专题09公式法、因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系之六大考点(原卷版+解析)

专题09公式法、因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系之七大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1【考点二一元二次方程的解法——公式法】 3【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】 6【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】 7【考点五一元二次方程的解法——因式分解法】 10【考点六一元二次方程根与系数的关系】 13【考点七利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 14【过关检测】 17【典型例题】【考点一根据判别式判断一元二次方程根的情况】例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A． B． C． D．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）方程根的情况是（

）A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根 D．无法判断3.（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程，下列说法正确的是（）A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解【考点二一元二次方程的解法——公式法】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【变式训练】1.（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．2.（2023春·八年级单元测试）解方程(1)；(2)．【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】例题：（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．【变式训练】1.（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．2.（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】例题：（2023·北京昌平·统考二模）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0，求的取值范围．【变式训练】1.（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．2.（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【考点五一元二次方程的解法——因式分解法】例题：（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解下列方程：(1)；(2)．【变式训练】1.（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：(1)(2)2.（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）解方程(1)；(2)3.（2022秋·九年级单元测试）解方程：(1)．(配方法)(2)．(因式分解法)(3)．(公式法)(4)．(因式分解法)【考点六一元二次方程根与系数的关系】例题：（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．3.（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．【考点七利用一元二次方程根与系数的关系求参数】例题：（2023·湖北襄阳·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求的值．【变式训练】1.（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．2.（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）方程的解是（

）A． B． C．， D．，2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个相等的实数拫根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定3．（2023·天津·统考中考真题）若是方程的两个根，则（

）A． B． C． D．4．（2023·河南信阳·校考三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（）A． B． C．0 D．5．（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有①若，则；②若方程两根为和，则；③若方程有一个根是，则．A．①②③ B．①② C．②③ D．①③二、填空题6．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）方程的根为______．7．（2023春·浙江舟山·八年级统考期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是___________．8．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则______．9．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为_______.10．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为___________三、解答题11．（2023·全国·九年级假期作业）不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)；(2)；(3)；(4)．12．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）（1）用配方法解方程：；

（2）用公式法解方程：．13．（2023秋·新疆·九年级校考期末）解方程(1)(2)14．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．15．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列一元二次方程(1)(2)16．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若已知此方程的一个根为，求m的值以及方程的另一根．17．（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．18．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．

专题09公式法、因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系之七大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1【考点二一元二次方程的解法——公式法】 3【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】 6【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】 7【考点五一元二次方程的解法——因式分解法】 10【考点六一元二次方程根与系数的关系】 13【考点七利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 14【过关检测】 17【典型例题】【考点一根据判别式判断一元二次方程根的情况】例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】A【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此对方程进行判断即可．【详解】解：由题意得，，，，原方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式确定方程根的个数问题，掌握根的判别式的意义是解题的关键．【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．【详解】解：A．，∵，，，∴，∴方程有两个相等的实数根，选项A符合题意；B．，∵，，，∴，∴方程没有实数根，选项B不符合题意；C．，∵，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；D．，∵，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则原方程有两个不相等的实数根；若，则原方程有两个相等的实数根；若，则原方程没有实数根；是解本题的关键．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）方程根的情况是（

）A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根 D．无法判断【答案】C【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【详解】解：∵，∴∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．3.（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程，下列说法正确的是（）A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解【答案】D【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可．【详解】解：A、当时，方程为，解得，故当时，方程有一个实数根，故A不符合题意；B、当时，关于的方程为一元二次方程，，当时，方程有相等的实数根，故B不符合题意，CD、当时，关于的方程为为一元二次方程，，当时，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意，D符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键．【考点二一元二次方程的解法——公式法】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】运用公式法求解即可．【详解】（1）解：，，，，，原方程的解为：，；（2）解：，，，，，原方程的解为：，．【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．【变式训练】1.（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）运用公式法求解即可；（2）运用公式法求解即可．【详解】（1）解：，，，，，，；（2）解：，，，，，，．【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．2.（2023春·八年级单元测试）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可．【详解】（1）∵，∴∴，，，∴∴方程有两个不相等的实数根即，．（2）∵，∴，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，即，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】例题：（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．【答案】【分析】分当时和当两种情况讨论求解即可．【详解】解：当，即时，此时关于的方程为，解得，方程有实数根；当，即时，此时关于的方程若有实数根，则有，解得．综上所述，当时，关于的方程有实数根．故答案为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判别式，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．【变式训练】1.（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，即，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键．2.（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有2个不相等的实数根，∴，∴且，故答案为：且，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】例题：（2023·北京昌平·统考二模）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可，（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，让其一根小于0，求出范围即可．【详解】（1）解：，，，方程总有两个实数根；（2）解：，，，方程有一根小于0，，．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．【变式训练】1.（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．【答案】(1)见解析(2)或3，当时，方程的解为；当时，方程的解为；【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可解答；（2）令判别式等于5求得或3，然后分和两种情况，分别代入方程求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：令，则，解得：或3当时，原方程可化为：∴∴；当时，原方程可化为：∴∴；综上，当时，方程的解为；当时，方程的解为．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．2.（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【答案】(1)有两个实数根，见解析(2)5【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答；（2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解．【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根理由：，∵，∴，∴这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，∴，∵该一元二次方程的两根为a，b，∴有两个相等的实数根，∴，解得，∴这个一元二次方程为，解得．∴这个矩形对角线的长是5．【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．【考点五一元二次方程的解法——因式分解法】例题：（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)，【分析】（1）移项变为一般形式后，利用因式分解求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：移项，得因式分解，得，∴，（2）因式分解，得则或解得，【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．【详解】（1）解：，，，或，或，故方程的解为．（2）解：方程中的，这个方程的根的判别式为，所以方程的解为，即．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．2.（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）解方程(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1），，，或，，．（2），，，或，，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能选择合适的方法求解方程是解题的关键．3.（2022秋·九年级单元测试）解方程：(1)．(配方法)(2)．(因式分解法)(3)．(公式法)(4)．(因式分解法)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程；（3）根据公式法解一元二次方程；（4）将看作整体，根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，∴，∴，即，∴，∴，（2）∴，∴，∴或，∴，；（3），∵，∴，∴，∴，；（4）∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【考点六一元二次方程根与系数的关系】例题：（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到，的值，即可求得．【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根∴，则原式故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．【详解】解：α，β是方程的两个实数根，可得，∴．∴的值为0．故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程的两根时，，．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．【答案】7【分析】根据题意得出a、b是关于x的方程的两个实数根，故，，把所求式子变形再整体代入可算得答案．【详解】解：∵a，b满足，，且，∴a、b是关于x的方程的两个实数根，∴，，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．3.（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．【答案】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的两根∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次工程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．【考点七利用一元二次方程根与系数的关系求参数】例题：（2023·湖北襄阳·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个不相等实数根和，∴，解得；（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根和，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用根的判别式判断即可；（2）利用根与系数的关系式得到，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出：，由得：解得：．【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，正确掌握根的判别式的三种情况及根与系数的关系式是解题的关键．2.（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；（2）根据，，代入，解方程即可得到结论．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，为正整数，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】C【分析】先将方程化为，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：方程可化为，即，∴或，∴，，故选：C．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法及其步骤是解答的关键．2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个相等的实数拫根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】B【分析】求出判别式的值，进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键．3．（2023·天津·统考中考真题）若是方程的两个根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】解：方程中的，是方程的两个根，，，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．4．（2023·河南信阳·校考三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解得，即可得到解答．【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式是：．∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得．∴的值可以是0，故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．5．（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有①若，则；②若方程两根为和，则；③若方程有一个根是，则．A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念判断即可．【详解】解：①当时，，则，故①是假命题；②程两根为和，，，故②是真命题；③方程有一个根是，，，，，故③是真命题；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念是解题的关键．二、填空题6．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）方程的根为______．【答案】，【分析】移项后，提取公因式，利用因式分解法求解可得．【详解】解：，∴，∴，则或，解得：，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．7．（2023春·浙江舟山·八年级统考期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是___________．【答案】或【分析】根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得：．故答案为：或．【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．8．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则______．【答案】【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．9．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为_______.【答案】【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．10．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为___________【答案】15【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长．【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根．∴解得：将代入得：解得：．，此时能构成三角形，的周长为：若为底，则，即方程有两个相等的实根．∴解得：将代入得：解得：．，∵∴此时不能构成三角形，不能计算周长综上可得：的周长为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．三、解答题11．（2023·全国·九年级假期作业）不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)方程有两不等实根(2)方程无实数根(3)方程有两相等实根(4)方程有两不等实根【分析】先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况．【详解】（1）解：，，，，方程有两不等实根；（2）解：，，，，方程无实数根；（3）解：，，，，方程有两相等实根；（4）解：，，，，方程有两不等实根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，，方程有两不相等的实数根，方程有两相等的实数根，，方程无实数根．12．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）（1）用配方法解方程：；

（2）用公式法解方程：．【答案】（1），（2），【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】解：（1），，，，得，解得或；（2），变形得，其中，，，，，，．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，熟知计算法则是解题的关键．13．（2023秋·新疆·九年级校考期末）解方程(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）运用因式分解法求解；（2）运用因式分解法求解．【详解】（1）解：或，（2）解：或，【点睛】本题考查一元二次方程的求解，熟悉运用因式分解是解题的关键．14．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用公