考研数学二模拟399

考研数学二模拟399一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

若3a2-5b＜0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0______A.有唯一实根．B.有两个不同实根．（江南博哥）C.有三个不同实根．D.有五个不同实根．正确答案：A[解析]设f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，f'(x)=5x4+6ax2+3b．

因为Δ=(6a)2-4×5×(3b)=12(3a2-5b)＜0，所以f'(x)＞0，因此f(x)=0至多有一个根．

又f(x)是五次多项式，它至少有一个零点，所以f(x)=0有唯一实根．

2.

设则F'(1)=______A.2e(1-e)．B.-2e2．C.1-e．D.0．正确答案：A[解析]区域D：0≤x≤t2，x≤y≤t2，交换次序为D：0≤y≤t2，0≤x≤y，则

F'(t)=2tet2(et2-1)cos(π|t|)，

F'(1)=-2e(e-1)=2e(1-e)．

3.

曲线y=f(x)=|x|-x+e-|x|ln|x|的渐近线共有______A.1条．B.2条．C.3条．D.4条．正确答案：C[解析]当x=0时，所以x=0是其垂直渐近线．

当x＞0时，f(x)=e-xlnx，所以y=0是其水平渐近线．

当x＜0时，f(x)=-2x+exln(-x)，得

所以其有斜渐近线y=-2x．

4.

设函数x≥1，由微分中值定理有：f(5)-f(1)=4f'(ξ)，则ξ的取值为______A.5．B.4．C.5和4．D.2．正确答案：D[解析]

5.

设f(x)是二阶可导的奇函数，y(x)=f(cosx)·cos[f(x)]，且当时，f(x0)=x0，f'(0)=f'(x0)=1，则y"(x0)=______A.1．B.2．C.-1．D.-2．正确答案：B[解析]f(x)是二阶可导的奇函数，所以有f(0)=0．

记g(x)=f(cosx)，h(x)=cos[f(x)]，则

g'(x)=-sinxf'(cosx)，

g"(x)=-cosxf'(cosx)+sin2xf"(cosx)．

g(x0)=f(0)=0，g'(x0)=-f'(0)，g"(x0)=f"(0)．

h'(x)=-sin[f(x)]·f'(x)，

h"(x)=-cos[f(x)]·[f'(x)]2-sin[f(x)]·f"(x)．

h(x0)=0，

h'(x0)=-sin[f(x0)]·f'(x0)=-f'(x0)，h"(x0)=-f"(x0)

y"(x0)=[g(x)·h(x)]"|x=x0

=g"(x0)·h(x0)+2g'(x0)·h'(x0)+g(x0)·h"(x0)

=f"(0)·0+2f'(0)·f'(x0)-f(0)·f"(x0)=2．

6.

设f(x)，g(x)在(-δ，δ)内连续，且当x→0时，f(x)和g(x)都是x2的等价无穷小．若是则x→0时______A.α(x)是β(x)的低阶无穷小．B.α(x)是β(x)的高阶无穷小．C.α(x)是β(x)同阶，但不等价的无穷小．D.α(x)与β(x)是等价无穷小．正确答案：C[解析]

7.

设是三阶可逆矩阵，B是三阶矩阵，且则B相似于______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]观察可由作初等行变换得到，将A的1、2行互换(左乘E12)，再将E12A的第2行乘以2，第3行乘以-1(左乘E2(2)，再左乘E3(-1))，即得AB，即

A是可逆矩阵，上式两边右乘A-1，得即

8.

设有通解k(2，-3，0，1)T，其中k是任意常数，A中去掉第i(i=1，2，3，4)列后得到矩阵记为Ai．则下列方程组有非零解的是______A.A1y=0．B.A2y=0．C.A3y=0．D.A4y=0．正确答案：C[解析]由AX=(α1，α2，α3，α4)X=0有通解k(2，-3，0，1)T知，r(A)=3，且

2α1-3α2+0α3+α4=2α1-3α2+α4=0，

即有非零解[2，-3，1]T，故应选C，A、B、D均不成立．

若A1y=0有非零解，设为(y2，y3，y4)T(≠0)，则y2α2+y3α3+y4α4=0不失一般性，设y2≠0，则又AX=0有解(2，-3，0，1)T，得2α1-3α2+α4=0，即α1，α2均可由α3，α4线性表出，故r(α1，α2，α3，α4)=2，这和r(A)=3矛盾，故A不成立，同理可证B、D不成立．

二、填空题1.

设二元函数f(x，y)二阶连续可导，且

若u(x，y，z)=f(x+y+z，x2+y2+z2)，则正确答案：-12[解析]

利用函数结构的对称性，可得

最后得

2.

若二阶常系数线性齐次微分方程2y"+ay'=0和y"-by=0有同一解y=e2x，则非齐次方程y"+ay'+by=e2x的通解为y=______．正确答案：(C1，C2为任意常数)[解析]由题设条件可知二次方程2λ2+aλ=0与λ2-b=0有共同的一个解λ=2，所以b=4，a=-4．齐次微分方程为y"-4y'+4y=0，其通解是y=(C1+C2x)e2x(C1，C2为任意常数)．

求非齐次微分方程y"-4y'+4y=e2x的一个特解：

设特解Y=Ax2e2x，代入微分方程y"-4y'+4y=e2x，得

A(2e2x+8xe2x+4x2e2x)-4A(2xe2x+2x2e2x)+4Ax2e2x=e2x．

比较系数，得故其特解为通解为

3.

设函数z=z(x，y)由方程确定，则在点P0(1，1)处的值为______．正确答案：1[解析]由方程z+lnz-lnx-y=0，得

所以有

又z(1，1)=1，所以在点P0(1，1)处

4.

f(t)为连续函数，D是由y=x3，y=1，x=-1围成的区域，则正确答案：2[解析]如图，由区域的对称性可得

因此

5.

微分方程y"-2y'-3y=x(1+e-x)的一个特解形式为______．正确答案：y*=Ax+B+x(Cx+D)e-x(A，B，C，D为任意常数)[解析]原方程对应的齐次方程的两个特征根分别为-1，3，所以

方程y"-2y'-3y=x的一个特解形式为y1=Ax+B；

方程y"-2y'-3y=xe-x的一个特解形式为y2=x(Cx+D)e-x．

根据线性非齐次微分方程解的叠加原理，原微分方程的一个特解形式为

y*=y1+y2=Ax+B+x(Cx+D)e-x(A，B，C，D为任意常数)．

6.

设为可逆矩阵，且若则C-1=______．正确答案：[解析]观察C和A的关系，C可由A的1、2行互换后，再将第3列加到第1列得到，即C=E12AE13(1)，故C-1=[E12AE13(1)]-1=[E13(1)]-1A-1(E12)-1，其中(E12)-1=E12，[E13(1)]-1=E13(-1)，故

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

设z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．正确答案：方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0两边对x和y求导，得

令得

故得驻点坐标关系

将上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得两个驻点和

由于

①对x求导得

②对x求导得

③对y求导得

得

故又从而点(9，3)是z(x，y)的极小值点，极小值为z(9，3)=3．

类似地，由

可知又所以点(-9，-3)是z(x，y)的极大值点，极大值为z(-9，-3)=-3．

2.

求微分方程(y+x3)dx-2xdy=0满足的特解．正确答案：原方程变形为由一阶线性方程通解公式得

再由解得C=1，所以原方程特解为

设函数3.

讨论f(x)的单调性，考察f(x)的极值问题；正确答案：由f'(x)=0，得唯一驻点x=0．

所以，当x＜0时，f(x)单调递减；当x1＞0时，f(x)单调递增．

极小值点为x=0，极小值为f(0)=0．

4.

讨论f(x)的凹凸性，并求其拐点；正确答案：f"(x)=(2xe-x4)'=2e-x4(1-4x4)，由f"(x)=0，得二阶导数的两个零点：所以f(x)的下凸区间为上凸区间为是拐点．

5.

求f(x)的渐进线，并作示意图．(注：已知)正确答案：因有又有

所以f(x)有水平渐进线如图．

设函数t∈[0，1]，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．6.

求f(t)的初等函数表达式，正确答案：如图将积分区域划分如下：

D+=D∩{(x，y)|y-t≥0}，

D-=D∩{(x，y)|xy-t≤0}．

7.

证明存在t0∈(0，1)，使得f(t0)是f(t)在[0，1]内的唯一最小值．正确答案：

由驻点方程f'(t)=0，难以求得驻点的值，但可以通过分析函数f(t)在区间(0，1]内的性质，断言：f(t)在区间(0，1)内有唯一驻点，这一点就是f(t)在区间[0，1]上的最小值点．因为f"(t)=-2lnt＞0，t∈(0，1)，函数在区间(0，1)内是下凸的．

因为f(t)在区间(0，1]内连续，所以在区间(0，1]内f(t)存在最小值．

又f'+(0)＜0，f'(1)=1＞0，可知该最小值点不在端点，因此最小值点在(0，1)内部，所以它也是驻点．又函数f(t)在区间[0，1]内是下凸的，因此该驻点是唯一的．证毕．

若u1=b，n=1，2，…．8.

若{un}收敛，求的值；正确答案：若存在，则由条件得

A=A2+(1-2a)A+a2A2-2aA+a2=0A=a．

9.

常数a，b满足什么条件时，数列{un}收敛．正确答案：由可见{un}是单调增数列．

因此，如果数列{un}收敛，必须满足即要满足条件

则a-1≤un≤a，n=1，2，…．当然应有a-1≤u1=b≤a．

若条件a-1≤u1=b≤a成立，用数学归纳法证明：

a-1≤un≤a，n=1，2，…，

假设当n=k时，a-1≤uk≤a成立，则

同时uk+1＞uk≥a-1，即a-1≤uk+1≤a．

从而证明了a-1≤un≤a．

即{un}单调增有上界，所以{un}收敛．

设y=y(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且y'(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．10.

试将x=x(y)所满足的微分方程

变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：因为x[y(x)]=x，所以从而

故

代入原方程，得y"-y=sinx．

11.

求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解．正确答案：现在变为初值问题

对应的齐次方程y"-y=0的通解为

Y=C1ex+C2e-x．

设方程y"-y=sinx的特解为Y=Acosx+Bsinx，

代入得A=0，故从而y"-y=sinx的通解为

由y(0)=0，得C1=1，C2=-1，故所求初值问题的解为

若有数列{xn}由如下条件确定，x1=1，xn+1=sin(arctanxn)，n=1，2，…．12.

证明数列{xn}收敛，并求极限正确答案：首先证明，{xn}单调减趋于零．

由x1=1，及0≤xn+1=sin(arctanxn)≤arctanxn≤xn，所以{xn}单调减少，且{xn}[0，1]，则{xn}单调减且有下界．从而其极限存在，设则由得方程

a=sin(arctana)，a∈[1，0]，

显然a=0，即

13.

求极限正确答案：思路一：

当t→0时，则

思路二：令un=arctanxn，则xn=tanun，因此

设n阶矩阵A的元素aij，i，j=1，2，…，n，Aij是aij的代数余子式．14.

正确答案：思路一：求得A*即可求得A的全部代数余子式之和，由得|A|=1，则

故

思路二：

15.

已知|A|=3，a11=2，求|B|.正确答案：

则有

故|B|=|C|=a11|A|n-2=2·3n-2．

设f(x1，x2，…，xn)=XTAX，