第78讲、参数范围与最值（学生版）

第78讲参数范围与最值知识梳理1、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．2、求参数范围问题的常用方法构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．③利用基本不等式求出参数的取值范围．④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．必考题型全归纳题型一：弦长最值问题例1．（2024·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知圆的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）（1）求圆O半径r的取值范围；（2）是否存在圆O，使得恒成立？若存在，求出圆O的方程及的最大值；若不存在，说明理由.例2．（2024·河北·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A在轴上滑动，点B在轴上滑动，A、B两点间距离为．点P满足，且点P的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上的不同两点，直线MN斜率存在且与曲线相切，若点F为，那么的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由．例3．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆）中，，过点与的直线的斜率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的右焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于两点，求的最大值.变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．(1)若，求证：；(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的的标准方程；(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.变式3．（2024·江西南昌·统考一模）已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，离心率，点在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于P、Q两点，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.题型二：三角形面积最值问题例4．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为、，为椭圆上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)设动直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若，的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.例5．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）如图，分别是矩形四边的中点，，.(1)求直线与直线交点的轨迹方程；(2)过点任作直线与点的轨迹交于两点，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，求面积的最小值.例6．（2024·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；（2）求直线的方程；（3）求三角形面积的最大值．变式5．（2024·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，满足.(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标；(2)设线段的中点为.证明：直线与轴垂直；(3)设圆，若点为圆上动点，设的面积为，求的最大值.变式6．（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）.(1)求的准线方程；(2)若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值.题型三：四边形面积最值问题例7．（2024·河南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，作直线l的平行线，动点P满足到F的距离与到直线的距离之和等于直线l与之间的距离．记动点P的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)过作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且直线AB的倾斜角，求四边形ACBD面积的最大值．例8．（2024·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．(1)求的方程；(2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．例9．（2024·全国·高三专题练习）如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.变式7．（2024·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，M为椭圆E的上顶点，，点在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.变式8．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上异于左、右顶点的动点，的最小值为2，且椭圆C的离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l过与椭圆C相交于A，B两点，A，B两点异于左、右顶点，直线过交椭圆C于M，N两点，，求四边形面积的最小值．变式9．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线分别交轨迹于点和，求四边形面积的最小值.题型四：弦长的取值范围问题例10．（2024·河北·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，点在椭圆上，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)动直线交椭圆于，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段上一点，圆的半径为，且，求的范围.例11．（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆，点，斜率不为0的直线与椭圆交于点，与圆相切且切点为为中点.(1)求圆的半径的取值范围；(2)求的取值范围.变式12．（2024·广东深圳·高三校联考期中）已知点在运动过程中，总满足关系式：.(1)点的轨迹是什么曲线？写出它的方程；(2)设圆，直线与圆O相切且与点的轨迹交于不同两点，当且时，求弦长的取值范围.变式13．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.(1)求证：(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.变式14．（2024·陕西咸阳·校考三模）已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.(1)求双曲线的标准方程;(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.变式15．（2024·全国·高三校联考开学考试）已知双曲线的渐近线方程为，点，分别为双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于第一象限的点，且的周长为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的左支、右支分别交于，两点，与直线，分别交于P，Q两点，求的取值范围．题型五：三角形面积的取值范围问题例13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线，其左、右焦点分别为、，上有一点P满足，．(1)求b；(2)过作直线l交于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为时，求的取值范围．例14．（2024·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.(1)求的方程；(2)过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围.例15．（2024·浙江金华·模拟预测）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．变式16．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点.(1)求C的方程；(2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），求的取值范围.变式17．（2024·四川南充·模拟预测）如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．

(1)求动点的轨迹的方程；(2)点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．变式18．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆的左焦点为，且过点.(1)求C的方程；(2)不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.（i）求的斜率；（ii）求的面积的取值范围.题型六：四边形面积的取值范围问题例16．（2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆：（）左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点，为椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)已知，为椭圆上不同两点，且都在轴上方，满足.（ⅰ）若，求直线的斜率；（ⅱ）若直线与抛物线无交点，求四边形面积的取值范围.例17．（2024·河北·高三统考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆上.直线与椭圆交于两点.且，其中为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且过的中点.求四边形面积的取值范围.例18．（2024·全国·模拟预测）设椭圆的左焦点为F，上顶点为P，离心率为，O是坐标原点，且.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形面积的取值范围.变式19．（2024·辽宁辽阳·高三辽阳县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线过点，且的渐近线方程为．(1)求的方程；(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．①求四边形面积的取值范围；②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．变式20．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为.(1)求的方程；(2)若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围.题型七：向量数量积的取值范围问题例19．（2024·吉林长春·长春市第八中学校考模拟预测）已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．例20．（2024·安徽合肥·合肥市庐阳高级中学校考模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.(1)是上一动点，求的范围；(2)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.例21．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：经过点，一个焦点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围.变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：经过点，一个焦点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围.变式22．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考阶段练习）已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求·的取值范围.题型八：参数的取值范围例22．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线表示焦点在轴上的椭圆.（1）求的取值范围；（2）设，过点的直线交椭圆于不同的两点，（在，之间），且满足，求的取值范围.例23．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点．若过点的直线斜率不等于零与椭圆交于不同的两点E、在B、F之间，求椭圆的标准方程；求直线l斜率的取值范围；若与面积之比为，求的取值范围．例24．（2024·广东广州·高二执信中学校考期末）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点，且它的离心率（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆相切的直线交椭圆于、两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围变式23．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆：的左顶点为，右顶点为.已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线斜率大于，求直线的斜率的取值范围.变式24．（2024·天津河西·天津市新华中学校考一模）设椭圆的左顶点为，右顶点为．已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程