考研数学二分类模拟194

考研数学二分类模拟194一、选择题1.

设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则______

A．φ[f(x)]必有间断点

B（江南博哥）．[φ(x)]2必有间断点

C．f[φ(x)]必有间断点

D．必有间断点正确答案：D[解析]方法一：取f(x)=1，x∈(-∞，+∞)，则f(x)，φ(x)满足题设条件。由于φ[f(x)]=1，[φ(x)]2=1，f[φ(x)]=1都是连续函数，可排除选项A、B、C。故选D。

方法二：借助极限的四则运算性质可知，连续×间断=由题意知，函数f(x)连续，且f(x)≠0，则必定间断。故选D。

2.

若函数在x=0处连续，则______

A．

B．

C．ab=0

D．ab=2正确答案：A[考点]本题考查分段函数在分段点处的连续性。[解析]由函数连续的定义可知，因为

所以

先计算出函数f(x)在分段点x=0处的左、右极限，然后根据列出等式即可。在计算右极限时可以使用等价无穷小替换简化运算。

3.

设函数若f(x)+g(x)在R上连续，则______A.a=3，b=1B.a=3，b=2C.a=-3，b=1D.a=-3，b=2正确答案：D[解析]由题意可得

则f(x)+g(x)在x=-1处的左、右极限分别为

f(x)+g(x)在x=0处的左、右极限分别为

由于f(x)+g(x)在R上连续，所以f(x)+g(x)在x=-1和x=0处的左极限=右极限，即有1+a=-2，-1=-b+1，所以a=-3，b=2，故选D。

函数连续性的定义：

设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果，则称f(x)在点x0连续，且称x0为函数f(x)的连续点。

若，则称f(x)在点x0左连续。

若，则称f(x)在点x0右连续。

f(x)在点x0连续f(x)在点x0左连续且右连续，即。

4.

设函数则______A.x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C.x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D.x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点正确答案：D[解析]显然函数f(x)在x=0，x=1两个点处无定义，因此这两个点均为间断点。

因为所以x=0为第二类间断点。

因为所以x=1为第一类间断点。

故选D。

5.

函数的间断点及类型是______A.x=1为第一类间断点，x=-1为第二类间断点B.x=±1均为第一类间断点C.x=1为第二类间断点，x=-1为第一类间断点D.x=±1均为第二类间断点正确答案：B[解析]分别就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时求极限得出f(x)的分段表达式

在|x|=1处，因

所以，x=±1均为f(x)的第一类间断点。故选B。

6.

设则______A.f(x)在点x=1处连续，在点x=-1处间断B.f(x)在点x=1处间断，在点x=-1处连续C.f(x)在点x=1，x=-1处均连续D.f(x)在点x=1，x=-1处均间断正确答案：B[解析]由函数连续的定义可知

所以f(x)在x=1处间断。

为有界量，则

所以f(x)在x=-1处连续。故选B。

7.

函数在[-π，π]上的第一类间断点是x=______

A．0

B．1

C．

D．正确答案：A[解析]可以先找出函数的无定义点，再根据左、右极限判断间断点的类型。显然函数在x=0，x=1，均无意义，而

所以x=0为函数f(x)的第一类间断点。故选A。

8.

设函数则f(x)有______A.1个可去间断点，1个跳跃间断点B.1个可去间断点，1个无穷间断点C.2个跳跃间断点D.2个无穷间断点正确答案：A[解析]x=0，x=1时，f(x)均无定义，所以x=0，x=1是函数的间断点。并且

同理

又有

由可去间断点和跳跃间断点的定义知，x=0是可去间断点，x=1是跳跃间断点。故选A。

9.

等于______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]由题干可知，

故选B。

二、填空题1.

设函数在x=0处连续，则a=______。正确答案：[解析]已知f(x)在x=0处连续，则

所以

2.

设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则A=______。正确答案：[解析]令函数其中g(x)，h(x)分别在[a，x0]，(x0，b]上是初等函数，因此连续，且f(x)在x0连续。所以g(x0)=h(x0)。

对任意常数A，显然x≠1时，f(x)连续。当且仅当时，f(x)在x=1连续。

因此，当时，f(x)在(-∞，+∞)上连续。

3.

设函数在(-∞，+∞)内连续，则c=______。正确答案：1[解析]由题设知，c≥|x|≥0，所以

因此

又f(x)在(-∞，+∞)内连续，则f(x)必在x=c处连续，所以有=f(c)，即得c=1。

4.

已知函数f(x)连续，且则f(0)=______。正确答案：2[解析]

因此f(0)=2。

5.

设则f(x)的间断点为x=______。正确答案：0[解析]首先对于不同的x，用求极限的方法得出f(x)的表达式，再讨论f(x)的间断点。

当x=0时，f(x)=0；

当x≠0时，有

所以f(x)的表达式为

由于

所以x=0为f(x)的间断点。

三、解答题1.

正确答案：解：

2.

求下列极限：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

(Ⅴ)

(Ⅵ)正确答案：解：(Ⅰ)因为

且所以由夹逼准则可知

(Ⅱ)因为

且所以由夹逼准则可知

(Ⅲ)因为

且所以由夹逼准则可知

(Ⅳ)利用定积分的定义可得

(Ⅴ)利用定积分的定义可得

(Ⅵ)利用定积分的定义可得

3.

设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。

(Ⅰ)证明存在，并求该极限；

(Ⅱ)正确答案：解：(Ⅰ)0＜x1＜π，则

0＜x2=sinx1≤1＜π。

由数学归纳法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即数列{xn}有界。

于是(因当x＞0时，sinx＜x)，则有xn+1＜xn，可见数列{xn}单调递减，故由单调递减有下界数列必有极限知，极限存在。

设在xn+1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即

(Ⅱ)因由(Ⅰ)知该极限为1∞型。

令t=xn，则n→∞，t→0，而

又因为

故有

[解析](1)单调收敛定理：单调有界数列必有极限。

(2)单调收敛定理一般用于以递推公式an+1=f(an)形式给出的极限。这类问题，一般先证明{an}单调有界(主要难点)，再两边同时取极限，最后从a=f(a)中解出极限值(假设)。

4.

(Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根；

(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明存在，并求此极限。正确答案：证明：(Ⅰ)根据题意，令

f(x)=xn+xn-1+…+x-1，

则f(1)＞0，又

结合零点定理可得，f(x)=xn+xn-1+…+x-1在内至少存在一个零点，即方程xn+xn+1+…+x=1在区间内至少有一个实根。

又因为f(x)=xn+xn-1+…+x-1在上是单调的，可知f(x)=xn+xn-1+…+x-1在内最多只有一个零点。

综上所述，方程xn+xn-1+…+x=1在区间内有且仅有一个实根。

(Ⅱ)由题设f(xn)=0，可知进而有=0，所以

比较上面两个式子可知xn+1＜xn，故{xn}单调递减。

又由(Ⅰ)知即{xn}是有界的，则由单调有界收敛定理可知{xn}收敛，假设可知a＜x2＜x1=1。

当n→∞时，有

解得[解析]不等式证明主要借助函数的单调性进行：首先构造出辅助函数(一般用不等式两边直接相减，如果不等式比较复杂，可以先化简，再相减)，再对辅助函数求导，根据导函数的符号得出单调性，进而得出函数值和端点值的大小关系。

5.

设函数数列{xn}满足证明存在，并求此极限。正确答案：证明：令则x＜1。于是f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以x=1是f(x)唯一的最小值点，且f(x)≥f(1)=1，从而有再结合题目中的条件有

所以xn＜xn+1，且0＜xn＜e，即数列{xn}单调递增且有界。由单调有界收敛定理可知，极限存在。

令而所以=1。由前面讨论出的函数f(x)的性质可知

6.

设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn-1(n=1，2，…)。证明{xn}收敛，并求正确答案：证明：方法一：由题意可知

首先证明{xn}有下界，即证明xn＞0。

当n=1时，x1＞0；假设当n=k时，xk＞0；则当n=k+1时，其中exk-1＞xk，可知xk+1＞ln1=0，因此对于任意的n，有xn＞0。

再证明{xn}的单调性。

由已知可得

令f(x)=ex-1-xex，则f'(x)=-xex。当x＞0时，f'(x)=-xex＜0，故f(x)＜f(0)=0，从而exn+1+-exn＜0，故xn+1＜xn，即数列{xn}单调递减。

综上，{xn}为单调递减有下界的数列，则由单调收敛定理可知{xn}收敛。

设，在xnexn+1=exn-1两边同时令n→∞，得aea=ea-1，解得a=0，故。

方法二：由泰勒公式可知，，其中ξ介于0与x之间，从而可知ex-1≥x，所以xn+1=，从而数列{xn}有下界。

另一方面，由拉格朗日中值定理可知，xnexn+1=exn-1=exn-e0=xneξn，其中0＜ξn＜xn，从而可知xn+1=ξn＜xn，则数列{xn}单调递减。

由单调收敛定理可知，数列{xn}收敛。

设，在xnexn+1=exn-1两边同时令n→∞，得aea=ea-1，解得a=0，故。[考点]本题考查数列的单调收敛定理。[解析]该定理的主要应用是证明数列极限的收敛及计算极限。在证明数列极限的收敛性时，考生可以从以下两点入手，第一：证明数列有界；第二：证明数列单调。在计算数列极限时(已证得数列极限存在)．考生可以对题目中所给递推式(迭代式)两边同时取极限，即可得到数列极限的值。

7.

求函数的间断点，并指出其类型。正确答案：解：函数f(x)的可疑点只有x=0和x=1两个。

因为

所以x=0为可去间断点，x=1为跳跃间断点。

8.

求函数所有的间断点及其类型。正确答案：解：函数f(x)有可疑点有x=0，x=1，x=-1，且

因为

所以x=0为跳跃间断点，x=1为可去间断点，x=-1为无穷间断点。

9.

设函数

(Ⅰ)当n为正整数，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明2n≤S(x)＜2(n+1)；

(Ⅱ)正确答案：解：(Ⅰ)因为|cosx|≥0，且nπ