复变函数与积分变换题库习题集带答案

复变函数与积分变换习题集PAGEPAGE2复数与复变函数判断题（8）平面点集是单联通区域。（9）如果不是实数，则。选择题1．当时，的值等于（）（A）（B）（C）（D）2．一个复数乘以，则()（A）复数的模不变，辐角减少/2。（B）复数的模不变，辐角增加/2。（C）复数的模增加，辐角减少/2。（D）复数的模减少，辐角增加/2。3.设复数满足，，那么（）（A）（B）（C）（D）4．复数的三角表示式是（）（A）（B）（C）（D）5．设为实数，且有，则动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线６．．一个向量顺时针旋转，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为，则原向量对应的复数是（）（A）（B）（C）（D）7．设为复数，则方程组的解是（）（A）（B）（C）（D）8．方程所代表的曲线是（）（A）中心为，半径为的圆周（B）中心为，半径为２的圆周（C）中心为，半径为的圆周（D）中心为，半径为２的圆周9．下列方程所表示的平面点集中，为有界区域的是（）（A）（B）（C）（D）10．设且，为复数，则函数的最大值为（）（A）（B）1（C）2（D）三、填空题1．设，则2．设，则3．复数的指数表示式为4．设，则5．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式所表示的区域是连通区域７．方程所表示曲线的直角坐标方程为８．不等式所表示的区域是圆的部。四、若复数满足，试求的取值范围．五、设是两个复数且满足都是负实数，证明必为实数。六、设复数，试证.七、试证非零复数满足的充要条件是他们有相同的辅角.八、设，试证.九．指出下列各题中点z的存在范围，是否区域，若是，指出是有界区域还是无界区域，单联通还是多连通的。（1）；（2）（3）；（4）（5）（6）（7）（8）答案一、√，√，，，，，√，，√二、(1)C(2)A(3)A(4)D(5)C(6)A(7)B(8)C(9)A(10)A三、1．2。3。4。5。46。单7。8。外四、（或）．九、(1)直线的左边，无界单联通区域。（2）以1为心，以2为心的圆的外部，无界多连通区域（3）以原点为心的去心单位圆，有界多连通区域。（4）角形域，无界单联通区域.（5）圆的外部，无界多连通区域（6）椭圆的内部，有界单联通区域。（7）圆抛物线，不是区域.（8）直线不是区域.解析函数判断题（1）设为整函数，则也是整函数。（2）设和均为整函数，则也是整函数。（3）设和均为整函数，则也是整函数。（4）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析（5）若均在区域D内解析，则在区域D内为常数.(6)指数函数是以为周期的函数。（7）在整个复平面上有界.(8)对任意复数。选择题1．设和均为整函数，下列命题错误的是（）（A）是整函数（B）是整函数（C）是整函数（D）是整函数2．函数在点处是()（A）解析的（B）可导的（C）不可导的（D）既不解析也不可导3．假设点是函数的奇点，则函数在点处()（A）不可导（B）不解析（C）不连续（D）以上答案都不对4．下列函数中，为整个复平面上解析函数的是()（A）（B）（C）（D）5．函数在处的导数()（A）等于0（B）等于1（C）等于（D）不存在6．函数在复平面内()（A）处处解析（B）处处可导（C）在坐标轴上可导（D）在坐标轴上解析7．．设为任意实数，则()（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于1（D）是复数，其模等于18．设，则()（A）（B）（C）（D）9．设是复数，则()（A）在复平面上处处解析（B）的模为（C）一般是多值函数（D）的辐角为的辐角的倍10．下列数中，为实数的是()（A）（B）（C）（D）三、填空题1．假设，则2．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是3．设，则4．设，则方程的所有根为5．cos(iln5)=6．复数7．复数8．Ln(cosi)=9．10．方程的全部解为四、证明：如果在连续，则函数都在处连续.五、设,指出它在哪些点处不连续，并说明原因.六、讨论下列函数的解析性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）七、求的实部、虚部。八．求下列初等函数的值。（1）（2）（3）；（4）（5）（6）（7）九、解方程：（1）（2）（3）答案一、，√，√，，√，√，，二、(1)C(2)B(3)B(4)D(5)A(6)C(7)D(8)A(9)C(10)B三、1．2。常值函数3。4。5。6。7。8。9。10。五、除外连续.六、（1）处处不解析（2）仅在原点可导，处处不解析（3）在原点可导，处处不解析（4）仅在处可导，处处不解析（5）在直线上可导，处处不解析（6）处处解析七、实部为，虚部为。八．求下列初等函数的值。（1）（2）（3）；（4）（5）（6）（7）九、解方程：（1）（2）（3），第三章复变函数的积分判断题微积分中的求导公式、洛必达法则、积分中值定理等均可推广到复变函数。（）有界整函数必为常数。（）积分的值与半径的大小无关。（）若在区域内有，则在内存在且解析。（）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则在处解析。（）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有。（）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（）二、选择题：1．设C为从原点沿至的有向线段，则()（A）（B）（C）（D）2．设C为不经过点与的正向简单闭曲线，则为()（A）（B）（C）（D）以上都不对3．设C为从沿至的直线段，则()（A）（B）（C）（D）4．设C为正向圆周，则()（A）（B）（C）（D）5．设为正向圆周，则()（A）（B）（C）（D）6．设，其中，则()（A）（B）（C）（D）7．设为正向圆周，则()（A）（B）（C）（D）8．设为椭圆，则积分=（）（A）（B）（C）（D）9．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是()(A)（B）（C）（D）10．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是()（A）（B）（C）（D）三、填空题1．设为负向圆周，则2．设为正向圆周，则3．设其中曲线C为椭圆正向，则4．设为正向圆周，则5．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的6．设C是从到的直线段，则积分7．设C为过点的正向简单闭曲线，则当从曲线C内部趋向时，，当从曲线C外部趋向时，。8．调和函数的共轭调和函数为9．若函数为某一解析函数的虚部，则常数10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为四、计算积分1．2.,其中且。3．，其中为不经过的简单正向闭曲线.五、设在平面上解析，且恒大于正常数M,试证为常值函数.六、证明：若在圆周上及其内部解析，则七、设在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数，试求极限并由此推证（刘维尔Liouville定理）.八、设在内解析，且，试计算积分并由此得出之值.答案：一、，，，，，，，，二、1．C2.D3.D4.B5.B6.A7.A8．A9.D10.B三、1．2．3.,,4.5.平均值6。7。，08.9.10.四、1.设则所以2．当时，；当时，；当时，3．分情况讨论：（1）为不包含的简单正向闭曲线=0（2）为包含，不包含的简单正向闭曲线（3）为包含，不包含的简单正向闭曲线（4）为即包含，也包含的简单正向闭曲线=0五、提示：对运用刘维尔定理.七、提示：估值不等式证明极限.再用柯西积分公式计算，可验证。八、.第四章级数判断题幂级数在收敛圆上处处收敛。（）幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（）如果是和的极点，则是的极点。（）如果是的本性奇点，为的极点，则是的本性奇点。（）如果是的本性奇点，为的极点，则是的极点。（）如果是的级零点，为的级极点，，则是的可去奇点。（）如果是的级极点，则是的级极点。（）若，则在内无奇点。（）存在在原点解析，在处取值为的函数。（）一、选择题：1．设，则()（A）等于（B）等于（C）等于（D）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为()（A）（B）（C）（D）3.设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径()（A）（B）（C）（D）4．级数的收敛域是()（A）（B）（C）（D）不存在的5．函数在处的泰勒展开式为()（A）（B）（C）（D）6．是函数的()奇点（A）可去奇点（B）极点（C）本性奇点（D）非孤立奇点7．设函数在以为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么()（A）1（B）2（C）3（D）48．设是的级极点，则是的（）级极点(A)（B）（C）（D）9．设为函数的级极点，那么()（A）8（B）6(C)4（D）210.是函数的（）奇点（A）可去奇点（B）极点（C）本性奇点（D）非孤立奇点二、填空题1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为。2．幂级数的收敛半径。3．在处的泰勒展开式为。4．假设是函数的级极点，则是函数的极点．5．双边幂级数的收敛域为．6．函数在内洛朗展开式为．7．具有可去奇点，6级级点和本性奇点的一个函数为．8．函数在内洛朗展开式为．9．函数的有限奇点为，类型为．10．函数在扩充复平面上的奇点为；类型为．三、用幂级数证明初值问题在解析的唯一解为四、菲波那契(Fibonacci)数列各项之间的关系为：。证明函数在处的泰勒展开式的系数即为菲波那契(Fibonacci)数列，并明确给出的表达式．五、试证明1．2．.六、将函数在内展开成洛朗级数.七、试证在内的洛朗展开式为：其中答案：一、，，，，，，，，，二、1．（B）2．（C）3．（C）4．（B）５．（D）６．（D）７．（C）８．（B）９．（A）10．（A）二、1．不能确定2．13．4．一级5．6。7．8.9.二级极点、一级极点、三级极点10．；可去奇点，本性奇点四、.六、.答案留数理论及其应用判断题1．若是函数的奇点，则可将函数在处展开来计算在处的留数（）2．在处的留数与在处的留数相等。（）3．若，则在内无奇点。（）4．若是函数的可去奇点，则在处的留数为0。（）5．假设是函数的级极点，则，。（）选择题1．是函数的()（A）可去奇点（B）一级极点（C）二级极点（D）本性奇点2．设函数与分别以为级极点与级极点（），则为的（）（A）可去奇点（B）级极点（C）级零点（D）本性奇点3．设为函数的本性奇点，则为函数的（）（A）可去奇点（B）一级极点（C）本性奇点（D）非孤立奇点4．设在内解析，为正整数，那么()（A）（B）（C）（D）5.如果为的级极点，则为的（）级极点(A)（B）（C）（D）6．是函数的（）（A）可去奇点（B）一级极点（C）二级极点（D）本性奇点7．（）（A）（B）（C）（D）8．（）（A）（B）（C）（D）填空题1．设为函数的奇点．2为函数的奇点．3．是函数的级极点．4．设为函数的级零点，那么．5．设为函数的级极点，那么．6．设，则．7．设，则．8．设，则．9．积分．四、计算下列函数在各孤立奇点处的留数。1．2。3。4．五、计算下列围线积分。1．2。3.4．，其中C为不经过0和1的简单闭曲线.5．答案：一、1。2。3。4。5。√二、(1)A(2)B(3)C(4)C(5)D(6)C(7)A(8)B三、1。可去2。本性3。14。5.6.7.8.9.四、(1)为的一级极点，为的本性奇点，(2)为的本性奇点，为的本性奇点又所以，(3)为的3级极点，为的1级极点，所以（4）均为的一级极点，为的极点。由知五、1．被积函数在积分区域内有两个奇点，均为单极点。又因为所以=。2．=因为所以=因为所以=，从而有3.因为所以=。4．（1）0。（2）C只包含0时，积分为（3）C只包含1时，积分为（4）C包含0，1时，积分为5．当时，为可去奇点，积分为零。当时，为一级极点，当时，为级极点，所以傅立叶变换判断题1．任意函数的傅立叶变换都存在。（）2．的正弦变换就是为奇函数时的傅立叶变换。（）3．则成立。（）4．具有性质其中的积分就是我们数学分析中熟悉的广义积分。（）5．因为，所以。（）6．古典意义下的傅立叶变换的所有性质对于广义傅立叶变换均成立，且形式完全相同。（）选择题（9）设，则=（）（A）（B）（C）（D）填空题（5）积分（6）积分（7）假设函数的傅立叶变换为，则函数的傅立叶变换为（8）函数的傅立叶逆变换为（9）积分方程的解计算下列函数的傅立叶变换（1）（2）（3）（4）（5）计算下列函数的傅立叶变换，并求给出的相应的积分的值。（1），（2），已知函数F求下列函数的傅立叶变换。（1）（2）（3）（4））计算下列函数的傅立叶逆变换。（1）（2）（3）八、证明：若F其中为一实函数，则FF九、证明：答案：一、1。2。√3。4。5。√6。二、(1)D(2)A(3)C(4)B(5)A(6)C(7)B(8)D(9)B(10)C三、1。2。3。4。5.6.7.8.9.四、(1)=(2)因为F，，所以F（5）因为由相似性质F五（1）所以在连续点处=所以。（2），因此六、（1）因为由相似性质，FF（2）FF（3）因为由相似性质，FFF=（4）FF七、（1）F{F}==（2）,所以（3）=，所以证F同理可证另一等式.九、证拉普拉斯变换判断题1．Laplace变换本质是傅立叶变换。（）2．任意函数的拉普拉斯变换都存在。（）3．和的拉普拉斯变换结果相同。4．可以通过计算在处留数得到的拉普拉斯逆变换。（）5．可以通过计算在处留数得到的拉普拉斯逆变换。（）6．用拉普拉斯变换求微分方程时可直接求出满足初始条件的解。（）选择题（2）（）（A）（B）（C）（D）(3)（）（A）（B）（C）（D）(4)（）（A）（B）（C）（D）(5)函数的拉普拉斯逆变换为（）（A）（B）（C）(D)(6)函数的拉普拉斯逆变换为（）（A）（B）（C）（D）(7)积分的值为（）（A）0(B)(C)(D)(8)积分的值为（）（A）0(B)1(C)(D)不存在(9)时的值为（）（A）0(B)1(C)(D)不存在填空题（1）设则（2）（3）（4）（5）（6）