2023-2024学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，i为虚数单位，若复数z=(1+i)(2−i)，则z的实部为(

)A.−1 B.1 C.2 D.32.已知平面向量a=(x−1,4)，b=(2,x+3)，若a⊥b，则A.−2 B.−53 C.523.等腰直角△ABC的面积为1，以斜边AB所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为(

)A.π3 B.2π3 C.π 4.将函数f(x)=sin(2x−π3)的图象先向左平移π6个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)A.g(x)=sin(x−2π3) B.g(x)=sin5.若a，b，l是空间中三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是(

)A.若a//β，a⊂α，α∩β=l，则a//lB.若α⊥β，α∩β=l，a⊥l，则a⊥β

C.若a⊂α，b⊂β，a//b，则α//βD.若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b6.已知tan(α+π4)=7，则A.724 B.247 C.−77.在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景.假统行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|=|F2|，FA.当α=2π3时，|F1|=|G| B.当α=π3时，|F1|=|G|2

8.某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案，如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=50m，则该古建筑的高度为(

)A.1510m

B.205m

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，点E为AC的四等分点(靠近点C)，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，则下列结论正确的是(

)A.2AD=AB+AC

B.AD=332

C.10.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<0)的部分图象如图所示，下列正确的是(

)A.ω=2，φ=−π3

B.函数f(x)的图象关于直线x=π3对称

C.若f(α2)=1，则f(α−π611.《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示)，已知该正方体ABCD−A1B1C1A.正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球的体积等于该牟合方盖的内切球的体积

B.该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2：3

C.该牟合方盖的内切球被平面A1C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复平面内，i为虚数单位，若复数z满足z(1+i)=i，则|z|=______．13.已知角α的终边在第一象限，cos(α+π4)=3514.如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点O，点E在BC上，且BC=4BE，连接DE交AC于点G，若CG=mAB+nAD，则m2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a=(sinx,cosx)，b=(23cosx,−2cosx)，c=(−cosx,3sinx)．

(1)若a−b与c共线，求sin2x；

(2)若函数f(x)=16.(本小题15分)

风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电.如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈.风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为ℎ米，在转动一周的过程中，ℎ关于t的函数解析式为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)．

(1)求函数ℎ(t)的解析式；

(2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长．17.(本小题15分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积为72+362，底面△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，AA1=6，M，N分别是A1B和AC1的中点．

(1)求证：MN//平面ABC；

(2)取18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(b−a)(sinB+sinA)=c(sinC−sinA)．

(1)求B；

(2)若a=2，b=23，求△ABC的面积；

(3)求ac−bc−ab19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PC=PD，底面ABCD是平行四边形，O点为AD的中点，OB⊥OC，∠AOB=30°，PO=3．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)若AD=2，求平面POB与平面PCD所成的二面角的正切值；

(3)当PA与平面PCD的所成角最大时，求四棱锥P−ABCD的体积．

参考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.A

6.B

7.A

8.C

9.AD

10.ACD

11.AB

12.213.214.184915.解：(1)已知a=(sinx,cosx)，b=(23cosx,−2cosx)，c=(−cosx,3sinx)，

则a−b=(sinx−23cosx,3cosx)，

又a−b与c共线，

则3sinx(sinx−23cosx)=−3cos2x，

即63sinxcosx=3，

即sin2x=33；

(2)已知函数f(x)=a⋅16.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，

当t=0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，

设为P0，则P0(0,60)，

由题意得，ω=2π5，A+B=100+40−A+B=100−40ℎ(0)=Asinφ+B=60，

解得A=40B=100φ=−π2，

所以ℎ(t)=40sin(2π5t−π2)+100(t≥0)．

(2)令ℎ(t)≥80，则ℎ(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，

即cos2π5t≤117.解：(1)证明：连接A1C，MN，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1/​/CC1，且AA1=CC1，AA1⊥A1C1，

∴四边形AA1C1C是矩形，

∵N是AC1的中点，

∴A1C过点N且平分A1C，

∵在△A1BC中，M是A1B的中点，

∴MN是△A1BC的中位线，

∴MN/​/BC，

∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴MN/​/平面ABC．

(2)∵点E，M分别是A1B1和A1B的中点，

∴BE与B1M的交点O为△A1B1B的重心，

连接A1O并延长交BB1的中点，记为点F，

过O作OH//A1B，交A1B1于点H，

∴H为A1B1的三等分点(靠近A1点)，

连接C1H18.解：(1)因为(b−a)(sinB+sinA)=c(sinC−sinA)，

由正弦定理可得：(b−a)(b+a)=c(c−a)，

整理可得：a2+c2−b2=ac，

由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac=12，

而B∈(0,π)，

可得B=π3；

(2)因为a=2，b=23，B=π3，

由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，

即12=4+c2−2c，

解得c=4或c=−2(舍)，

可得S△ABC=12acsinB=12×2×4×32=23；

(3)由(1)知B=π3，

所以ac−bc−abb2=sinAsinC−sinBsinC−sinAsinB19.解：(1)证明：∵PA=PD，O点为AD的中点，

∴PO⊥AD，

取BC的中点M，连接OM，

∵底面ABCD是平行四边形，OB⊥OC，

∴BC=2OM=2AB，AB=OA=OD=CD，

∵∠AOB=30°，∴∠AOM=60°，∠CDO=60°，

∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD，

在△POC与△POD中，

PO=PO,OC=OD,PC=PD,∴△POC≌△POD(SSS)，

∴∠POC=∠POD=90°，PO⊥OC，

又OC∩AD=O，OC⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD．

(2)延长BO与CD交于点E，连接PE，

∵BO⊂平面POB，CD⊂平面PCD，

∴平面POB∩平面PCD=PE，

由AD=2，PO=3，得OC=1，CD=DE=1，OB=OE=3，PC=CE=2，

取PE中点F，连接CF，则CF⊥PE.∵OB=OE=3=PO，

∴△PBE为等腰直角三角形，

连接OF，则OF⊥PE，

∴∠OFC是平面POB与平面PCD所成的二面角的平面角，

∵OB⊥OC，PO⊥OC，OB∩P