考研数学二分类模拟211

考研数学二分类模拟211一、选择题1.

A.22B.23C.24D.25正确答案：C[解析]第一行加到第二行，然后第二行加到第三行，最后第三行再加到第四行，得到上对角线行列式故该行列式值为24。故选C。

2.

四阶行列式

的值等于______A.a1a2a3a4-b1b2b3b4B.a1a2a3a4+b1b2b3b4C.(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D.(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)正确答案：D[解析]方法一：根据行列式的按k行(列)展开法则，将此行列式第二、三行(列)展开，得

故选D。

方法二：交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列交换，即

由拉普拉斯展开定理可知，原式=(a1a4-b1b4)(a2a3-b2b3)。故选D。

3.

A.(ad-bc)2B.-(ad-bc)2C.a2d2-b2C2D.b2c2-a2d2正确答案：B[考点]本题要计算四阶行列式。[解析]方法一：由行列式的展开定理按第一列展开

故选B。

方法二：利用拉普拉斯展开式，即

故选B。

通过观察行列式中元素的特点，发现该行列式中零比较多，所以有两种方法可以解决：第一种是利用行列式按行(列)展开定理；第二种是利用拉普拉斯展开定理。

4.

设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=______A.0B.a2C.-a2D.na2正确答案：A[解析]按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为-a，从而行列式的值为零。故选A。

5.

设且|A|=m，则|B|=______A.mB.-8mC.2mD.-2m正确答案：D[解析]方法一：

故选D。

方法二：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|。由行列式的性质知|B|=-2|A|=-2m。故选D。

6.

设则f'(x)=0的根的个数为______A.0B.1C.2D.3正确答案：C[解析]按行列式展开得

所以有

f'(x)=5(x2-4)=0，

因此根的个数为2。故选C。

7.

(设α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，且|A|=|α1，α2，α3，β1|=m，|B|=|α1，α2，β2，a3|=n，则|α3，α2，α1，(β1+β2)|=______A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m正确答案：D[解析]由行列式运算法则，|α3，α2，α1，(β1+β2)|=|α3，α2，α1，β1|+|α3，α2，α1，β2|，且

|α3，α2，α1，β2|=-|α1，α2，α3，β2|=|α1，α2，β2，α3|=|B|=n，

故可得

|α3，α2，α1，(β1+β2)|=-|A|+|B|=-m+n。

故选D。

8.

α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=______A.9B.6C.3D.1正确答案：B[解析]方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有

|A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2|

=|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2|

=2|α1+α2+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2|

=2|α1+α2+α3，-α3，-α1，β1+β2|

=2|α2，-α3，-α1，β1+β2|

=2|α1，α2，α3，β1+β2|

=2(|A|+|B|)=6。

方法二：

故选B。

如果行列式是由抽象向量形式所表示，则可将每个向量视为行列式的一列，结合行列式的常用性质求得结果。

9.

设A=(α1，α2，α3)是三阶矩阵，则|A|=______A.|α1-α2，α2-α3，α3-α1|B.|α1+α2，α2+α3，α3+α1|C.|α1+2α2，α3，α1+α2|D.|α1，α2+α3，α1+α2|正确答案：C[解析]

故选C。

10.

设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(αn，α1，…，αn-1)，若|A|=1，则|A-B|=______A.0B.2C.1+(-1)n+1D.1+(-1)n正确答案：A[解析]对于行列式|A-B|，将第2～n列都加到第一列上，即

|A-B|=|α1-αn，α2-α1，…，αn-αn-1|=|0，α2-α1，…，αn-αn-1|=0。

故选A。

11.

设矩阵矩阵B满足AB+B+A+2E=0，则|B+E|=______

A．-6

B．6

C．

D．正确答案：C[解析]化简矩阵方程，构造B+E，用因式分解法，则有

A(B+E)+(B+E)=-E，即(A+E)(B+E)=-E，

两边取行列式，由行列式乘法公式得

|A+E|·|B+E|=1，

又有

故故选C。

12.

设A为三阶矩阵，，则|4A-(3A*)-1|=______

A．

B．3

C．6

D．9正确答案：D[解析]|4A-(3A*)-1|=|4A-(3|A|A-1)-1|=|4A-A|=|3A|=9。故选D。

二、填空题1.

正确答案：-2(x3+y3)[解析]将后两列加到第一列上

2.

正确答案：(a1c2-a2c1)(b1d2-b2d1)[解析]根据行列式按行(列)展开法则，按照第一行展开，有

3.

正确答案：120[解析]将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即

4.

设矩阵矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=______。正确答案：[解析]由于AA*=A*A=|A|E，且|A|=3，所以|A*|-|A|2=9。

由ABA*=2BA*+E可得ABA*-2BA*=E，即(A-2E)BA*=E，则

|A-2E||B||A*|=|E|=1，

如果题目中给出了矩阵的方程，要求某矩阵的行列式，一般的思路是先从方程中将要计算行列式的矩阵作为公因子提出，再在等式两边同时取行列式。

5.

设三阶行列式D3的第二行元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=______。正确答案：-4[解析]根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应代数余子式乘积之和。故

D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(-3)+(-2)×2+3×1=-4。

6.

设行列式则第四行元素余子式之和的值为______。正确答案：0[解析]第四行余子式之和

7.

已知三阶行列式=______。正确答案：[解析]结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。即

所以

8.

设A=(α1，α2，α3，β)，B=(α2，α3，α1，γ)，|A|=a，|B|=b，则|A+B|=______。正确答案：2(a+b)[解析]由题意

A+B=(α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ)，

即有

|A+B|=|α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ|，

将该行列式的第一列的-1倍加到第二列得

|A+B|=|α1+α2，α3-α1，α3+α1，β+γ|，

再将新的行列式的第二列加到第三列可得

|A+B|=|α1+α2，α3-α1，2α3，β+γ|=2|α1+α2，-α1，α3，β+γ|

=-2|α1+α2，α1，α3，β+γ|=-2|α2，α1，α3，β+γ|

=-2(|α2，α1，α3，β|+|α2，α1，α3，γ|)，

其中

|α2，α1，α3，β|=-|A|=-a，|α2，α1，α3，γ|=-|B|=-b，

故

|A+B|=2(a+b)。

9.

设A=(α1，α2，α3)是三阶矩阵，且|A|=4。若B=(α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3)，则|B|=______。正确答案：20[解析]方法一：利用行列式的性质

|B|=|α1-3α2+2α3，α2-2α3，5α3|=5|α1-3α2+2α3，α2-2α3，α3|

=5|α1-3α2，α2，α3|=5|α1，α2，α3|=5|A|=20。

方法二：

所以

10.

设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)，如果|A|=1，那么|B|=______。正确答案：2[解析]方法一：由题干可知，

于是，有

方法二：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)

又因为|A|=|α1，α2，α3|=1，故|B|=2|A|=2。

本题方法一中用到的矩阵按列分块时的运算性质很常用：设A=(α1，α2，…，αn)，假设B=(bij)为n×m矩阵，则

对上述等式要从两个角度去把握，一方面，要会做这样的运算；另一方面，看到形如(b11α1+b21α2+…+bn1αn，b12α1+b22α2+…+bn2αn，…，b1mα1+b2mα2+…+bnmαn)的矩阵，也要想到用该公式进行变形。

11.

设矩阵B满足AB+B+A+2E=O，则|B+E|=______。正确答案：[解析]由AB+B+A+2E=O可知A(B+E)+B+E=-E，即(A+E)(B+E)=-E。

取行列式可得

|A+E||B+E|=|-E|=1，

由于

故

12.

设A为奇数阶矩阵，且AAT=ATA=E。若|A|＞0，则|A-E|=______。正确答案：0[解析]|A-E|=|A-AAT|=|A(E-AT)|=|A|·|E-AT|=|A|·|E-A|。

由AAT=ATA=E，可知|A|2=1，因为|A|＞0，所以|A|=1，即|A-E|=|E-A|。

又A为奇数阶矩阵，所以|E-A|=|-(A-E)|=-|A-E|=-|E-A|，故|A-E|=0。

13.

已知A，B，C都是行列式值为2的三阶矩阵，则=______。正确答案：[解析]根据行列式按行(列)展开法则，得

14.

已知A为三阶方阵，A2-A-2E=O，且0＜|A|＜5，则|A+2E|=______。正确答案：4[解析]设A的特征值λi对应的特征向量是xi(xi≠0，i=1，2，3)，则Axi=λxi。

由A2-A-2E=O可知，特征向量xi满足(A2-A-2E)xi=0，从而有λi2～λi-2=0，解得λi=-1或λi=2。再根据|A|=λ1λ2λ3及0＜|A|＜5可得，λ1=λ2=-1，λ3=2。

由Axi=λxi可得(A+2E)xi=(λi+2)xi，即A+2E的特征值μi(i=1，2，3)满足μi=λi+2，

所以μ1=μ2=1，μ3=4，故|A+2E|=1×1×4=4。

15.

设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=-1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=______。正确答案：18[解析]由|2E+A|=0，可得|-2E-A|=0，即λ=-2是A的一个特征值。

因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=-1也是A的特征值，所以A，B的特征值均为λ1=1，λ2=-1，λ3=-2，则E+2B的三个特征值分别为3，-1，-3。从而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×(-1)×(-3)=9，故

|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=18。

16.

已知A，B为三阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，行列式|B|=2，则行列式正确答案：[解析]设λ3为A的另一特征值。由A与B相似知，|A|=|B|=2，且λ1λ2λ3=|A|=2，则有λ3=1，从而A，_B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1。

于是有

|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，|(A+E)-1|=，

|(2B)*|=|22B*|=43|B*|=43|B|2=256。

故有

17.

设A为三阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=______。正确答案：-27[解析]|BA*|=|B|·|A*|，其中|B|=-|A|=-3，|A*|=|A|3-1=9，因此|BA*|=-27。

抽象矩阵行列式的计算一般会用到方阵的行列式的相关公式，常用的公式可分为三部分，分别是：①矩阵的运算：若A，B均为n阶矩阵，则|AT|=|A|，|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|；②逆矩阵与伴随矩阵，若A为n阶矩阵，则|A*|=|A|n-1；若A为n阶可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1；③分块矩阵，若A，B分别为n阶及m阶方阵，则

三、解答题1.

计算行列式正确答案：解：把第一行的-1倍分别加至其余各行，然后将第2～n列依次加至第一列，得

2.

计算行列式正确答案：解：把第二行的-1倍分别加至其余各行，再把第一行的2倍加至第二行，得

3.

计算行列式正确答案：解：把第一行的-1倍分别加至其余各行，得

4.

计算行列式正确答案：解：利用行列式的性质，得

同理可得，所以

依次递推可得

5.

计算行列式其中未写出的元素都是0。正确答案：解：该行列式只有两条对角线上元素不为0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。

按第一行展开，得

将以上两个行列式分别按最后一行展开，得

由此得递推公式D2n=(andn-bncn)D2n-2。按递推公式逐层代入得

又由

因此原行列式

6.

正确答案：证明：本题可利用递推法证明。

显然D1=an，根据上面的结论有：

左边=xDn+a0=x(xDn-1+a1)+a0=x2Dn-1+xa1+a0=…

=xnD1+an-1xn-1+…+a1x+a0=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=右边，

所以，命题成立。

7.

设n阶矩阵证明行列式|A|=(n+1)an。正确答案：证明：方法一：数学归纳法。

记以下用数学归纳法证明Dn=(n+1)an。

当n=1时，D1=2a，结论成立。

当n=2时，结论成立。

假设结论对小于n的情况成立，将Dn按第一行展开，则有

故|A|=(n+1)an。

方法二：消元法。

8.

计算n阶行列式其中α≠β。正确答案：解：令则将该行列式按第一行展开得

再将上式中后面的n-1阶行列式按照第一列展开得Dn=(α+β)Dn-1-αβDn-2，则

Dn=αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-2-αDn-3)=…=βn-2(D2-αD1)

=βn-2[(α2+αβ+β2)-α(α+β)]=βn，

即

Dn-αDn-1=βn

(1)

类似地

Dn-βDn-1=αn，

(2)

(1)×β-(2)×α可得(β-α)Dn=βn+1-αn+1，所以。

(其中上式还可以进一步化简为)[解析]上面几个题目的高阶行列式的计算均用到了数学归纳法，常用的数学归纳法有两种类型。其步骤分别如下：

第一种数学归纳法：(1)验证n=1时，行列式的表达式fn正确；(2)设n=k时，行列式的表达