2024-2025学年河南省新乡市封丘一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省新乡市封丘一中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|1<x<6}，B={x|4−x>0}，则A∩B=(

)A.{2,3,4} B.{2,3} C.{2} D.{3}2.已知复数z满足z(2−i)=1−3i，则z=(

)A.−i B.i C.1−i D.1+i3.已知e1，e2是夹角为3π4的单位向量，则e1在eA.−2e1 B.−24.若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个法向量是(

)A.(1,−1) B.(1,1) C.(−1,1) D.(2,−5.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上为减函数的是A.y=cosx B.y=2|sinx| C.y=cosx26.幂函数f(x)=(m2−m−1)xm2+2m−3在区间(0,+∞)上单调递增，且A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断7.一水平放置的平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′A′=O′C′=1，O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′//y′轴，则四边形OABC的面积为(

)A.322

B.32

8.已知点P是直线x−y−m=0上的动点，由点P向圆O：x2+y2=1引切线，切点分别为M，N且∠MPN=90°，若满足以上条件的点PA.2 B.±2 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则不可能使l/​/α的是(

)A.m=(1,0,0)，n=(−2,0,0) B.m=(1,3,5)，n=(1,0,1)

C.m=(0,2,1)，n10.锐角三角形ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有(

)A.sin2A+sin2B<sin2C B.sin(A+B)=sinC

C.若11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件M=“第一枚硬币正面朝上”，事件N=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是(

)A.M与N是互斥事件 B.M与N是对立事件

C.P(M)=P(N) D.M与N是相互独立事件三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，则应从高三年级抽取______名志愿者．13.从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是______．14.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF/​/AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC边上的高FH=2，EF=32.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知|a|=4，|b|=3，(2a−3b)⋅(2a+b)=61．

(1)求a与b16.(本小题15分)

2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：

(1)请估计这200位市民的平均年龄(同组数据用组中值代替)；

(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间[20,30)和[70,80)两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率．17.(本小题15分)

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)求甲、乙各射击一次，至少击中目标一次的概率；

(2)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击418.(本小题17分)

在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．

①2a−b=2ccosB；

②2csinA=atanC；

③△ABC的面积为12c(asinA+bsinB−csinC)(如多选，则按选择的第一个记分)

问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．

(1)求角C；

(2)若c=2，求△ABC面积的最大值；

(3)在(2)的条件下，若△ABC为锐角三角形，求2a−b的取值范围．19.(本小题17分)

如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，M是线段AD上的一动点，将△ABM沿着BM折起，使点A到达点A′的位置，满足点A′∉平面BCDM且点A′在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．

(1)当点M与点D重合时，

①证明：A′B⊥平面A′CD；

②求二面角A′−BD−C的余弦值；

(2)设直线CD与平面A′BM所成的角为α，二面角A′−BM−C的平面角为β，求sin2α参考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.B

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.BCD

11.CD

12.15

13.1614.15215.解：(1)由(2a−3b)⋅(2a+b)=61，得4a2−3b2−4a⋅b=61，

即64−27−4×4×3cosθ=6116.解：(1)这100位市民的平均年龄为：5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48，

即这100位市民的平均年龄约为48；

(2)参与调查的100为市民中年龄在区间[20,30)内的人数为0.012×10×200=24，年龄在区间[70,80)内的人数为0.006×10×200=12，

按照分层抽样的方法抽取6人，则年龄在区间[20,30)内的应抽取2424+12×6=4，设为1，2，3，4，

年龄在区间[70,80)内的应抽取1224+12×6=2，设为a，b，

从这6人中随机抽取2人，所有可能出现的情况如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,a}，{1,b}，{2,3}，{2,4}，{2,a}，{2,b}，{3,4}，{3,a}，{3,b}，{4,a}，{4,b}，{a,b}，共15种，

则2人的年龄差大于10的有{1,a}，{1,b}，{2,a}，{2,b}，{3,a}，{3,b}，{4,a}，{4,b}，共8种，

17.解：(1)根据题意，设甲射击一次，击中目标为事件A，乙射击一次，击中目标为事件B，

甲、乙各射击一次，至少击中目标一次，即事件AB+A−B+AB−，

则有P(AB+A−B+AB−)=23×34+(1−18.解：(1)若选①：由正弦定理得2sinA−sinB=2sinCcosB，则2sin(B+C)−sinB=2sinCcosB，

∴2sinBcosC+2cosBsinC−sinB=2sinCcosB，

∴2sinBcosC−sinB=0，

∵B∈(0,π)，sinB≠0，

∴cosC=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3；

选②：2csinA=atanC，

则2csinA=atanC=a⋅sinCcosC，

由正弦定理得，2sinC⋅sinA=sinA⋅sinCcosC，

即2cosC=1，cosC=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3；

若选③：△ABC的面积为12c(asinA+bsinB−csinC)，

则12absinC=12c(asinA+bsinB−csinC)，

由正弦定理得12abc=12c(a2+b2−c2)，

∴a2+b2−c2=ab，

∴cosC=a2+b2−c22ab=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=19.解：(1)①证明：

当点M与端点D重合时，由∠BAD=90°可知A′B⊥A′D，

由题意知A′E⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以A′E⊥CD，

又BC⊥CD，A′E∩BC=E，A′E⊂平面A′BC，BC⊂平面A′BC，

所以CD⊥平面A′BC，又A′B⊂平面A′BC，可知A′B⊥CD，

A′D∩CD=D，CD⊂平面A′CD，A′D⊂平面A′CD，

所以A′B⊥平面A′CD．

②

过E作EO⊥BD于点O，连接A′O．

因为A′E⊥平面BCD，BD⊂平面ABCD，所以A′E⊥BD，

因为EO⊥BD，A′E⊥BD，A′E∩EO=E，所以BD⊥平面A′OE，所以BD⊥A′O

所以∠A′OE为二面角A′−BD−C的平面角，

且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线．

因为AB=1,AD=3，由几何关系可得AO=32,EO=36

所以在Rt△A′EO中，cos∠A′OE=OEA′O=3632=13

即二面角A′−BD−C的余弦值为13．

(2)

过点E作EQ//CD交BM于Q，

所以直线EQ与平面A′BM所成的角即为直线CD与平面A′BM所成的角，

过E作EO⊥BM于点O，连接A′O．

由②同理可得BM⊥平面A′OE，BM⊂平面A′BM，

所以平面A′BM⊥平面A′OE，

作EH⊥A′O，垂足