2024-2025学年河南省郑州市郑东新区外国语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省郑州市郑东新区外国语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一元二次方程的两根分别为x1=3，x2=−4A.(x−3)(x+4)=0 B.(x+3)(x−4)=0

C.(x+3)(x+4)=0 D.(x−3)(x−4)=02.如果关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是A.k≥94 B.k≥−94且k≠0 C.k≤93.如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门，若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为(    )m．A.4或103 B.103 C.4 4.关于x的方程(m+1)x|m|+1−(m−1)x+1=0是一元二次方程，则m的值是A.−1 B.1 C.±1 D.05.在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x(m)，则可列方程(

)A.(30−2x)(20−x)=468

B.(20−2x)(30−x)=468

C.30×20−2⋅30x−20x=468

6.若实数b，c满足c−b+2=0，则关于x的方程x2+bx+c=0根的情况是(

)A.有两个相等实数根 B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根 D.无法确定7.若关于x的一元二次方程kx2+4x+k(k−1)=0有一个实数根为0，则k=A.k=0 B.k=−1 C.k=0或1 D.k=18.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(

)

A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB

C.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D9.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PB2+PD2=2PA.1个

B.2个

C.3个

D.4个10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、CD上，连接AF交BD于点G，连接BE交AC于点H，连接HG.若AF=BE，则下列结论：①AF⊥BE；

②BH=AG；

③HG=GD；

④△ABH≌△GBH；

⑤S△AHE：S△AGD=GF：BH．

其中正确的个数有A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。11.若一元二次方程x2+6x−1=0经过配方，变形为(x+3)2=n12.已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程x2−6x+8=0的两根，则等腰三角形的周长为______．13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH.若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值为______．14.如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.给出以下结论：

①矩形DEFG是正方形；

②CE=2CF；

③CG平分∠DCF；

④CG=CE+2CF三、计算题：本大题共1小题，共3分。15.已知实数m，n满足m−n2=1，则代数式m四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

按要求解下列方程：

(1)5(x+1)2=7(x+1)(用适当方法)；

(2)2x2+4x−3=0(公式法)；

(3)(x+8)(x+1)=−12(用适当方法)17.(本小题8分)

下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．

解方程：(3x−1)2=2(3x−1)．

解：方程两边同除以(3x−1)，得3x−1=2.…第一步

移项，合并同类项，得3x=3.…第二步

系数化为1，得x=1.…第三步

任务：

①小明的解法从第______步开始出现错误；

②此题的正确结果是______．

③用因式分解法解方程：3x(x+2)=2x+418.(本小题8分)

在方程x2−3x=0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x(x−3)=0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x=0或x−3=0，解这两个一次方程得：x=0或x=3.所以原方程的解有两个，分别为：x=0或x=3．

上述将方程x2−3x=0转化为x=0或x−3=0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．

规范书写如下：

解：x2−3x=0

x(x−3)=0

x=0或x−3=0

∴x=0或x=3

仿照上面的方法和规范，解决下列问题：

(1)解方程9x2−4=0

(2)解方程a19.(本小题8分)

定义新运算：对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a,b}表示a、b中的较大值，如：Max{2,4}=4．

(1)填空：Max{−2,−4}=______；

(2)按照这个规定，解方程Max{x,−x }=x2−3x−220.(本小题8分)

已知关于x的方程x2+(3k−2)x−6k=0，

(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形ABC的一边a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC21.(本小题8分)

对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．

问题：探究方程2x(|x|−2)=1的实数根的情况．

下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：

(1)设函数y=2x(|x|−2)，这个函数的图象与直线y=1的交点的

坐标(填“横”或“纵”)就是方程2x(|x|−2)=1的实数根．

(2)注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：

当x≤0时，y=−2x2−4x；

当x>0时，y=

；

(3)在如图的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据(2)中的解析式，通过描点，连线，画出当x>0时的函数图象．

(4)画直线y=1，由此可知2x(|x|−2)=1的实数根有

个.

(5)深入探究：若关于x的方程2x(|x|−2)=m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则m的取值范围是

22.(本小题8分)

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1)小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

参考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.D

9.D

10.B

11.10

12.10

13.614.①③④

15.解：∵m−n2=1，

∴n2=m−1，m≥1，

则m2+2n2+4m−1

=m2+2m−2+4m−1

=m2+6m−316.解：(1)∵5(x+1)2=7(x+1)，

∴5(x+1)2−7(x+1)=0，

∴[5(x+1)−7](x+1)=0，

∴5x+5−7=0或x+1=0，

解得x1=−1,x2=25；

(2)∵2x2+4x−3=0，

∴a=2，b=4，c=−3，

∴Δ=42−4×2×(−3)=40>0，

∴x=−4±2104=−2±102，

解得x1=−2+102,x2=−2−17.①一；

②x1=13，x2=1；

③3x(x+2)=2x+4，

3x(x+2)−2(x+2)=0，

(x+2)(3x−2)=0，

x+2=0或3x−2=0，

x1=−2，x2=23．

18.解：(1)9x2−4=0，

(3x+2)(3x−2)=0，

3x+2=0，3x−2=0，

x1=−23，x2=23；

(2)a2−2a−3=0，

(a−3)(a+1)=0，

a−3=0，a+1=0，

a1=319.(1)−2；

(2)当x>0时，有x2−3x−22=x，解得x=5+332，x=5−332(舍去)20.(1)证明：∵Δ=b2−4ac=(3k−2)2−4⋅(−6k)=9k2−12k+4+24k=9k2+12k+4=(3k+2)2≥0

∴无论k取何值，方程总有实数根．

(2)解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．

∴(3k+2)2=0，解得：k=−23．

此时原方程化为x2−4x+4=0

∴x1=x2=2，即b=c=2．

此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；

②若a=6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6

代入方程：62+6(3k−2)−6k=0

∴k=−2

则原方程化为x2−8x+12=0

(x−2)(x−6)=0

∴x21.(1)横

(2)2x2−4x

(3)画出函数的图象如图：

(4)3

22.解：(1)正确．

证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=135°，

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°，

∴∠AME=∠ECF，

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90