4.2.3二项分布与超几何分布课件高二上学期数学人教B版选择性

第四章概率与统计4.2.3二项分布与超几何分布人教B版

数学

选择性必修第二册课程标准1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布,并能利用它们解决一些简单的实际问题.2.理解超几何分布的意义,能够利用超几何分布的概率公式解决实际问题.3.通过本节的学习,体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活中的作用,提高数学应用能力.基础落实·必备知识全过关知识点一

n次独立重复试验与二项分布1.n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.2.二项分布一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=

,k=0,1,…,n.

因此X的分布列如下表所示.上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式

中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~

.

B(n,p)名师点睛1.二项分布是n次独立重复试验在k取遍0,1,2,…,n各种情况下的一个分布列.2.在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次独立重复试验中,X却是一个具体结果;注意掌握表示符号n,p的具体含义,并习惯用符号表示具体的分布列.3.两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.过关自诊1.设随机变量X~B(6,),则P(X=3)等于(

)A2.某电子管的正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,那么在三次测试中恰有一次测到正品的概率是(

)C知识点二

超几何分布1.定义一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=

,k=t,t+1,…,s,这里的X称为服从参数N,n,M的超几何分布,记作X~

.

H(N,n,M)2.超几何分布列如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示.名师点睛判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点:(1)总体是否可分为两类明确的对象.(2)是否为不放回抽样.(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.过关自诊1.[2023福建漳州高二期中]盒中有4个白球,5个红球,从中任取3个球,则恰好取出2个红球的概率是(

)C解析

设取出红球的个数为X,则X~H(9,3,5),2.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)等于(

)B重难探究·能力素养全提升探究点一n次独立重复试验概率的求法【例1】

[人教A版教材例题]将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.解

设A=“正面朝上”,则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数,则X~B(10,0.5).(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6,于是规律方法

n次独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验;(2)分拆:判断所求事件是否需要拆分;(3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.变式训练1某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,求下列事件的概率:(1)恰有4次投中的概率为

;(2)至少有4次投中的概率为

;(3)至多有4次投中的概率为

.(结果保留三位小数)

0.1360.9420.194解析

(1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,恰有4次投中的概率为(2)至少有4次投中的概率为(3)至多有4次投中的概率为探究点二二项分布【例2】

某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为,复审能通过的概率为,各专家评审的结果相互独立.(1)求某应聘人员被录用的概率;(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.解

设“两位专家都同意通过”为事件A,“只有一位专家同意通过”为事件B,“通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D,则D=A∪(BC),所以X的分布列为

规律方法

1.当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.2.解决二项分布问题的关键对于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.变式训练2为增强学生体质,某学校组织体育社团,某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个社团,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团.(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率;(2)用ξ,η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量X为ξ和η之差的绝对值,求随机变量X的分布列.探究点三超几何分布【例3】

老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求:(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;(2)他能及格的概率.规律方法

求超几何分布列的步骤(1)验证随机变量是否服从超几何分布,并确定参数N,M,n;(2)确定X的所有可能取值;(3)利用超几何分布公式计算P(X=k);(4)写出分布列(用表格或式子表示).变式训练3在箱子中有10个小球,其中有3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中任取3个.求:(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列;(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.

解

(1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,且X服从参数为N=10,M=3,n=3的超几何分布,故X的分布列为

(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A,“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1,“恰好取出2个红球”为事件A2,“恰好取出3个红球”为事件A3,由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为

探究点四概率的综合应用【例4】

甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.(1)求随机变量ξ的分布列;(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).所以ξ的分布列为

(2)用C表示“甲队得2分,乙队得1分”这一事件,用D表示“甲队得3分,乙队得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,变式探究

在本例条件下,试求事件“甲、乙两队总得分之和大于4”的概率.解

用E表示“甲、乙两队总得分之和大于4”这一事件,包括“总得分之和等于5”与“总得分之和等于6”.变式训练4某学校为了解学生课后进行体育运动的情况,对该校学生进行简单随机抽样,获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表,其中运动时间在(7,11]的学生称为运动达人.分组区间(单位:小时)(1,3](3,5](5,7](7,9](9,11]人数13475(1)从上述抽取的学生中任取2人,设X为运动达人的人数,求X的分布列;(2)以频率估计概率,从该校学生中任取2人,设Y为运动达人的人数,求Y的分布列.成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练1.[探究点二·2023吉林长春校级月考]下列例子中随机变量ξ服从二项分布的个数为(

)①某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数ξ;②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ;③从装有5个红球,5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数ξ;④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数.A.0 B.1 C.2 D.3B123456789101112131415162.[探究点一]某学校成立了A,B,C三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A学习小组的概率是(

)D解析

设每位学生申请课外学习小组为一次试验,这是4次独立重复试验,记“申请A学习小组”为事件A,则P(A)=,由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式可知,恰有2人申请A学习小组的概率是故选D.123456789101112131415163.[探究点四](多选题)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中,正确的是(

)A.他第3次击中目标的概率是0.9B.他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1C.他至少击中目标1次的概率是1-0.14D.他恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1AC123456789101112131415164.[探究点三·2023四川绵阳高二期中]在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)=

.

123456789101112131415165.[探究点二·人教A版教材习题]鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:(1)没有鸡感染病毒的概率;(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.解

设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X,则X~B(5,0.2).(1)P(X=0)=×0.85=0.327

68.(2)P(X=1)=×0.2×0.84=0.409

6.12345678910111213141516B级关键能力提升练6.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次,至少击中3次的概率为(

)A.0.85 B.0.8192B解析

因为某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次看作4次独立重复试验,则至少击中3次的概率(0.8)3(1-0.8)+0.84=0.819

2.123456789101112131415167.(多选题)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是(

)BD123456789101112131415168.(多选题)某城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是(

)ACD123456789101112131415169.(多选题)若随机变量ξ~B(5,),则P(ξ=k)最大时,k的值可以为(

)A.1 B.2C.4 D.5AB1234567891011121314151610.(多选题)一袋中有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是(

)A.取出的最大号码X服从超几何分布B.取出的黑球个数Y服从超几何分布C.取出2个白球的概率为D.若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则总得分最大的概率为BD1234567891011121314151611.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是

.

1234567891011121314151612.两名学生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是

.”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同,则根据这位负责人的话,可以推断出参加面试的人数为

.

211234567891011121314151613.箱中装有4个白球和m(m∈N+)个黑球.规定取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,现从箱中任取3个球,假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分数之和.(1)若P(X=6)=,求m的值;(2)当m=3时,求X的分布列.

123456789101112131415161234567891011121314151614.[人教A版教材例题改编]一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.分别就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列.