立体几何体积问题八大题型-2025年高考数学重难点题型突破（解析版）

重难点专题34立体几何体积问题八大题型汇总

gBnii

题型1公式法........................................................................1

题型2等体积转化法................................................................12

题型3割补法.......................................................................22

题型4体积比问题..................................................................30

题型5体积中的动点问题............................................................38

题型6体积中的最值取值范围........................................................49

题型7向量法求体积................................................................62

题型8外接球问题..................................................................73

题型1公式法

【例题1](2023秋•山西太原•高三山西大附中校考阶段练习胀方形力BCD中,AB=2AD=

2V2，点E为CD中点(如图1)，将点。绕力E旋转至点P处，使平面P2E，平面A8CE(如图2).

(1)求证：PALPB；

(2)点F在线段P8上,当二面角F-AE-P大小为用寸，求四棱锥尸-4BCE的体积.

【答案】(1)证明见详解

'(2,)3-

【分析】(1)由已知条件，先证明BE1AE,再利用平面P4E，平面4BCE,可证BE，平面

PAE，彳导至!JP41BE,又P21PE,可得P4，平面P8E,从而可证PA1PB；

(2)由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求出平面R4E和平面P4E的法向量，进而求

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出F点坐标，确定F点位置，求出四棱锥尸-&BCE的体积.

【详解】（1）证明：在长方形48C。中，AB=2AD=2/,E为CD中点，

•••AE—BE=2,

・•.AE±BE,

•••平面产/E_L平面,平面PZEC平面=AE,

BEu平面力BCE,

・平面u平面尸

••BE1PAEzAPZE,

・•・BE1PA,又「4LPE,BEu平面PBE,PEu平面PBE,

PEnBE=E,

・••PA1平面PBE,PBu平面PBE,

如图，取力E的中点。，AB的中点G,连接。P,OG,

由题意可得。P,0G,。4两两互相垂直，

以。为坐标原点，以。力，0G,0P分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则4(1,0,0),£(-1,0,0),5(-1,2,0),P(0,0,l),

设方=XPB,则P(-=24,1-2),

设平面F4E的一/T*法向量为记=(%,y,z),

niifm-AE-0.(~2x-0

Im-AF=0/1(—4—l)x+22y+(1—A)z=0'

令、=1，得2=三，

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二沅=（。，1，念），

又BE，平面P2E一••元=丽=（0,2,0）是平面P4E的一个法向量，二cos（m,n）=看白=

2

2X'

7A2-2A+I

令।2=v,解得4=?或4=-1（舍）.

2X1+_^23

\2A+1

即F为PB的靠近P的三等分点时，二面角F-AE-P的平面角为？，

4

•••PO1平面2BCE,S.PO=1,

•••F到平面力BCE的距离为|,又四边形4BCE的面积为3,

•••四棱锥F-48CE的体积4TBCE=衿BCE-/i=|X3x|=J

【变式1-1]1.（2023秋•四川成都・高三统考阶段练习）如图,在圆锥。。中，。为圆锥顶

点，48为圆锥底面的直径，。为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形为矩形，

且AC=1,BC=G

⑴若建为BC的中点,求证：DF||平面4CE；

⑵若C。与底面ABC所成角为45。，求多面体4CBDE的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵在

',4

【分析】（1）解法一：连接DF、OF，结合条件得到OF||AC,OD||AE，从而得到平面IIODF

平面ACE,再根据面面平行的性质得到。尸〃平面2CE；

解法二：取4C中点G，连接DF和GF，结合条件得到DE||FG,DE=FG，从而得到。尸IIEG,

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即可证明DFII平面4CE；

(2)过点。做。时128交48于点M,且连接0C,根据。。1平面2BC得至U平面。ADE1平面

ABC,再由面面垂直的性质得到CM，平面04DE,从而得出CM为四棱锥C-ABDE的高，即

可求解.

【详解】(1)解法一:连接DF、OF,如图：

在AABC中，。、F分别为48、BC的中点，所以。FIIAC,

因为"u平面ACE,OFC平面ACE,所以。尸II平面4CE,

在矩形"1ED中，0D||AE,

AEu平面2CE,0D仁平面4CE,所以。DII平面ACE,

又。FCOD=0,OF,ODu平面。DF,

所以平面。。尸II平面4CE,

因为DFu平面。DF,所以DF||平面4CE.

解法二：取2C中点G,连接。尸和GF,如图：

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在仆ABC中,G、F分另II为4C和BC的中点,所以GF||AB,FG,

又在矩形CME。中，DE||AB,DEOA,

又。是在中点，所以DE=\AB,

则OE||FG,DE=FG,所以四边形DEGF是平行四边形,即OF||EG,

又DF仁平面4CE,EGu平面ACE,所以OF||平面"E.

(2)过点C做CM148交AB于点M,且连接OC,如图：

由题意知：0D，平面ABC,OCu平面4BC,所以。。1OC,

贝!JC。与底面4BC所成角为NDC。,BPZOCO=45°,

又C是圆。上的点，所以ac1BC,

因为AC=1,5C=V3,所以48=2,Z.BAC=60°,即D。=CO=1,

又。。u平面。4DE,所以平面。2DE，平面4BC,

平面。4DEC平面ABC=AB,CMLAB,CMu平面4BC,

所以CM1平面。4DE,即CM为四棱锥C-ABDE的高，

且CM=AC-sin^BAC=y,

又四边形4BDE的面积S=[xOBx。。+。4x。。=，

所以多面体4CBDE的体积为VCYBDE=衿CM=；x|xf=当

3oZZ4

【变式1-1]2.(2022秋・安徽合肥・高三合肥一中校考阶段练习)如图所示，在四棱锥P-

4BCD中,△PBC为等腰直角三角形/CPB=90。,平面PBC_L平面ABCDAD//BC,CD1AD,

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BC=CD=2AD=4.

(1)求证：平面PAB_L平面PCD；

⑵若点E为PB的中点，F为CD的中点，点M为AB上一点,当EM1BF时，求三棱锥

E-BFM的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵T

【分析】(1)根据面面垂直的性质可得CO1平面PBC,再根据线面垂直的性质与判定定理

可得PB1平面PCD,最后根据面面垂直的判定定理，即可证明；

(2)根据三垂线定理，解三角形知识，即可求解.

【详解】(1)证明：・平面PBC1平面48CD,

又CD1AD,AD//BC,所以CD1BC,

又平面PBCn平面48CD=BC,CDu平面4BCD

CDJ_平面PBC,又PBu平面PBC,

PB1CD,又乙CPB=90°,

PB1PC,S.CDnPC=C,CD,PCu平面PCD,

.­.PB1平面PCD,又PBu平面PAB,

••・平面P4B1平面PCD；

(2)取BC中点G,连接PG,

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已知△PBC为等腰直角三角形，二PGLBC,

又平面PBC1平面ABCD,平面PBCC平面ABC。=BC,PGu平面PBC

•••PG1平面4BCD,

过E作EH〃PG

则EH1平面力BCD,.­.EM在平面4BCD内的射影为HM,

又EM1BF,根据三垂线定理易得HM1BF,

设HMCBF=N,作出平面图形，如图所示，

贝[]MN=NB•tan/NBM=（HB-cos/HBN）•tan（N力BC-乙HBN）=1x^x

tanzABC-taMHBJV=2_xH=

1+tanz.ABCtanz.HBNV51+12^5'

•••SABFM=涉•MN="2有X亲=]

又EH—PG=-x-BC=1,

222,

••・三棱锥E-8FM的体积为[SABFM•EH=（XIX1=也

【变式1-U3.（2023•全国•高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABC。与

48EF均为直角梯形,AD//BC,AF//BE,D7115F®ABEF,AB1AF,ADAB=2BC=

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2BE=2.

⑴已知点G为AF上一点,且4G=2,求证：BG与平面DCE不平行;

⑵已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为个,求AF的长及四棱锥D-ABEF的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)AF的长为4;VD.ABEF=?.

【分析】(1)证明出4B,2D,力尸两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面

DCE的法向量，计算出五•泰大。，证明出BG与平面DCE不平行；

(2)由BF与平面DCE所成角的正弦值计算出AF的长，从而求出梯形ABEF的面积，计

算出四棱锥的体积.

【详解】(1)证明：因为，平面ABEF,AB,XF<=平面ABEF,

所以1AB,DA1AF,

又4B1AF,

以4为坐标原点，4F,4分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系，

贝仲(0,2,0)、£(1,2,0).”0,2,1)、0(0,0,2)、G(2,0,0),

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所以近=(-1,0,1),ED=(-1,-2,2),BG=(2,-2,0),

设平面DCE的法向量为元=(%,y,z),贝！][LEC=一；+z：°

(ri-ED=—%—2y+2z=0

令x=2,则z=2,y=1,所以元=(2,1,2),

因为元■BG=2x2+1x(—2)=2羊0,且不存在4使得8G与元垂直，

所以BG与平面DCE不平行；

(2)设2F=a(a>0且a羊1),则F(a,0,0),所以加=(a,-2,0),

1•直线BF与平面DCE所成角的正弦值为g,

.或=\cndRF制=।歌园=旧2,0>(2,1,2)|=|2a-21

.飞।、，〃\BF\-\n\Va2+4xV4+l+4Va2+4x31

化简得Ila?—40a—16=0,解得a=4或a=-高(舍去)；故AF=4.

此时梯形ABEF的面积S=|x(l+4)x2=5,故%TBEF=甜•5.

【变式1-U4.(2023秋•海南省直辖县级单位•高三校考阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD

中，底面4BCD是边长为1的正方形，。是4BCD的中心,PO1底面ABC。，E是PC的中点.

(1)求证：。411平面3。£1；

(2)若。P=2,求三棱锥E-BCD的体积.

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【答案】(1)证明见详解

【分析】(1)连接。E,由三角形中位线定理可得0E//P4,再由直线与平面的判定定理可判

定P4〃平面BDE；(2)取0c中点F,连接EF,可得EF//P0,且EF==1,易得EF1平

面4BCD,再由棱锥体积公式得解.

【详解】(1)证明:连接0E,■。*分别是AC,PC的中点，:.0E//PA,

又。Eu平面BDE,PAC平面BDE,

•••P4〃平面

(2)取0C中点F,连接EF,

E是PC的中点，

•••EF为公P0C的中彳立线,贝(JEF//P。,S.EF=^P0=1,

又P。1平面48CD,EF1平面4BCD,

111

：•Vp—BCD==乂=乂1=:

七队〃326

所以三棱锥E-8。。的体积为"

O

【变式2023•全国•高三专题练习汉口图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，平面P401

底面ABC。，E,尸分另U是,PC的中点,AB=6,DP=APS,^BAD=60°.

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(1)求证：£77/平面PA。；

⑵求证：ACLPE；

(3)求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)24A/3

【分析】(1)利用直线与平面平行的判定定理直接证明；

(2)利用直线与平面垂直证明直线与直线垂直；

(3)求出四棱锥的高与底面积，从而利用体积公式求出体积.

【详解】(1)证明：取PD中点G,连接力G,FG,因为F,G分别是PC,PD的中点，所以FG||

1

CDfFG=-CD,

又因为底面ABCD是菱形,E是AB的中点,所以AEIICD.AE=，

所以FG||AE.FG=AE,所以四边形4EFG是平彳亍四边形,所以EF||4G,

又EFC平面PAD,AGu平面P4D,所以EF//平面PAD.

(2)证明：取4。中点。，连接P0,0E,8D,

因为DP=AP,。为4。中点，所以P。1AD,

又因为平面24。1底面力BCD,平面PADC底面4BCD=AD,POu平面24。,

所以P。1底面力BCD,又ACu底面4BCD,所以P。1AC,

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p

因为底面ABC。是菱形，所以BD1AC,

又因为0,E分别是的中点,所以。EIIBD,所以。E1AC,

又因为。EClP。=。,OE,POu平面POE,所以2C1平面POE,

又因为PEu平面POE,所以4C1PE.

（3）解：由（2）知P。L&ABCD,所以P。是四棱锥P-ABC。的高，

因为DP=AP=5,AB=6,。为2。中点，所以P。=4,

因为底面ABCD是菱形,/.BAD=60°,XB=6,所以“CD=AB-ADsinz.BAD=18V3,

所以四棱锥P-4BCD的体积U=lsABCD-PO=24Vl.

题型2等体积转化法

【例题2］（2021•黑龙江大庆・大庆中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面

ABCD的平行四边形，zADC=60°,AB=|XD,PA±®ABCD,E为PD的中点.

⑴求证:AB±PC;

（2）若PA=X5=jAD=2,求三棱锥P-AEC的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

【分析】（1）推导出AB±PA,AB±AC,从而AB,平面PAC,由此能证明AB±PC.

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(2)推导出「人，面ABCD,由％K=V，能求出三棱锥P-AEC的体

1At(uU(.«Ct^iLzC*

积.

【详解】(1)由题意，

-.PA±®ABCD,ABu平面ABCD,

.-.AB±PA,

■.zABC=zADC=60°,AB=-AD=-BC,

'22

在AABC中，由余弦定理有：

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos600=BC2-AB2

.-.AB2+AC2=BC2,

即：AB±AC,

.•PAnAC=A,又PAu平面PAC,ACu平面PAC,

.,.AB_L平面PAC,

•.・PCu平面PAC,

.■.AB±PC.

(2)由题意及(1)得，PA=48=14。=2,

所以PA=AB=2,AD=4,因为「人_1_面ABCD

且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为.4=1,

所以三棱锥P-AEC的体积：

11„A11o2V3

^P-AEC=^D-AEC=^E-ADC=o-^PA=-x-x2x4xsin60x1=——

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【变式2-1]1.（2023秋•四川成都・高三石室中学校考开学考试）如图，在四棱锥P-ABCD

中，四边形4BCD为正方形，平面4DP1底面ABCD,4P=DP,SAP1DP,设E,尸分另U为

（1）求证：AP1CP；

⑵求三棱锥P-力DE的体积.

【答案】（1）证明见解析

然

【分析】（1）通过证明4P1平面PCD来证得4P1CP.

（2）根据锥体体积的计算公式求得正确答案.

【详解】（1）.ZBCD是正方形,:.AD1CD.

1,侧面PA。1底面ZBCD,侧面PADC底面4BC0-AD,ADu平面PAD,

：.CD1平面PAD,

:APu平面PAD,

：.CD1AP.又APJ.DP,CDCDP=D,CD,DPu平面PCD,

..AP1平面PCD,

：CPu平面PCD,

:.AP1CP.

（2）,.四边形2BC0为正方形,连接AC,贝!MCCBD=F,F为AC中点.

・•.E为PC中点，，在△"P中,EF//PA.

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：PAu平面aop,EF仁平面aop,

：.EF//W^ADP.

.•E到面4DP的距离等于F到面ADP的距离.

由（1）知，PA1PC,；.PF=^AC=V2，得AC=2V2,

:.AB=AD=2,PA=PD=a.

（法一）取4。中点M,连接力C,MF,则MF〃C。,又CD1平面力DP,

：.MF1平面2DP.

-'-^P-ADE=^E-PAD=^F-PAD=^^APAD'MF=-X-XV2XV2X1=-.

（法二）取40中点M,连接力C,MF,贝［|PM1AD.

1,侧面PAO1底面ABC。,侧面PAD。底面ABC。-AD,PMu平面P2。,

：.PM1底面力BCD,PM=|71E）=1.

''^P-ADE—^E-PAD=^F-PAD=^P-ADF=3^^ADF-PM=-X-X1X2X1=-.

【变式2-1]2.（2023秋•四川成都・高三校考阶段练习）如图，在几何体瓦1CDEF中,四

边形CDEF是菱形,AB//CD,平面4DF1平面CDEF,AD=AF.

（1）求证：AC1DF；

（2）若凡4=FCFD=2,AB=1,求三棱锥E-BDF的体积.

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【答案】（1）证明见解析

⑵1

【分析】（1）连接CE,与DF交于点0,可证得OF1平面40C,根据线面垂直的定义即可证

明；

（2）根据/_BDF=VB-DEF，而点8到平面CDEF的距离等于点2到平面CDEF的距离，根据题

中条件，可知力。为点a到平面CDEF的距离，求出4。,根据锥体体积公式计算即可.

【详解】（1）证明：如图，连接CE,与。尸交于点。，贝［|。为。尸的中点，连接4。,

由四边形CDEF是菱形可得CE1DF,

因为4。=AF,所以4。1DF,

因为CEC4。=。，CE,AOu平面40C,

所以。F1平面AOC,

因为acu平面aoc,所以aciDF.

（2）因为平面4DF1平面CDEF,平面力DFn平面CDEF=FD,

S.AOLDF,AOu平面4DF,

所以4。1平面CDEF,BPXO为三棱锥4-CDF的高.

由R4=FC=FD=2,四边形CDEF是菱形，且4。=AF,

可得△ADF与△CDF都是边长为2的等边三角形，

所以4。=2xsin600=V3

因为4B//CD,CDu平面CDEF,AB<t平面CDEF,

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所以AB〃平面CDEF,

故点B到平面CDEF的距离也为4。=V3,

由四边形CDEF是菱形得SAEDF=SMDF

因此Vg-BDF=^B-DEF='4。=石'义^3=1.

【变式2-1】3.（2023秋・四川眉山•高三校考阶段练习）如图，在四棱锥P-4BCD中,PD1

面ABCD,AB||CD,AB1AD,CD=AD=^AB=2,4PAD=45。，E是PA的中点，G

在线段AB上，且满足CGIB。.

⑴求证：DEII平面PBC

（2）求三棱锥G-PBC的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵2

【分析】（1）取PB的中点F,连接EF,CF,证明四边形CDEF是平行四边形,进而可得DE//

平面PBC;

（2）根据%_PBC=VP.BCC,利用棱锥的体积公式求解.

【详解】（1）取PB的中点F,连接EF,CF,又因为E是PA的中点，

所以EFIIAB,且EF=148,

因为CD=^AB，且ABIIDC,

所以EFIICD，且EF=CD,

所以四边形CDEF是平行四边形，可得DEIICF,

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因为CFu平面PBC,DE(z平面PBC,所以DEII平面PBC;

(2)因为ABIIDC,AB±AD,所以AD^CD,

因为PD,平面ABCD,ADu平面ABCD,所以PD±AD,

因为/PAD=45°,所以在等腰直角三角形APD中，PD=AD=2,

.AD=CD=2,AB=4,

22

二在直角△DAB中，BD=yjAD+AB=2A/5,cos^ABD,

BD5

.CG^BD,设CGCIBD=H，=cos/CDH=cos/ABD=等=詈=詈，

；.DH=延，BH=B£>-£>//=—,

5,5z

在直角ABHG中，cos^ABD=cosGBH=翳=*=誓，..BG=3,

111

--^G-PBC~VP-BCG~§SABCG-PD--x-x3x2x2—2.

【变式2-1J4.(2023・全国•高三专题练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面四边形48CD

为矩形，平面P4B，平面力BCD,PA1PB,4B=有，PB=BC=2,点Q为PC的中点.

(1)求证：平面4BQ1平面P4C；

(2)求三棱锥P-QBD的体积.

【答案】(1)证明见解析

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【分析】(1)先根据平面P48，平面4BC0得到8C，平面P4B，进而得到BC14P,结合PA1

PB可得AP1平面BCP,进而得到4P1BQ,进而结合BQ1PC可得BQ_L平面PAC,进而求

证；

(2)作「“14B于点“，利用面积公式可得PH=管，由点Q为PC的中点，可得点P到平面

Q8D的距离等于点C到平面Q8D的距离，可得/_QBD=V(J-QBD=VQ-BCDI进而结合体积公

式求解即可.

【详解】(1)证明：•平面PAB1平面48CD，平面P48。平面2BC0=AB,BC1AB，且BCu

平面ABC。,

•••BC1平面P28,又APu平面P4B,

•••BC1AP.

又PAJ.PB,BCCiBP=B,BC,BPu平面BCP,

•••AP1平面8cp,

又BQu平面8cp,贝！MP1BQ.

在ABCP中，PB=8C,Q为PC的中点，

•••BQ1PC,

又4PCtPCP,AP,PCu平面P",

•••BQJ_平面P4C,

又BQu平面48Q,

平面ABQ_L平面PNC.

(2)作PH14B于点H,在Rt△P4B中，PA=y/AB2-PB2=J(V5)2-22=1,

则p“=S="

八AB51

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,•点Q为PC的中点，

・•.点尸到平面QBD的距离等于点C到平面QBD的距离，

即Vp—QBO=Vc-QBD~^Q-BCD-

又点Q到平面BCD的距离等于点P到平面BCD的距离的一半，

即九=等=9，S^BCD=1X2XV5=V5Z

所以为_BC。=£XS^BCDX/l=-xV5x，=』，

“3353

所以三棱锥P-QBD的体积为，

【变式2-1]5.（2023・全国•高三专题练习）如图，梯形ABCD中，力。=4,E为2。中点，

且CEIAD,CE=BC=1,DEC沿CE翻折至以PEC,使得NPE4=；.连接PA,P8.

%P

（1）求证：BE1PC；

（2）Q为线段PA上一点，若而=|万，求三棱锥P-8CQ的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵在

',18

【分析】（1）根据题意，证得CE，平面PAE，从而得到平面ABCE，平面P4E，取4E中点。，

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连接PO,OB,OC,证得P。1平面48CE,从而证得BE，平面POC，结合线面垂直的性质,即

可证得BE1PC.

(2)由慈号而，得到%.BCQ=^Q-PBC=3VA-PBC=|^P-ABC'结合棱锥的体积公式，即

可求解.

【详解】(1)证明：因为CE1AD,所以CE1AES.CE1PE,

又因为PEn2E=E,S.PE,AEu平面P4E,所以CE1平面PAE,

因为CEu平面48CE,所以平面48CE_L平面PAE,

在梯形48CD中,DE=2.所以4E=2,所以在四棱锥P-4BCE中，PE=AE=2,

又因为NPE4=三，所以△PE4为正三角形，

取4E中点。，连接P。,OB.OC,可得尸01AE,OB1AE,

因为平面4BCE_L平面P4E,平面48CECl平面P4E=AE,

POu平面PAE,且P。1AE,可彳导P。1平面力BCE,

又因为BCCE0E1,CE1AE,CE1BC,

所以四边形OBCE为正方形，所以BE10C,

因为。CClP。=OS.OC.POu平面POC,所以BE_L平面POC,

又因为PCU平面POC,所以BE1PC.

(2)解：由题意得，点Q为线段P4上一点，目而=|初,即PQ=\PA,

所以4>-BCQ=-PBC=3^A-PBC=^P-ABC/

又由(1)知P。1平面/BCE,所以尸。为三棱锥产一ZBC的高，

由4P4E为正三角形，且尸Z=2,可得P。=V3,

所以"-BCQ=3^P-ABC=5X]X]X1X1XV3=/.

第21页共120页

p

题型3割补法

【例题3］（2023秋・青海西宁•高三统考开学考试）如图所示，在直三棱柱ylBC-4/iG中,

2祖1分别为棱力的中点,AC=2AB=2A41=2.

（1）求证：DE〃平面44//；

⑵求多面体BBi—44iG。的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵|

【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判

定定理进行证明即可；

（2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理，结合棱锥体积公式进行求解即可.

【详解】（1）如图，取4出的中点F,连接4F,FE,

•••E是&小的中点、：.EF||A^,EF=|4G.

-11

又4DIIA^,AD=-AC=,

•••AD||EF,AD=EF,

四边形4DEF是平行四边形，DE||AF.

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又DE仁平面44//,AFu平面44//.

・••DEII平面.

2）连接当。"1。

,•*AA，YG_,/IB]G_,•,•AA-^，.

vArBr_LZQ,且441，/©,AAtCi=Ar,

•*•ZiB]_L平面Z/iCiC.

同理可得/O1平面44/$.

111II17

=-AA-,-AB-AD+-x-XiCi-AA-AB=-xlxlxl+-x-x2xlxl=-.

313211111r1r3323

【变式3-1J1.(2023・全国•高三专题练习)如图，在三棱柱4BC-&BiG中，平面A4QC1

平面ABC416=120°AC=CG=4,tanzF^C=,BA=BCAD3DC=3扇.

⑴求证：B,D,E,。四点共面;

⑵求四棱锥&-BOE/的体积.

【答案】（1）证明见解析

(2)673

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【分析】(1)由题设AC〃&Cl,AC=&G,进而有而=砧,易得四边形2DE4为平行

四边形，再结合44//8/，即可证结论；

(2)根据面面垂直性质定理证明线面垂直，最后根据体积公式计算即可.

【详解】(1)在三棱柱XBC-&B1G中,AC//ArCr,AC=ArCr,

因为而=3DC,A^E=3M,即而=^AC,A^E=|砧*,所以而=亨,

则四边形力DEA为平行四边形，贝!JA4J/0E.

又因为,所以DE/"%,故B,D,E,/四点共面.

(2)连接&C,取AC的中点0,连接4。,B0,如图所示.

在三棱柱ABC-中,四边形2CG4为平行四边形，乙=120°,

则乙4〃C=60°,又AC=CO1=4,所以△44C为等边三角形.

又O为AC的中点，所以41。1AC.

又平面A41GC1平面ABC,平面441cleC平面ABC=AC,ArOu平面4。64,

所以4。，平面ABC.

又a4=BC,O为AC的中点，所以8。1AC.

因为tan/BAC=|,4。=2,所以8。=3,AXO=2遮,AD=3.

又因为匕BD-ABIE=(|x3x3)x2V3=9V3,VA1_ABD=1x©x3x3)x2遮=3百，

所以四棱锥&-BCEBi的体积为匕BDT^E-VA1-ABD=9遮-3巡=6E.

【变式3-1】2.(2023•四川泸州校考三模)如图，已知直四棱隹48CO-2/住也的底面

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是边长为2的正方形，E,尸分别为,48的中点.

(1)求证：直线/£、CF、交于一点；

(2)若=4,求多面体BCDiEF的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】(1)根据题意可得四边形EFCDi为梯形，再根据平面的性质证明三线交于一点

(2)根据题意利用割补法求体积.

【详解】(1)连接即、,

因为E、F分别为44卜4B的中点，所以£77/4/且EF=.

因为ABCD-是直四棱柱，且底面是正方形，

所以BC〃4D〃&心，且BC=4。=45,即四边形ABC5是平行四边形，

所以48〃。修且4/=0停，所以EF//AC,且EF力D±C,

所以四边形为梯形，所以与CF交于一点，记为P,

即PeD]E,PeCF,且平面ADD1a,CFu平面2BCD,

所以Pe平面ABC。，PC平面ADDM,

又因为平面2BCDC平面=AD,则Pe直线2。,

所以直线。1尻CF、。力交于一点P.

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（2）连接。/,

由题意可得^BCDrEF~^B-EFDr+^B-CD^F~^Dr-BEF+^Dr-BCF=

1X2X4=2.

【变式3-1J3.（2023秋•广东广州•高三广州市第一中学校考阶段练习）如图，四边形ZBCD

是矢巨形，四边形是梯形,BE//AF,BE1EF,^BAF=30°，平面与平面ABET互

相垂直/BF=2,AF=4.

⑴求证：BF1AC.

⑵若二面角c-AF-8为，求多面体2BCDEF的体积.

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）利用正弦定理先证481BF,再证线面垂直即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，由二面角计算BC长,将多面体分割为四棱锥尸-ABCD

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和三棱锥C-BEF,分别计算其体积即可.

【详解】(1)在44BF中，由正弦定理得sin“BF=1,

sinzBi4FsmZ.ABF

所以乙48尸=BF14B.

又平面48CD_L平面4BEF,平面ABCDn平面48EF=AB,BFu平面48EF,

所以8F1平面ABC。.

又4Cu平面4BCD,所以BF1AC；

(2)因为四边开248co是矢巨形,所以BC1BA.结合BF，平面4BCD,可矢口84,8吃BC两两

垂直.故以8为原点8c所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

易知平面B4F的一个法向量为沆=(0,0,1),

假设BC=h,贝必(2次,0,0),尸(0,2,0),乳0,0,/1),AF=(-273,2,0),XC=(-2V3,0,/i),

设平面CAF的法向量为元=(x,y,z),所以伫,亚=°,即卜2fx+2y=0,

f-n-AC=01-2V3x+hz=0

令z=2E，则x=h,y=y[3h,所以平面C4F的一个法向量为元=(h,Wh,2遮)，

因为二面角C“B为?,所以侬而力=襦=/4

解得八=1.

易证△ABF-AFEB,所以BE=1.EF=V3.

因为BC1AB,平面2BCD，平面ABEF,平面力BCDCl平面力BEF=AB,

所以BC1平面HBEF,所以BC是三棱锥C-8EF的高.

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^C-BEF=鼻XS^BEFXBC=-x-X1XV3x1=—,

DOZO

因为8F1平面谢D,所以BF是四棱锥F-ABCD的高.

V_=-xSyxBF=ixlx2V3x2=—,

上FABLCD3矩形ABC。33，

所以多面体力BCDEF的体积V=VC_BEF+VF_ABCD=手.

【变式3-1J4.（2023•陕西西安・西安市第三十八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱力BC-

4®C'中，中，力B1BC.AB=BC=BB'=2,夕在平面ABC上的射影为48的中点.

⑴证明:BC1CC.

（2）求多面体的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵竽

【分析】（1）取48的中点。,连接夕。，得到夕。，平面4BC,证得夕。IBC,AB1BC,

利用线面垂直的判定定理，证得BC1平面ABBS',得到BC1BB',进而证得BC1CC；

（2）由柱体和锥体的体积公式，结合v=%-vB,_ABC,即可求得多面体的体积..

【详解】（1）证明：取48的中点D,连接夕D,

因为夕在平面ABC上的射影为4B的中点，所以夕。，平面4BC,

又因为BCu平面4BC,所以1BC,

因为AB1BC,ABdB'D=D,S.AB,B'Du平面ABB%',所以BC，平面ABBS',

又因为BB，u平面48夕4,所以BC1BB',

因为8B7/CC',所以BCXCC.

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(2)解：因为，平面4BC,S.ABu平面ABC,所以9。1AB,

因为BB，=2,8。=1,所以次。=y]B'B2-BD2=V3,

所以三棱柱力BC-4的「的体积匕=SAABC-BD=|x2x2xV3=2V3,

^VB'-ABC=ISEABC-BD=|x|x2x2xV3=^,

故多面体的体积V=匕—VB，_ABC=2百一誓=子.

C

【变式3-1]5.(2022秋・广西桂林•高三校考阶段练习)如图所示的多面体中，四边形4BCD

是矩形，48=4,^EAD.”8C都是边长为2的正三角形,EF=2

(1)证明：EF〃平面48CD；

(2)求这个多面体的体积匕

【答案】(1)见解析

⑵12yz

V13

【分析】(1)根据线面平行的判定定理及性质定理即可证明；

(2)将几何体分割为直三棱柱MPE-NQF,四棱锥E-4MP。与四棱锥尸-BNQC,从而

再利用锥体的体积公式与柱体的体积公式计算可求求解.

【详解】(1)证明：・四边形ABC。是矢巨形，:.AB//CD,

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又4B仁平面CDEF,CDu平面CDEF,

•••28〃平面CDEF,

又ABu平面ABFE,且平面CDEFn平面48FE=EF,

AB//EF,又力Bu平面力BCO,EF仁平面2BC0,

•••EF〃平面48CD；

(2)由(1)知AB"EF,CD//EF,

所以四边形4BFE与四边形CDEF都是上底为2,下底为4,腰为2的等腰梯形,

如图，过E,F分别作AB,CD的垂线,垂足点分别为M,N,P,Q,

则易得：三棱柱MPE-NQF为直三棱柱，

且四棱锥E-4MPD与四棱锥F-BNQC体积相等，

又EM=EP=FN=FQ=y/AE2-AM2=V4-1=V3,

等腰三角形EMP底面MP上的高为》M2-（竽2=73^1=V2,

E至！]平面4BCD的也巨离为近,

・

.•「这个I多J面m体十的UJ体十积T八卜=2V四棱锥E—ZMPO4-V三棱柱MPE—NQF

=2x|xlx2xV2+ix2xV2x2=i^

题型4体积比问题

【例题4]（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形ACG4与四

边形BCC/i是全等的矩形，AB=V2/1C=*441,若P是的中点.

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(1)求证：平面PB1G1平面PB1C；

(2)如果ylC=1,求三棱锥％-&GP与多面体力BCPBi的体积比值.

【答案】(1)证明见解析

(2)7-V=-

三棱锥BiTigP多面体4BCP%3,

【分析】(1)通过证明CP1平面PB1G,即可证明平面PB1G1平面P/C；

(2)分别求出三棱锥当-4GP与多面体2BCPB1的体积，即