专题6函数的实际应用(原卷版+解析)

专题6函数的实际应用目录一、热点题型归纳【题型一】一次函数中的方案问题【题型二】一次函数中的最大利润问题【题型三】一次函数中的行程问题【题型四】二次函数中最大（小）利润问题【题型五】二次函数中的拱桥问题【题型六】二次函数中的投球问题【题型七】二次函数实际应用中的增长率问题二、最新模考题组练【题型一】一次函数中方案问题【典例分析】（2023·广东惠州·统考一模）因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数．(1)求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？(2)若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍．请设计一种购买方案，使所需总费用最低．【提分秘籍】基本规律分配问题就是在求函数的最值，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题日条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。【变式演练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．水果品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨水果获利/百元121610根据表格中提供的信息，解答以下问题：(1)设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；(2)如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案?(3)在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案?求出最大利润．2．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．【题型二】一次函数中最大利润问题【典例分析】同学们为校园文化艺术节活动到文具店挑选奖品，准备购买一些中性笔和笔记本，如果分别用60元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少2，已知中性笔的单价为笔记本单价的．(1)求中性笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)学校计划购买中性笔、笔记本数量总和为60，如果购买笔记本本，学校总计划费用不超过880元，并且要求中性笔数不能超过笔记本的6倍，设总费用元，那么应该如何安排购买方案才能使总费用最少，并求出费用的最小值．【提分秘籍】基本规律在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，是利用一次函数解决问题的典型题目，它的实质是将比较承数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题加以解决【变式演练】1．（2023·江苏无锡·统考一模）某新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部销售完）2．（2023·陕西渭南·统考一模）韩城地处陕西省东部黄河西岸，关中盆地东北隅，其饮食风格充满浓郁的关中风味和西北风味特点，有很多独特的美食小吃，有羊肉饴铬、羊肉胡饽、红甜面、韩城馄饨、油酥角、石子馍、武家手工面等等．某韩城特产专卖店同时购进石子馍和油酥角两种商品共300盒，其进价和售价如下表，设购进石子馍x盒，销售完这300盒商品的总利润为y元．石子馍油酥角进价（元/盒）1015售价（元/盒）2535(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，购进多少盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？【题型三】一次函数中的行程问题【典例分析】（2023·河北石家庄·统考一模）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校，交接课本后立即按原路返回．已知小明距离家的路程与离开家的时间之间的函数关系的图像如图所示．(1)求与之间的函数关系；(2)请在图中画出小明的妈妈距离家的路程与小明离开家的时间之间函数关系的图像；（备注：请对画出的图像用数据作适当的标注）(3)直接写出小明的妈妈在追赶小明及返回家的过程中，距学校时的值．【提分秘籍】基本规律一次函数应用于行程问题，常以图像的形式出现，最为主要的是，要读懂图像，看清横纵坐标所代表的数学量，及每段图像所代表的情况。【变式演练】1．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考一模）甲、乙两车分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)A，B两地的路程为km；(2)求乙车离A地的路程关于时间的函数表达式；(3)当两车相距20km时，求乙车行驶的时间．2．（2023·吉林·一模）华山古称“西岳”，为五岳之一，中华的“华”源于华山，因此华山有了“华夏之根”之称，华山南接秦岭山脉，北瞰黄渭，自古以来就有“奇险天下第一山”的说法．甲、乙两人住同一小区，该小区到华山的距离为300千米，两人先后从家出发沿同一路线驾车驶向华山，如图，线段表示甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系；线段表示乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系．点C在线段上，请根据图象解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)在整个过程中，求t为何值时，甲、乙两人之间的距离恰好为30千米．【题型四】二次函数中最大（小）利润问题【典例分析】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件．小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件．小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件．(1)若设每件涨价元，则每星期实际可卖出__________件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________，的取值范围是__________．(2)若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________．(3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？【提分秘籍】基本规律销售问题可利用二次幽数求最大利涯利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面.此类问题一般是先运用“总利润=总售价-总成本“或”总利润=每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式，求出这个函数关系式的最大值，即求得最大利润。【变式演练】1．（2023·安徽合肥·统考一模）某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高１元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变）(1)若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润元，元与x之间的函数关系式；(2)物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？2．（2023·内蒙古包头·一模）某批发市场批发甲、乙两种水果，甲种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中，，为常数），且进货量为吨时，销售利润为万元；进货量为吨时，销售利润为万元．(1)求（万元）与（吨）之间的函数关系式；(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共吨，设乙种水果的进货量为吨，销售完毕，这两种水果所获最大利润是多少？【题型五】二次函数中的拱桥问题【典例分析】根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的表达式；(2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度．【提分秘籍】基本规律这类题关键是建立一个合适的直角坐标系，一般都以对称轴为y轴，建立顶点式或者交点式，再根据题意找到已知点代入求解即可。【变式演练】1．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴）中，拱桥高度，跨度．(1)求拋物线的解析式；(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（，在抛物线上，且点在点的左边），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面上，无需使用锎材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．2．图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．【题型六】二次函数中的投球问题【典例分析】前掷实心球是陕西省某市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．小明投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处，小明某次试投时的数据如图所示．(1)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．(2)根据陕西省某市高中招生体育考试评分标准（男生），若实心球投球距离（实心球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为满分分．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．（参考数据：）【提分秘籍】基本规律(1)对于抛球问题，通常是给出球的轨迹，我们需要根据图形建立适当平面直角坐标系，求出高度y关与水平距离x的函数关系，即二次函数的解析式，则求抛球的距离y=0，解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根(2)若给出的是h与t的关系式，任给一y值h，即ax2+bx+c=h，求自变量x的值可转化为解一元二次方程。一元二次方程的根就是一次承数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h(h为实数)交点的横坐标。【变式演练】1．排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次摸拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？2．某班级一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平面上）．同学受游戏启发，将弹珠抽象为一个点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为，已知，，．(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标；(2)该同学抛出的弹珠能否投入箱子？请通过计算说明；【题型七】二次函数实际应用中的增长率问题【典例分析】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．(1)求与之间的函数关系式；(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．【提分秘籍】基本规律有关增长率问题的等量关系：（1）原产量+增产量=现在的产量；（2）增产量=原产量×增长率；（3）现在的产量=原产量x(1+增长率)。（4）若连续n个月增长率相同则有：a(1+增长率)n=b。【变式演练】1．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？2．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？1．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考二模）无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降价的百分率．(2)①从第一次降价的第1天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：时间天售价/（元/千克）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量/千克储存和损耗费用/元已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第（天）的利润为（元），求与之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．2．（2023·江苏无锡·统考一模）春夏之交正是农业用水高峰期，某地水利站有两台泵机实施调水作业．如果单开泵机，可以正好在预定时间内完成，总费用为1920元；如果单开泵机，则要比预定时间多4天，总费用为2240元．水利站经过测算，如果两台泵机同时开启3天，然后由泵机单独完成余下的调水作业，这样也能正好在预定时间内完成．(1)两台泵机平均每天费用分别是多少元？(2)水利站接到上级部门要求提前3天完成调水作业，请问如何安排两台泵机作业才能完成任务？花费最少是多少元？（注：不足一天按照一天计算费用．）3．（2023·江苏苏州·统考一模）某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价（元）与日销售量（件）之间的关系如下：x（元）152030…y（件）252010…已知日销售量是售价的一次函数．(1)求与的函数表达式；(2)当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？4．（2023·江苏苏州·校联考一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．(1)求、两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．5．（2023·江苏南通·模拟预测）某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆的地方，图中的折线表示与x之间的函数关系，折线表示与x之间的函数关系．（1）宾馆与火车站相距________，第二批旅客的步行速度是_______；（2）解释图中点B的实际意义；（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少，才能保证不晚于10点到达？6．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．(1)该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？(2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值．7．（2023·江苏扬州·校考一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格(元/千克)日销售量(千克)(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)农经公司每销售千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为元，求的值．(日获利等于日销售利润减日支出费用)8．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）某水果批发超市以每千克50元的价格购进一批车厘子，规定每千克车厘子的售价不低于进价又不高于90元，经市场调查发现，车原子的日销售量y（千克）与每千克价x（元）满足一次函数的关系，其部分对应数据如下表所示；每千克售价x/元…6070…日销售量y/千克…10080…(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)当每千克车厘子的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？9．（2023·江苏无锡·一模）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？10．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，有一块矩形硬纸板，长，宽，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．(1)当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为?(2)所得长方体盒子的侧面积是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．11．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙，中间隔有一道篱笆的矩形菜园，墙长为．设垂直于墙的边长为，菜园的面积为．(1)求与的函数解析式；(2)当为何值时，菜园的面积为；(3)能围成面积比更大的菜园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．12．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．(1)求关于的函数表达式；(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．13．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地竖直高度为．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；(3)当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．14．（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考开学考试）如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为18米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值；(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？专题6函数的实际应用目录一、热点题型归纳【题型一】一次函数中的方案问题【题型二】一次函数中的最大利润问题【题型三】一次函数中的行程问题【题型四】二次函数中最大（小）利润问题【题型五】二次函数中的拱桥问题【题型六】二次函数中的投球问题【题型七】二次函数实际应用中的增长率问题二、最新模考题组练【题型一】一次函数中方案问题【典例分析】（2023·广东惠州·统考一模）因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数．(1)求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？(2)若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍．请设计一种购买方案，使所需总费用最低．【答案】(1)成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元；(2)购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低【分析】（1）设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为元，根据用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数列出方程，解方程并检验即可得到答案；（2）设购买a包成人医用口罩，购买包儿童医用口罩，所需总费用为w元，列出总费用的一次函数表达式，求出a的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）解：设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为元，根据题意，得解得：经检验，是原分式方程的解且符合题意．

，答：成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元．（2）设购买a包成人医用口罩，购买包儿童医用口罩，所需总费用为w元，依题意，得，，，∵，∴当时，w有最小值，此时，答：购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低．【点睛】此题考查了分式方程和一次函数的应用，读懂题意，正确列出方程和函数表达式是解题的关键．【提分秘籍】基本规律分配问题就是在求函数的最值，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题日条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。【变式演练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．水果品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨水果获利/百元121610根据表格中提供的信息，解答以下问题：(1)设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；(2)如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案?(3)在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案?求出最大利润．【答案】(1)(2)见解析(3)选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元【分析】（1）等量关系为：车辆数之和，由此可得出与的关系式；（2）利用装运每种水果的车辆数都不少于4辆可列三个不等式，然后解不等式组，再写出整数的值即可得到方案；（3）根据总利润为：装运A种水果的车辆数装运B种水果的车辆数装运C种水果的车辆数得，由，可知随x的增大而减小，进而可知当时，最大，即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意，得．∴．（2）解得．∵为整数，∴可取整数为4，5，6，7，8．共有五种方案如下：方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果；方案二：5辆车装运A种水果，10辆车装运B种水果，5辆车装运C种水果；方案三：6辆车装运A种水果，8辆车装运B种水果，6辆车装运C种水果；方案四：7辆车装运A种水果，6辆车装运B种水果，7辆车装运C种水果；方案五：8辆车装运A种水果，4辆车装运B种水果，8辆车装运C种水果．（3）设获利为元．．∵，∴随x的增大而减小．∴时，最大．．∴选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元．【点睛】本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．2．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨(2)最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，根据题意累出二元一次方程组，解方程组即可作答；（2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，根据题意列不等式组求解，设总共费用为w，根据题意表示出费用，根据一次函数的性质分析，随着a的增大而增大，问题随之得解．【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，，解得．即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨；（2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，根据题意有：，且为正整数，解得，且为正整数，设总共费用为w，根据题意有：，∵，∴总共费用w，随着a的增大而增大，∴当时，最小，且最小为：（元），此时最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆．【点睛】本题考查一元一次不等式组，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型二】一次函数中最大利润问题【典例分析】同学们为校园文化艺术节活动到文具店挑选奖品，准备购买一些中性笔和笔记本，如果分别用60元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少2，已知中性笔的单价为笔记本单价的．(1)求中性笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)学校计划购买中性笔、笔记本数量总和为60，如果购买笔记本本，学校总计划费用不超过880元，并且要求中性笔数不能超过笔记本的6倍，设总费用元，那么应该如何安排购买方案才能使总费用最少，并求出费用的最小值．【答案】(1)中性笔、笔记本的单价分别为12元和20元；(2)购买笔记本9本，中性笔支，此时费用最小，为792元．【分析】（1）设笔记本单价为x元，则中性笔的单价为元，由用60元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少2，即可列出关于x的分式方程，解出x的值，进而即可求解；（2）由题意得列出与m的函数关系式和关于m的一元一次不等式组，解出m的解集，再结合一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设笔记本单价为x元，则中性笔的单价为元，由题意得：，解得：，经检验是原方程的解，∴中性笔的单价为元．答：中性笔、笔记本的单价分别为12元和20元；（2）解：∵购买中性笔、笔记本数量总和为60，购买笔记本本，∴购买中性笔支．由题意得：．∵学校总计划费用不超过880元，中性笔数不能超过笔记本的6倍，∴，解得：．∵，∴W随m的增大而增大．∵，且为整数，∴当时，最小，，∴购买笔记本9本，中性笔支，此时费用最小，为792元．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．【提分秘籍】基本规律在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，是利用一次函数解决问题的典型题目，它的实质是将比较承数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题加以解决【变式演练】1．（2023·江苏无锡·统考一模）某新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部销售完）【答案】(1)甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；(2)甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．【分析】（1）设乙种图书进价每本元，则甲种图书进价为每本元，由题意：用1680元购进甲种图书数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；（2）设书店甲种图书进货本，总利润元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出，再由新华书店决定用不多于28000元购进两种图书共1200本进行销售，列出的一元一次不等式，解得，再由一次函数的性质求出最大利润即可．【详解】（1）解：设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本元由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，甲种图书进价为每本元．答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；（2）设甲种图书进货a本，总利润元，由题意得：，解得：，∵，随a的增大而增大，∴当a最大时w最大，∴当本时，w最大（元），此时，乙种图书进货本数为（本）．答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．2．（2023·陕西渭南·统考一模）韩城地处陕西省东部黄河西岸，关中盆地东北隅，其饮食风格充满浓郁的关中风味和西北风味特点，有很多独特的美食小吃，有羊肉饴铬、羊肉胡饽、红甜面、韩城馄饨、油酥角、石子馍、武家手工面等等．某韩城特产专卖店同时购进石子馍和油酥角两种商品共300盒，其进价和售价如下表，设购进石子馍x盒，销售完这300盒商品的总利润为y元．石子馍油酥角进价（元/盒）1015售价（元/盒）2535(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，购进多少盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？【答案】(1)(2)购进100盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润，最大利润是5500元【分析】（1）总利润为销售石子馍和油酥角的利润的和，分别表示出石子馍和油酥角的利润，即可得到总利润；（2）先根据条件求出自变量x的取值范围，再根据函数的增减性求得y的最大值，即利润的最大值．【详解】（1）根据题意，，∴y与x之间的函数关系式为．（2）∵最多投入4000元购进两种商品，∴，

解得：，

由（1）可知，∵，∴y随x的增大而减小，

∴当时，，∴购进100盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润，最大利润是5500元．【点睛】本题主要考查列函数关系式，根据函数的性质求最值问题．解题的关键是熟练运用函数的性质．【题型三】一次函数中的行程问题【典例分析】（2023·河北石家庄·统考一模）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校，交接课本后立即按原路返回．已知小明距离家的路程与离开家的时间之间的函数关系的图像如图所示．(1)求与之间的函数关系；(2)请在图中画出小明的妈妈距离家的路程与小明离开家的时间之间函数关系的图像；（备注：请对画出的图像用数据作适当的标注）(3)直接写出小明的妈妈在追赶小明及返回家的过程中，距学校时的值．【答案】(1)(2)见解析(3)，【分析】（1）由图像可知，，设，把点的坐标代入关系式求得即可；（2）由小明出发后小明妈妈才出发，所以图象的起点在处，同时到达学校即到达点，再原路返回即离家距离为0；（3）根据速度路程除以时间，求得小明妈妈来回学校的速度，再由时间路程除以速度求解即可．【详解】（1）解：与之间的函数关系的图像是线段，且，设，又，则有：，解得：，．（2）解：如图1中折线段．（3）解：由（2）可知，家与学校的距离为，小明妈妈来回学校的时间为，小明妈妈的速度为，小明的妈妈在追赶小明，距学校时：，小明的妈妈在返回家，距学校时；．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，画函数图象，正确理解题意是解题的关键．【提分秘籍】基本规律一次函数应用于行程问题，常以图像的形式出现，最为主要的是，要读懂图像，看清横纵坐标所代表的数学量，及每段图像所代表的情况。【变式演练】1．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考一模）甲、乙两车分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)A，B两地的路程为km；(2)求乙车离A地的路程关于时间的函数表达式；(3)当两车相距20km时，求乙车行驶的时间．【答案】(1)40(2)(3)或或【分析】（1）根据函数图象中的数据即可求解．（2）根据图中数据，用待定系数法求出函数解析式即可．（3）当两车相距20km时，根据题意可知存在三种情况分别计算即可．【详解】（1）解：由题图可知A，B两地的路程为40千米．故答案为：40．（2）解：设乙车离A地的路程关于时间的函数表达式是，则解得∴乙车离A地的路程关于时间的函数表达式是．（3）解：设甲车离A地的路程关于时间的函数表达式是，把点代入，则，解得，∴甲车离A地的路程关于时间的函数表达式是．相遇之前两车相距20km，则，解得；相遇之后且甲车到达C地之前两车相距20km，则，解得；相遇之后甲车到达C地之后两车相距20km，则，解得；综上可知，当两车相距20km时，乙车行驶的时间为或或．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用待定系数法求出一次函数解析式．注意数形结合思想和分类讨论思想的运用．2．（2023·吉林·一模）华山古称“西岳”，为五岳之一，中华的“华”源于华山，因此华山有了“华夏之根”之称，华山南接秦岭山脉，北瞰黄渭，自古以来就有“奇险天下第一山”的说法．甲、乙两人住同一小区，该小区到华山的距离为300千米，两人先后从家出发沿同一路线驾车驶向华山，如图，线段表示甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系；线段表示乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系．点C在线段上，请根据图象解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)在整个过程中，求t为何值时，甲、乙两人之间的距离恰好为30千米．【答案】(1)(2)或3或【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，再求直线与x轴的交点坐标即可；（2）利用待定系数法求出直线的解析式，再分，两个时段，分别计算即可．【详解】（1）解：设乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系为，，在其图象上，，解得，，当时，，解得，点B的坐标为；（2）解：设甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系，在其图象上，，解得，．当时，甲离开家的距离，乙还未离开家，两人之间距离为，当甲、乙两人之间的距离恰好为30千米时，，解得；当时，甲离开家的距离，乙离开家的距离，当甲、乙两人之间的距离恰好为30千米时，或，解得或；综上可得，t为或3或时，甲、乙两人之间的距离恰好为30千米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，正确求出函数解析式，注意分段讨论是解题的关键．【题型四】二次函数中最大（小）利润问题【典例分析】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件．小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件．小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件．(1)若设每件涨价元，则每星期实际可卖出__________件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________，的取值范围是__________．(2)若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________．(3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)，，，且为整数(2)(3)商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元【分析】（1）根据每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件，由此即可求解；（2）根据每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件，由此即可求解；（3）根据（1）中数量关系，将变形为顶点式，即可求解．【详解】（1）解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每涨价元，每星期比销售量件要少卖出件，设每件涨价元，∴现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，∴，即，∵，则，∴，且为整数，故答案为：，，，且为整数．（2）解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每降价元，每星期比销售量件要多卖出件，设每件降价元，∴现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，∴，即，故答案为：．（3）解：由（1）可知，，（为整数），∴，∴当时，商品的利润最大，最大利润，∴商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元．【点睛】本题主要考查二次函数与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，列方程解方程是解题的关键．【提分秘籍】基本规律销售问题可利用二次幽数求最大利涯利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面.此类问题一般是先运用“总利润=总售价-总成本“或”总利润=每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式，求出这个函数关系式的最大值，即求得最大利润。【变式演练】1．（2023·安徽合肥·统考一模）某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高１元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变）(1)若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润元，元与x之间的函数关系式；(2)物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？【答案】(1)，(2)套餐提高4元时，这两种套餐每天利润之和最大【分析】（1）由题意可知，每份套餐价格提高了元，套餐每天卖出份，套餐每天卖出份，根据利润每份利润份数即可求得函数关系式；（2）设套餐每份提高了元，则套餐每份提高了，结合两个函数关系可得两种套餐每天利润之和，即可求得结果．【详解】（1）解：由题意可得：套餐每份提高了x元，则每天卖出份，套餐每份提高了x元，则每天卖出份，则：套餐每天的总利润，套餐每天的总利润；（2）设套餐每份提高了元，则套餐每份提高了，∴，则两种套餐每天利润之和为：，即：，∴当时，有最大值，即：套餐提高4元时，这两种套餐每天利润之和最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，设出未知数，根据题意列出等式，找到量之间的关系是解题关键．2．（2023·内蒙古包头·一模）某批发市场批发甲、乙两种水果，甲种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中，，为常数），且进货量为吨时，销售利润为万元；进货量为吨时，销售利润为万元．(1)求（万元）与（吨）之间的函数关系式；(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共吨，设乙种水果的进货量为吨，销售完毕，这两种水果所获最大利润是多少？【答案】(1)(2)7.5万元【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）已知，化为顶点式即可求出的最大值．【详解】（1）由题意，得：，解得，．（2），，，时，有最大值为，吨．答：甲、乙两种水果的进货量分别为5吨和5吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是7.5万元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．【题型五】二次函数中的拱桥问题【典例分析】根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的表达式；(2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度．【答案】(1)(2)桥拱下水面的宽度为【分析】（1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点的坐标，然后代入求解即可；（2）根据水面高度先求出点的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长．【详解】（1）解：由题意得，点的坐标为，点的坐标为．设抛物线的表达式为．把代入，得，解得．该抛物线的表达式为．（2）点的坐标为．．由题意得．．由题意得，解得，．点的坐标为，点的坐标为．．答：桥拱下水面的宽度为．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系并得到对应的坐标，利用待定系数法求解是解决本题的关键，渗透了数学学科模型观念、应用意识的核心素养．【提分秘籍】基本规律这类题关键是建立一个合适的直角坐标系，一般都以对称轴为y轴，建立顶点式或者交点式，再根据题意找到已知点代入求解即可。【变式演练】1．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴）中，拱桥高度，跨度．(1)求拋物线的解析式；(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（，在抛物线上，且点在点的左边），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面上，无需使用锎材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．【答案】(1)(2)4m【分析】（1）先根据题意得到A、B、C的坐标，然后把解析式设为交点式，再根据待定系数法求解即可；（2）设点E的坐标为，则点H的坐标为，然后用含m的式子表示出，再根据搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为建立方程求出m的值即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，∴可设抛物线解析式为，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：设点E的坐标为，则点H的坐标为，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∵搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为，∴，∴，解得或（舍去），∴，又∵，∴，∴“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离为．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出抛物线解析式是解题的关键．2．图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．【答案】(1)(2)现在的悬挂方式是安全的，理由见解析【分析】（1）根据题意得：顶点的坐标为，可设抛物线的表达式为：，再把代入，即可求解；（2）根据题意可得最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离，从而得到它的横坐标为，再代入（1）中解析式，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：顶点的坐标为，令抛物线的表达式为：，将点代入得：，解得：，（2）解：由题意得：最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离为：，所以它的横坐标为，当时，．因为，所以现在的悬挂方式是安全的．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．【题型六】二次函数中的投球问题【典例分析】前掷实心球是陕西省某市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．小明投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处，小明某次试投时的数据如图所示．(1)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．(2)根据陕西省某市高中招生体育考试评分标准（男生），若实心球投球距离（实心球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为满分分．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．（参考数据：）【答案】(1)(2)能达到满分，计算见解答【分析】（1）设该抛物线的表达式为，由抛物线过点得到．求出的值，即可得出结论；（2）根据题意令y=0，解方程即可得到结论．【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，设该抛物线的表达式为，∵抛物线过点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为；（2）当时，得：，解得：，（点在轴正半轴，故舍去），∴，∴，∴小明此次试投的成绩达到满分．【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．【提分秘籍】基本规律(1)对于抛球问题，通常是给出球的轨迹，我们需要根据图形建立适当平面直角坐标系，求出高度y关与水平距离x的函数关系，即二次函数的解析式，则求抛球的距离y=0，解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根(2)若给出的是h与t的关系式，任给一y值h，即ax2+bx+c=h，求自变量x的值可转化为解一元二次方程。一元二次方程的根就是一次承数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h(h为实数)交点的横坐标。【变式演练】1．排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次摸拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？【答案】(1)；(2)最大高度未达到要求，理由见解析；(3)米．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式；（2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案；（3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案．【详解】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，，解得：，抛物线的函数表达式为：（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：由（1）得，抛物线的函数表达式为，，抛物线的顶点坐标为，处离地面的距离为1米，球在运动中离地面的最大高度为，最大高度未达到要求；（3）解：由（1）可知，，抛物线表达式为，对称轴为直线，顶点坐标为，球在运动中离地面的最大高度达到要求，，或，对称轴在x轴负半轴，，，点的横坐标为，，当时，有最小值，最小值为，点离地面的高度至少为米．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．2．某班级一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平面上）．同学受游戏启发，将弹珠抽象为一个点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为，已知，，．(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标；(2)该同学抛出的弹珠能否投入箱子？请通过计算说明；【答案】(1)；(2)能投入箱子，理由见解析【分析】（1）把点，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得点点坐标，即可求解；（2）根据题意求出点，，再由当时，可得，即可判断球的落点．【详解】（1）解：由抛物线可知，当时，，又当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为，由图可知另一点坐标为，把点，代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∵，∴顶点坐标为；（2）解：∵，∴，∵，∴，即点，∵，，∴，∴点，，当时，，解得：，∵，∴该同学抛出的弹珠能投入箱子；【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【题型七】二次函数实际应用中的增长率问题【典例分析】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．(1)求与之间的函数关系式；(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）∴依题意得：，∴与之间的函数关系式为；（2）依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴每次降价的百分率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【提分秘籍】基本规律有关增长率问题的等量关系：（1）原产量+增产量=现在的产量；（2）增产量=原产量×增长率；（3）现在的产量=原产量x(1+增长率)。（4）若连续n个月增长率相同则有：a(1+增长率)n=b。【变式演练】1．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，由题意得：，解得：x=0.2或x=-2.2（舍），答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，由题意得：，∵a=-50，抛物线开口向下，∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．2．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解；(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案.【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据题意得：，解得:，（舍去）.答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元.根据题意，得:，解得:，，∵，∴随a的增大而减小.∵a为整数，∴当时，最小，最小值为（万元）.此时，.答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.1．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考二模）无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降价的百分率．(2)①从第一次降价的第1天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：时间天售价/（元/千克）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量/千克储存和损耗费用/元已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第（天）的利润为（元），求与之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．【答案】(1)(2)①；第10天利润最大，最大利润为960元；②共6天【分析】（1）设水蜜桃每次降价的百分率为，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值即得出答案；（2）①根据利润=（标价-进价）×销量-储存和损耗费，即可得（元），进而可求出与之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可；②依题意可列出关于x的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图象法解一元二次不等式，分别求出x的解集，即可得出答案．【详解】（1）解：设水蜜桃每次降价的百分率为，依题意得，，解得：（舍）．∴水蜜桃每次降价的百分率为；（2）解：①结合（1）得：第一次降价后的价格为元，∴当时，．∵，∴随着的增大而减小，∴当元时，利润最大为元；当，，∵，∴当时，利润最大为960元．∵，∴第10天利润最大，最大利润为960元．综上可知，；第10天利润最大，最大利润为960元；②当时，，解得：，∴此时为2天利润不低于930元；当时，，根据图象法可解得：，∴∴此时为天利润不低于930元．综上可知共有天利润不低于930元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题关键．2．（2023·江苏无锡·统考一模）春夏之交正是农业用水高峰期，某地水利站有两台泵机实施调水作业．如果单开泵机，可以正好在预定时间内完成，总费用为1920元；如果单开泵机，则要比预定时间多4天，总费用为2240元．水利站经过测算，如果两台泵机同时开启3天，然后由泵机单独完成余下的调水作业，这样也能正好在预定时间内完成．(1)两台泵机平均每天费用分别是多少元？(2)水利站接到上级部门要求提前3天完成调水作业，请问如何安排两台泵机作业才能完成任务？花费最少是多少元？（注：不足一天按照一天计算费用．）【答案】(1)泵机平均每天费用是160元，泵机平均每天费用是140元(2)泵机工作9天，泵机工作4天，总费用为最少为2000元【分析】（1）设预定完成工作任务的时间为天，则单开泵机需要天完成，单开泵机需要天完成，由题意列分式方程并求解，即可获得答案；（2）设泵机工作天，泵机工作天（其中，）总费用为元，由题意可得，，整理可得，结合一次函数的性质即可获得答案．【详解】（1）解：设预定完成工作任务的时间为天，则单开泵机需要天完成，单开泵机需要天完成，由题意可得，解得，经检验，是原分式方程的解，所以，泵机平均每天费用是元，泵机平均每天费用是元；（2）设泵机工作天，泵机工作天（其中，）总费用为元，由题意可得，，∵，∴，∴，∵，∴随的增大而减小，∴当时，有最小值，最小值为元，此时天，∴泵机工作9天，泵机工作4天，总费用为最少为2000元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解题关键．3．（2023·江苏苏州·统考一模）某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价（元）与日销售量（件）之间的关系如下：x（元）152030…y（件）252010…已知日销售量是售价的一次函数．(1)求与的函数表达式；(2)当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当销售价为元时，每日的销售利润最大，最大利润是元【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设每日的销售利润为W，根据利润（售价成本价）数量，列出W关于x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设与的函数表达式为，由题意得，，∴，∴与的函数表达式为；（2）解：设每日的销售利润为W，由题意得，，∵，∴当时，W最大，最大为，∴当销售价为元时，每日的销售利润最大，最大利润是元．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键．4．（2023·江苏苏州·校联考一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．(1)求、两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．【答案】(1)种笔记本每本12元，种笔记本每本15元(2)20【分析】（1）设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，计算可得的值，进而可得的值；（2）设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，可得，设获得的利润为元，由题意得，，由一次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为，令，求解满足要求的解即可．【详解】（1）解：设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，解得，，∴，∴种笔记本每本12元，种笔记本每本15元；（2）解：设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，解得，，∴，设获得的利润为元，由题意得，，，随的增大而减小，当时，的值最大，最大值为，由题意得，解得，，为正整数，的最小值为20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．5．（2023·江苏南通·模拟预测）某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆的地方，图中的折线表示与x之间的函数关系，折线表示与x之间的函数关系．（1）宾馆与火车站相距________，第二批旅客的步行速度是_______；（2）解释图中点B的实际意义；（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少，才能保证不晚于10点到达？【答案】（1）20，5；（2）汽车从宾馆出发后到达距离旅店处与第二批旅客相遇；（3）不能，至少提速【分析】（1）根据图象，结合题意解答即可；（2）根据图象，结合题意解答即可；（3）根据题意求出汽车的速度，进而判断第二批旅客能否在上午10点前到达火车站，再根据“路程÷时间=速度”可得汽车的提速．【详解】解：（1）根据题意可知宾馆与火车站相距20km，第二批旅客的步行速度是：4÷0.8=5（km/h），故答案为：20；5；（2）图中点B的实际意义为：汽车从宾馆出发后到再次到达距旅店4km处与第二批旅客相遇；（3）汽车原来的速度为：45（km/h），∵＞0.2，∴第二批旅客不能在上午10点前到达火车站，=80（km/h），80-45=35（km/h），∴至少提速35km/h．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．(1)该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？(2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值．【答案】(1)为了让利于顾客，将销售单价应定为15元；(2)此时的最大值为2160元．【分析】（1）根据题意列出W关于x的函数关系式，再令，可得：，解方程即可求解；（2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着的增大而减小，问题随之得解．【详解】（1）根据题意，有：，化简，得：，根据，解得：，即函数关系为：，