2024-2025学年北京市第一零一中学高三上学期开学检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市第一零一中学高三上学期开学检测数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈R|x2<10,B=A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,42.若a+b<0，且b>0，则(

)A.ab<a2<b2 B.a23.在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为12,32，则运动到3A.32,12 B.−14.如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是(

)

A.0.999 B.0.981 C.0.980 D.0.7295.若函数y=a−ax(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]A.1 B.2 C.3 D.46.若两个正实数x,y满足1x+2y=1，若至少存在一组x,y使得x+2y≤−mA.{m|−4≤m≤−2} B.{m|−4<m<−2}

C.{−3} D.⌀7.设fx是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈2,3时，fx=x，则当x∈−2,0

时，A.x+4 B.2−x C.3−x+1 D.8.2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A,B两点测得C的仰角分别为45∘,30∘,AB=60(单位：m)，且

A.45m B.452m C.60m9.若函数fx=x−1,x<00,x=0x+1,x>0，则“x1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知M=α|fα=0，N=β|gβ=0，若存在α∈M,β∈N，使得α−β<n，则称函数fx与gx互为“n度零点函数”.若fA.(1e2,4e B.1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知复数z=1+ii，则z⋅z=12.已知二项式(2x−a)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为

13.设D为▵ABC内一点，且CD=25CA+15CB，则14.等比数列{ an}的前n项和为Sn，能说明“若{an}为递增数列，则∀n∈N∗,Sn<Sn+115.已知正项数列an满足a1=1，an=nan+12nan+1+1三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{(1)求数列{an}(2)求数列{bn}的前17.(本小题12分)已知函数fx=sin2xcosφ−cos2xsinφ，其中(1)求φ的值；(2)若m>0，函数fx在区间0,m上最小值为−12条件①：对任意的x∈R，都有fx条件②：fπ条件③：fπ318.(本小题12分)在▵ABC中，3sinA+(1)tan(2)c和面积S的值．19.(本小题12分)某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：

2022年2023年通过未通过通过未通过第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人m人100−m人假设每次考试是否通过相互独立．(1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；(2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；(3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则m的最小值为下列数值中的哪一个？(直接写出结果)m的值83889320.(本小题12分)设函数fx=ex+acosx，a∈R.(1)求a的值；(2)求证：方程fx(3)对任意x∈0,+∞，有fx>ksin21.(本小题12分)定义τa1,(1)当an=(−1)(2)若数列a,b,c,d满足(a−b)(b−c)>0，求证：τ(a,b,c,d)≤τ(a,c,b,d)；(3)设{an}各项均不相等，且交换数列{an参考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.C

6.C

7.C

8.C

9.C

10.B

11.2

12.−113.1:2

14.−1

(答案不唯一)1

15.②③④

16.解：(1)设数列{an}的公差为d，

∴a设数列bn−an的公比为q，

则q∴bn−(2)由(1)可知，bn∴bn的前n项和为b=3+6+9+⋯+3n+20+

17.(1)由fx若选条件①：可知当x=π3时，fπ3=sin2π3−φ=1，因为φ<π2若选条件②：fπ4=sinπ2−φ=cosφ=−1若选条件③：fπ所以sinπ3+φ=1，因为φ<π2，可得φ=综上所述：故可选择条件①或③，此时φ=π(2)由(1)知fx=sin2x−π且f(x)的最小值为−12，所以可得2m−π6≤π+所以0<m≤2π所以m的取值范围为0,2π

18.(1)由3sinA+cosA=又0<A<π,则π故A+π6=π3,或因a=2,b=23，则a<b,A不是最大角，故得所以tan(2)由正弦定理asinA=b因为b2>a则π2<B<π,则c=a=2,S=

19.(1)记事件Ai：“2022年第i次参加考试的考生通过考试”，i∈记事件Bj：“2023年第j次参加考试的考生通过考试”，j∈则PA1=∴从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为PA(2)∵PA1=∴PA小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为PA(3)2022年考生成绩合格的概率为1−PA2023年考生成绩合格的概率为1−PB要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则1−50100×故m的最小值为88．

20.(1)解：因为fx=e又点0,f0在切线y=x+2上，所以f所以a+1=2，即a=1．(2)证明：欲证方程fx=2仅有一个实根，只需证明令gx=e令ℎx=g′x讨论：(1)当x>0时，ℎ′x所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎx所以gx在(0,+∞)(2)当x=0时，g0(3)当x<0时，g所以，当x<0时，g(x)<综上可得，gx(3)当x∈(0,+∞)时，令Fx则F′x由(Ⅱ)可知，x∈(0,+∞所以F′x讨论：(1)当0<k≤1时，因为−1≤cosx≤1，所以即1−k≤1−kcos所以F′x即当0<k≤1时，F′x所以Fx=e所以Fx>F0(2)当k>1时，由F′x=e又F′π=eπ+k>0所以，当x∈0,x0时，当x∈x0,+∞时，所以Fx0<F综上可知，正数k的取值范围是0<k≤1．

21.(1)τ(=2+2+⋯+2=2×99=198(2)证明：因为τ(a,b,c,d)=a−bτ(a,c,b,d)=a−c所以τ(a,b,c,d)−τ(a,c,b,d)=因为(a−b)(b−c)>0，所以a>b>c，或a<b<c．若a>b>c，则τ(a,b,c,d)−τ(a,c,b,d)=a−b+当b>c>d时，上式=c−b+c−d−(b−d)=2(c−b)<0，当b≥d≥c时，上式=c−b+d−c−(b−d)=2(d−b)≤0，当d>b>c时，上式=c−b+d−c−(d−b)=0，即当a>b>c时，τ(a,b,c,d)−τ(a,c,b,d)≤0．若a<b<c，则τ(a,b,c,d)−τ(a,c,b,d)=b−a+c−d=b−c+c−d−所以，当(a−b)(b−c)>0时，τ(a,b,c,d)≤τ(a,c,b,d)成