2024-2025学年湖南省常德市石门一中高三（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省常德市石门一中高三（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|a<x<2,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，若A∩B中恰有两个元素，则实数a的取值范围为(

)A.[−1,0) B.[−1,0] C.[0,1) D.[0,1]2.设f(x)=x2−ax+1(x∈R)，则关于x的不等式f(x)<0有解的一个必要不充分条件是A.−2<a<0 B.a<−2或a>2 C.|a|>3 D.|a|≥23.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a+b)2cd的最小值是A.0 B.1 C.2 D.44.已知函数f(x)=x2−2,x≥0x+3,x<0，若f(a)=f(a+3)，则g(x)=aA.(18,+∞) B.(−∞,18)5.若f(x)=ln(x2+1)−1|x|，设a=f(−3)，b=f(ln2)，c=f(20.3)A.c>a>b B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b6.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3，若函数f(x)=2x+52x+1A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{2,3,4,5}7.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，若对任意x∈(0,+∞)都有f[f(x)−1x]=2，则f(A.12023 B.2023 C.2024 D.8.设f(x)=|x+1x−a|(a∈R)，记f(x)在区间[12,4]上的最大值为M(a)A.0 B.98 C.158 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b∈R，下列命题为真命题的是(

)A.若a+b=0，则ea+eb≥2

B.若a>b>1，则logab+logba>2

C.若a>0，b>010.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x+4)=f(x)+f(2)，且当x∈[0,2]时，y=f(x)单调递减，下列结论正确的是(

)A.f(2)=0

B.x=−4为函数y=f(x)图象的一条对称轴

C.y=f(x)在[8,10]单调递增

D.若方程f(x)=m在[−6,−2]上的两根为x1、x211.若关于x的不等式aex+bx+c<0的解集是(−1,1)，则A.b<0 B.a+c>0 C.a+b+c<0 D.8a+2b+c>0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.命题“∃x∈R，(a+2)x2+(a+2)x−1≥0”为假命题，测实数a13.已知定义在R上的函数f(x)同时满足以下两个条件：

①对任意x∈R，都有f(x)=f(−x)−2x；

②对任意x1，x2∈[0,+∞)且x1≠x2，都有(14.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=12f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=−x(x−1).若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≤89四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设集合A={x|12≤2x≤4}，B={x|x2+(b−a)x−ab≤0}．

(Ⅰ)若A=B且a+b<0，求实数a，b的值；

(Ⅱ)若16.(本小题15分)

已知函数f(x)=log12(4x−a⋅2x+a+1)．

(1)若a=4，求不等式17.(本小题15分)

为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”中选择一项进行锻炼.在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里.记寒假第n天不下雪的概率为Pn．

(1)求P1、P2、P3的值，并求Pn；

(2)设小王寒假第n18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(2x2−3x)ex，g(x)=alnx(a∈R)．

(1)求f(x)的最小值；

(2)记f′(x)为f(x)19.(本小题17分)

对于函数f(x)，若存在实数m，使得ℎ(x)=f(x+m)−f(m)为R上的奇函数，则称f(x)是位差值为m的“位差奇函数”．

(1)若f(x)=sin(x+φ)是位差值为π3的位差奇函数，求φ的值；

(2)已知f(x)=2x−t⋅2−x，g(x)=4x+4−xt，若存在m∈[0,+∞)，使得f(x)是位差值为m的“位差奇函数”．

①求实数t的取值范围；

②设直线x=x1，x=x2与函数ℎ(x)=f(x+m)−f(m)的图象分别交于A、B两点，直线x=x1参考答案1.A

2.D

3.D

4.D

5.D

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.ABD

11.ACD

12.{a|−6<a≤−2}

13.(−∞,−214.[−415.解：(Ⅰ)A={x|12≤2x≤4}={x|−1≤x≤2}，

∵a+b<0，

∴a<−b，

∴B={x|(x−a)(x+b)≤0}={x|a≤x≤−b}，

∵A=B，

∴a=−1，b=−2．

(Ⅱ)∵a+b=2，

∴B={x|−b≤x≤2−b}，

∵B是A的子集，

∴−b≥−1且2−b≤216.解：(1)f(x)=log12(22x−4⋅2x+5)>−1=log122，

∴0<22x−4⋅2x+5<2，

∵22x−4⋅2x+5=(2x−2)2+1>0恒成立，

17.解：(1)依题意，P1=1，P2=1×0.4=0.4，P3=0.4×0.4+0.6×0.6=0.52，

依题意Pn=0.4Pn−1+0.6(1−Pn−1)=−15Pn−1+35，

整理得Pn−12=−15(Pn−1−12)，

所以{Pn−1218.解：(1)f′(x)=(2x2+x−3)ex=(x−1)(2x+3)ex，

∴x∈(−∞,−32)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

x∈(−32,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

x<0时，f(x)>0；x=1时，函数f(x)的最小值为f(1)=−e．

(2)由题意，可得ℎ(x)=(x−1)ex−alnx(x>0)，

则ℎ′(x)=xex−ax=x2ex−ax，

a≤0时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)在(0,+∞)单调递增．

又∵ℎ(1)=0，∴函数ℎ(x)有且只有一个零点，满足题意．

a>0时，令u(x)=x2ex−a(x>0)，u′(x)=(x2+2x)ex>0，

∴函数u(x)在(0,+∞)单调递增．

又x→0+时，u(x)→−a<0；x→+∞时，u(x)→+∞．

∴存在唯一实数x0>019.解：(1)∵y=f(x+π3)−f(π3)=sin(x+π3+φ)−sin(π3+φ)

=cos(π3+φ)sinx+sin(π3+φ)cosx−sin(π3+φ)，

又∵f(x)=sin(x+φ)是位差值为π3的位差奇函数，

即y=cos(π3+φ)⋅sinx+sin(π3+φ)⋅cosx−sin(π3+φ)为R上的奇函数，

易知y=cos(π3+φ)sinx为R上的奇函数，

y=sin(π3+φ)cosx−sin(π3+φ)为R上的偶函数，

可知sin(π3+φ)=0，则π3+φ=kπ,k∈Z，

解得φ=kπ−π3,k∈Z；

(2)①∵ℎ(x)=f(x+m)−f(m)=2x+m−t⋅2−x−m−(2m−t⋅2−m)=2m(2x−