拉格朗日中值定理，存在ζ∈(ξ，1)，使得

将式①与式②相乘得f'(η)f'(ζ)=1．[考点]零点定理及拉格朗日中值定理的应用．

求下列极限：20.

．正确答案：解：由麦克劳林公式得到

[考点]求函数极限．

[解析]泰勒公式求极限．

利用泰勒公式求极限，关键不仅要熟悉常见函数的泰勒公式，还要正确判断展开到哪一项．

21.

正确答案：解：利用泰勒公式得到

其中o(1)表示当x→+∞时的无穷小；

[考点]求函数极限．

22.

试导出不定积分(n为正整数)的递推公式．正确答案：解：

当n≥3时，由分部积分公式，有

从而得到递推公式[考点]不定积分递推公式的求解．

[解析]分部积分法求解．

与递推公式有关的题目，一般考虑分部积分法．

23.

设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，其中a1，a2，…，an都是实数，n为正整数，已知对于一切实数x，有|f(x)|≤|sinx|，证明：

|a1+2a2+…+nan|≤1．正确答案：证明：因为f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，所以f'(x)=a1cosx+2a2cos2x+…+nancosnx.

又f'(0)=a1+2a2+…+nan，f(0)=0，则

[考点]初等函数导数的估计．

[解析]用导数的定义及极限的不等式性质求解．

24.

求不定积分正确答案：解：先用待定系数法将分解，即

右端通分，得

于是

A(x-1)(x2+x+1)+B(x2+x+1)+(x-1)2(Mx+N)=3x+6.①

令x=1，得B=3．将式①两边除以x-1并取极限，得

将A=-2和B=3代入式①，并令x=0，得2+3+N=6，从而N=1.

在式①中令x=2，得-14+21+2M+1=12，2M=4，M=2.

最后求得

[考点]有理分式的不定积分求解．

[解析]利用待定系数法进行分式分解求不定积分．

设α，β是n维列向量，且αTβ=3，B=αβT，A=E-Ｂ．证明：25.

Bk=3k-1B，k为正整数．正确答案：解：对k采用数学归纳法．

当k=2时，由于

B2=αβTαβT=(βTα)αβT=3B，

所以当k=2时结论成立．

假设结论对k-1成立，即

Bk-1=3k-2B．

下面证明结论对k也成立，即证明

Bk=3k-1B.

由于Bk=Bk-1B=3k-2BB=3k-1B，

所以结论对k也成立．由数学归纳法知结论成立．[考点]矩阵的方幂，可逆性的判别．

[解析]利用矩阵乘法的结合律求矩阵的方幂，利用行列式或特征值判别可逆性．

26.

A+2E，A-E中至少有一个不可逆．正确答案：解：解法1由于

|A+2E|=|3E-αβT|=|3E|[1-βT(3E)-1α]=3n(1-1)=0，

所以