第一篇-线性代数-第五章

第五章二次型5.1二次型的概念及其矩阵表示定义1

含有个变量…，的二次齐次函数（5-1-1）称为元二次型，简称为二次型．

例如,下列二元多项式就是二次型就不是二次型。为讨论方便，取因为所以二次型（5-1-1）可以写成（5-1-2）当都是实数时，称二次型为实二次型。本书只讨论实二二次型。既然所谓二次型即为一个元的二次齐次多项式，那只要把各项系数确定下来，该二次型也就确定了，因此用系数矩阵即可表达二次型。定义2对二次型（其中），它的系数可以排一个矩阵称为二次型的矩阵，并称的秩为二次型的秩。因为二次型的系数满足所以其系数矩阵是对称矩阵。事实上，如果令

则二次型就可以用矩阵的乘积表示出来：即（5-1-3）式（5-1-3）称为二次型的矩阵表示．由上面的讨论可知，任给一个二次型，可以写出它的矩阵（对称矩阵）；反之，由式（5-1-3），任给一个对称矩阵，可以写出它对应的二次型。显然，二次型可以和它的系数矩阵建立一一对应的关系。例如，二次型的矩阵是反之，对称矩阵所对应的二次型是注意一般情况下，所给二次型未必是式（5-1-2）或式（5-1-1）的形式，要写出其矩阵，需要先将所给二次型化为式（5-1-2）的形式，再写对应的对称矩阵。例如，二次型要写成矩阵形式，需把这些项分别改写成即其矩阵表示式为或简单地就用对称矩阵来表示．【例1】写出下列二次型的矩阵。（1）（2）解由二次型的矩阵表示式可知（1）（2）【例2】已知二次型的对应矩阵为（1）（2）试写出二次型的表达式。解（1）（2）【例3】写出二次型的矩阵，并求此二次型的秩。解：二次型的矩阵为易求所以二次型的秩为3。习题5．1

1．写出下列二次型的矩阵：（1）（2）（3）

(4)

2．设二次型的对应矩阵是（1）（2）（3）试写出二次型的表达式．

3．写出二次型的矩阵，并求此二次型的秩。5．2二次型的标准形5．2．1二次型的标准形在平面解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，往往采用通过坐标变换化成标准形的方法．根据标准形就可以作出曲线形状的判断，以及得到诸如圆的半径，椭圆的长半轴、短半轴等数据．在这里，我们对二次型也进行类似的讨论．为此首先引入下述定义：定义1设是两组变量，称（5-2-1）为由到的一个线性变换，简称线性变换。如果系数矩阵是非退化（可逆）矩阵，就称线性变换（5-2-1）是非退化的或可逆的。如果系数矩阵是正交矩阵，就称线性（5-2-1）为正交变换。线性变换可用系数矩阵来表示。例如线性变换（5-2-1）可以写成=令有（5-2-2）则二次型（5-1-3）就变形为（5-2-3）即同一个二次型若用变量表示，其对应的矩阵就成为（5-2-4）于是，我们所关心的是如何寻找适当的可逆矩阵使得变成最简单的形式――对角矩阵．也即如何通过满秩变换使得二次型用表示时，只有平方项而没有交叉乘积项，即化为定义2

如果二次型可以通过可逆线性变换=即（其中是可逆矩阵）化为则称二次型与二次型是等价的。特别地，如果是一个只含平方项的二次型，即则称为的一个标准形．对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换=使二次型只含平方项，我们简称这个问题为化二次型为标准形．5．2．2化二次型为标准形的方法1．用配方法化二次型为标准形

【例1】化二次型为标准形，并求所作可逆线性变换的矩阵解先将含的各项配成一个关于的完全平方项，即再将含的各项配成完全平方，即=令（5-2-5）得（5-2-6）即为所求的标准形．式（5-2-5）就是变量与变量之间的关系，从（5-2-5）中解出即（5-2-7）所作可逆线性变换为=所作可逆线性变换的矩阵为一般情况下，若给出的二次型中有某个的系数则可把所有含的项括到一起进行一次配方（此时余下的各项中都不再含变量）再对剩下的个变量的二次型重复上述步骤。若用矩阵来表示，即二次型用变量表示的矩阵为现作变换（5-2-7），即则二次型用变量表示的矩阵即为对角矩阵易知，上述配方法总是可行的，所以有下面的结论:定理1

任何一个二次型都可以化为标准形．即任何一个对称矩阵总能找到可逆矩阵使得成为对角矩阵．【例2】

化二次型（5-2-8）为标准形，并求所作之变换．解因为二次型中没有平方项，但含项，所以先作一个满秩变换，使其出现平方项，根据平方差公式，令（5-2-9）把（5-2-9）代入（5-2-8）得把含的项配成完全平方，再把含的项配成完全平方，得到令

解出

得

（5-2-10）于是二次型

就化为

（5-2-11）把（5-2-9）和（5-2-10）结合起来为所作的变换

（5-2-12）所作变换的矩阵形式为

其中由

可知，线性变换

是可逆的，从而

为所求标准形，所求线性变换为

通过解例2可知，要将

均为零、而某项的系数不为零

的二次型

化为标准形，可先作变换

（5-2-13）从而使

出现某个平方项系数不为零，再按照例1的步骤进行。

2．用正交变换法化二次型为标准形上面我们介绍了用配方法把二次型化为标准形．除了这个方法以外还有更重要的方法---正交变换法．如果变量代换的系数矩阵是正交矩阵，则称之为正交变换．现在我们将说明对二次型一定可以经过正交变换把它化成标准形．定理2对于任何一个二次型一定能找到一个正交矩阵，使得经过正交变换把它化为标准形其中是二次型的矩阵的全部特征值．（证略）可见，用正交变换化二次型为标准形的关键是找到一个正交矩阵使二次型的矩阵化成对角矩阵。具体步骤如下：（1）将二次型表示成矩阵形式

（2）求出

的特征值和对应的特征向量；

（3）对重特征值（如果有的话）对应的线性无关特征向量正交化，再将所有的特征向量单位化，设为（4）构造正交矩阵

令则【例3】

求一个正交变换把二次型化为标准形．解二次型的矩阵是的特征多项式于是的不同特征值为（二重），对于（二重），求解齐次线性方程组由求得一个基础解系为先将正交化，取再将单位化，得对于求解齐次线性方程组由求得它的一个基础解系为再单位化，得令则是正交矩阵，并且有于是，令即有正交变换使以上我们用配方和正交变换法，把一个二次型化为标准形．但是一般地说，化二次型为标准形不是唯一的

习题5．2

1．用配方法把下列二次型化为标准型：（1）（2）2．把下列二次型用配方法化为标准型，并写出所作的变换：（1）（2）

3．用正交变换把下列二次型化成标准型：（1）（2）

4．把下列二次型用正交变换化成标准型，并且写出所作的变换：（1）（2）5．3惯性定理与正定二次型

5．3．1惯性定理从前面的讨论不难发现：用不同的可逆线性变换把一个二次型化为标准形时，标准形中的系数可能不同，但它们的项数却是相同的，且正（负）系数的项数也相同。这个规律对二次型是普遍成立的．下面,我们将不加以证明给出一个定理．为了说明这个定理,先给出一些有关的概念．定义1

二次型的标准形中,系数为正的平方项个数称为的正惯性指数;系数为负的平称为的负惯性指数,其中为的秩．定理1(惯性定理)

二次型的任一标准形中,系数为正的平方项个数是唯方项个数是唯一确定的,它等于

的正惯性指数;而系数为负的平方项个数也是唯一确定的，它等于的负惯性指数．等价命题：设有实二次型它的秩为如果有两个可逆线性变换使（），则中正数的个数与中正数的个数相等（显然负数个数也相等）。科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为或负惯性指数为的元二次型。下面我们主要研究正惯性指数为的元二次型即正定二次型。5．3．2正定二次型1．正定二次型的概念定义

二次型如果对任意一组不全为零的实数都有则称为正定二次型；反之，如果对任意一组不全为零的实数都有则称为负定二次型。正定二次型的矩阵称为正定矩阵，负定二次型的矩阵称为负定矩阵。例如，二次型就不是正定二次型，这是因为，当时，有如果给定的二次型不是标准形，一般不能直接看出其是否为正定二次型，用定义来判别它是否是正定二次型的判别方法又比较麻烦，那么，除了用定义外，还有没有别的方法判断它是正定二次型呢？回答是肯定的。

2．正定二次型的判别定理2

元二次型正定的充分必要条件是：它的正惯性指数等于即它的标准形的个系数全为正。（证略）推论

元二次型正定的充分必要条件是：它的矩阵的特征值全大于零。定义3在阶方阵中，取第行及第列得到的阶子式称为的阶顺序主子式。例如，称为一阶顺序主子式，称为二阶顺序主子式，称为三阶顺序主子式。

定理3（霍尔维茨定理）二次型正定的充分必要条件是：它的矩阵的所有顺序主子式全大于零。即对称矩阵为正定的充分必要条件是：它的所有顺序主子式全大于零。即对称矩阵为负定的充分必要条件是：它的所有奇数阶顺序主子式全小于零，而偶数阶顺序主式子全大于零，即（证略）【例1】判定二次型是否为正定二次型。解法一：运用定理2用配方法先将二次型化为标准形令则于是的正惯性指数是2，不等于未知数的个数3，故由定理2知不是正定二次型。解法二：运用定理2推论，先求的矩阵的特征值，由的特征方程可得因为所以由定理2推论知不是正定二次型。解法三：运用定理3，二次型的矩阵为的顺序主子式由定理3知不是正定二次型。【例2】试证：若是正定矩阵，则伴随矩阵也是正定矩阵．证因正定，故其特征值和而的特征值为由定理2推论知，也是正定的。习题5．3

1．判断下列二次型是否正定：（1）（2）（3）

2．满足什么条件时，下列二次型是正定的．（1）（2）+

3．试证：任一阶可逆矩阵则是正定矩阵．

4．试证：若与是阶正定矩阵，则也是正定矩阵．

5．试证：若是正定矩阵，则存在一个可逆矩阵，使得

试证：若

是正定矩阵，则

也是正定矩阵

证因为是对称矩阵，所以也是对称矩阵．又因是正定的，所以有正交矩阵使得其中全大于零．由于所以于是易知也全大于零，所以也是正定的．3．通过线性变换

化二次型为标准形时，为什么要求矩阵

是可逆的？答：因为只有可逆线性变换才能保持二次型的性质，才能还原成二次型。4．化二次型为标准形的方法与技巧？答：方法与技巧一配方法---对二次型从左边先找出一个系数不为零的平方项把所有包含的项集中到一起，配成完全平方的形式，接着寻找下一个系数不为零的平方项同样把所有包含的项集中到一起，配成完全平方的形式，依此类推，直到二次型的第一项都成为完全平方的形式样。只有混合项，没有平方项时，应作类似于的可逆线性变换，使二次型出现平方项，以后再配完全平方。用配方法化二次型为标准形的要点是利用和的平方公式和两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新的平方项。方法与技巧二正交变换法---即是求正交阵使得其中是由的所有特征值组成的对角矩阵。方法步骤：（1）写出二次型矩阵并求出的全部特征值（2）对于每个特征值求出相应的特征向量，并将它们先正交化这样可得到两两正交的单位特征向量（3）将为列向量构成正交矩阵故二次型经过正交变换化为标准形这实质是第四章化实对称矩阵为对角矩阵问题。注：由惯性定理可知：二次型化标准形时，可逆线性变换不惟一，标准形也不惟一，但对确定的二次型，其正、负惯性指数及秩

都是惟一确定的。5．有关正定二次型（正定矩阵）的命题方法与技巧一已知二次型正定，反求中参数的方法：主要利用顺序主子式全部大于零，便可确定参数。具体可参照本章第三节例2。方法与技巧二已知二次型（或）正定，求证有关结论：主要利用的正定性知，存在正交矩阵使得其中方法与技巧三证明矩阵为正定矩阵的方法：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）特征值法---的所有特征值均大于0※例1对任意的正实数证明（1）当矩阵都是半正定时，也是半正定的；（2）当矩阵是正定，矩阵是半正定时，是正定的。证明：定义法（1）当矩阵都