13.4 课题学习 最短路径问题 人教版数学八年级上册课件

新知一览轴对称画轴对称图形轴对称线段的垂直平分线的性质与判定轴对称画轴对称图形等腰三角形等腰三角形的性质等边三角形的性质与判定用坐标表示轴对称线段的垂直平分线的有关作图课题学习

最短路径问题含30°

角的直角三角形的性质等腰三角形的判定13.4课题学习

最短路径问题第十三章

轴对称人教版八年级(上)

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图

1

中的

A

地出发，到一条笔直的河边

l

饮马，然后到

B

地.到河边个么地方饮马可使他所走的路线全程最短?

l

知识点1:将军饮马问题你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

l

当点C在l的什么位置时，AC与

CB

的和最小.探究一

如图，点

A、B

在直线

l

的同侧，点

C在直线

l

上的一个动点，当点

C

在

l

什么位置时，AC和

CB

的和最小？分析：未知问题同侧两点最短已知问题异侧两点最短(1)如图，点

A、B

分别是直线l异侧的两个点，如何在l

上找到一个点，使得这个点分别到点

A与点

B

的距离和最短？连接

AB交l于点

C.(2)如何将探究一的点

B“移”到l的另一侧

B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持

CB与

C′B′的长度相等？利用轴对称，作出点

B关于直线

l的对称点

B′.作法：(1)作点

B

关于直线

l的对称点

B′；(2)连接

AB′，与直线

l相交于点

C．则点

C即为所求．(3)你能用所学的知识证明：AC+BC

最短吗？证明：如图，在直线

l上任取一点

C′(与点

C

不重合)，连接

AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴

AC+BC＜AC′+BC′，即

AC+BC

最短．同侧转化异侧实际问题数学问题通过轴对称将同侧点转化为异侧利用两点之间，线段最短，化折为直1.如图

(1)

是示意图，游船从湖岸

l₁

的码头

D

将游客送往亭子

M停留观赏，然后将游客送往湖岸

l₂

的码头

C，最后再回到码头

D.请在图

(2)

中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置(练一练2超链接).湖岸

l₁湖岸

l2

(1)

(2)

湖岸

l₁湖岸

l₁解：如图(2)示.知识点2:造桥选址区问题探究二

如图，A和

B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥

MN.桥造在何处可使从

A到

B的路径

AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？当点

N在直线

b的什么位置时，AM+MN+NB最小？AM+NB固定分析：MN

平移到AA′AM+NB最短AM=A′NA′N+NB最短A′、N、B三点共线类比将军饮马问题，完成证明.连接

AB2.如图

(1)

是示意图，在第

1

题的条件下，如果在湖面上再新建一座观赏亭

N，且游船路线为湖岸

l₁

的码头

D→亭子

M→亭子

N→湖岸

l2

的码头

C→湖岸

l₁

的码头

D.请在图(2)中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置.(提示：思考最短路线是由哪几条线段相加).湖岸

l₁湖岸

l2

(1)湖岸

l₁湖岸

l2

(2)解：如图(2)示.解决最短路径问题通常利用________、________实现线段的转移，把已知问题转化成容易解决的问题轴对称平移基础练习1.(佛山校考)某开发商的经适房的三个居民小区

A、B、C

在同一条直线上，位置如图所示，其中小区

B

到小区A、C

的距离分别是70m和150m，小区

A、C之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在()A.小区

A B.小区

BC.小区

C D.AC

的中点B2.线段

AC是正方形

ABCD的对角线，点

M是边

CD上的一定点(不与

D，C重合)，请在对角线

AC上找一点

P，使得△PDM的周长最小，并作简要说明．解：如图，连接

BM，交

AC于点

P，点

P即为所求．3.(广州校考)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A，B，C

在小正方形的顶点上.(1)在图中画出与△ABC

关于直线l成轴对称的△A′B′C′；(2