专题1构造全等三角形的常见方法(原卷版+解析)

专题1构造全等三角形的常见方法（原卷版）类型一连线构造全等1．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．2．如图，已知：AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D．3．（2019秋•旌阳区校级月考）如图，AB＝DC，AD＝BC，DE＝BF，求证：BE＝DF．4．（2015秋•常宁市校级期中）已知，如图AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF平分∠BAE，求证：AF⊥CD．

类型二倍长中线构造全等5．（2017秋•东台市期中）如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．6．（2019秋•武陟县月考）如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE+CF＞EF．7．（2022秋•句容市月考）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．

8．（2022秋•武汉期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：（1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）取BD的中点P，连接OP，请证明AC＝2OP．类型三过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作AF⊥AE，AF＝AE，BF交AC于D．（1）求证：∠FAC＝∠CEA；（2）求证：点D为BF中点；（3）求证：BE＝2CD．10．如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F（1）求证：点F是ED的中点；（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．类型四截长补短法构造全等11．（2019秋•浠水县期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定12．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE是△ABC的角平分线，且交于点O．求证：AC＝AE+CD．13．（2023•汉阳区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．（1）求证：∠CBE＝45°；（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．

类型五作垂线段构造全等14．已知：如图，△ABC，BD＝CD，AD平分∠BAC，求证：∠BAC+∠BDC＝180°．15．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．（1）求证：点D到∠BAC两边的距离相等；（2）求证：∠B＝∠C．

专题1构造全等三角形的常见方法类型一连线构造全等1．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．【思路引领】连接AC，根据“边边边”证明△ABC和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等证明即可．证明：如图，连接AC，在△ABC和△ADC中，AB=ADCB=CD∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B＝∠D．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．如图，已知：AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D．【思路引领】先连接AC，根据SSS判定△ACD≌△CAB，进而根据全等三角形的性质得出结论．证明：如图，连接AC，在△ACD和△CAB中，AC=CAAB=CD∴△ACD≌△CAB（SSS），∴∠B＝∠D．【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．3．（2019秋•旌阳区校级月考）如图，AB＝DC，AD＝BC，DE＝BF，求证：BE＝DF．【思路引领】连接BD，根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠C，根据SAS推出△EAB≌△FCD即可．证明：连接BD，∵在△ABD和△CDB中AB=DCAD=BC∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠A＝∠C，∵AD＝BC，DE＝BF，∴AE＝CF，在△EAB和△FCD中AE=CF∠A=∠C∴△EAB≌△FCD（SAS），∴BE＝DF．【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．4．（2015秋•常宁市校级期中）已知，如图AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF平分∠BAE，求证：AF⊥CD．【思路引领】连接AC、AD，利用“边角边”证明△ABC和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AD，全等三角形对应角相等可得∠BAC＝∠EAD，根据角平分线的定义可得∠BAF＝∠EAF，然后求出∠CAF＝∠DAF，最后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．证明：如图，连接AC、AD，在△ABC和△AED中，AB=AE∠B=∠E∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠EAF，∴∠BAF﹣∠BAC＝∠EAF﹣∠EAD，即∠CAF＝∠DAF，∴AF⊥CD（等腰三角形三线合一）．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．类型二倍长中线构造全等5．（2017秋•东台市期中）如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．【思路引领】作AB中点F，连接DF．根据等腰三角形的性质和中线的定义，由SAS可证△ADF≌△ADE，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：作AB中点F，连接DF．∵∠ADB＝∠BAD，∴BD＝AB，又∵CD＝AB，∴CD＝BD，即D为BC中点，∵F是AB中点，∴DF∥AC且DF=12又∵AB＝BD，E、F分别为BD、AB中线，∴DE＝AF=12AB=∵∠ADB＝∠BAD，∴∠FAD＝∠EDA，在△ADF与△ADE中，AD=AD∠FAD=∠EDA∴△ADF≌△ADE（SAS），∴AE＝DF，∴AC＝2DF＝2AE．【总结提升】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线证明△ADF≌△ADE．6．（2019秋•武陟县月考）如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE+CF＞EF．【思路引领】延长ED，使DG＝DE，连接CG、FG，可证△BDE≌△CDG，可得BE＝CG、EF＝FG，即可证明BE+CF＞EF．【解答】解：延长ED，使DG＝DE，连接CG、FG，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，BD=CD∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE＝CG，EF＝FG，∵CG+CF＞FG，∴BE+CF＞EF．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中证明△BDE≌△CDG是解题的关键．7．（2022秋•句容市月考）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是1＜x＜4；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．【答案】（1）①证明见解答；②1＜x＜4；（2）证明见解答．【思路引领】（1）①根据三角形的中线得出BD＝CD，再由对顶角相等得出∠ADB＝∠CDE，即可得出结论；②先由△ABD≌△ECD，得出CE＝5，再由ED＝AD，得出AE＝2AD＝2x，最后用三角形的三边关系，即可求出答案；（2）先根据SAS判断出△DEF≌△DEH，得出EH＝EF，再根据SAS判断出△BDH≌△CDF，得出CF＝BH，即可求出答案．【解答】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADB和△ECD中，BD=CD∠ADB=∠CDE(对顶角相等)∴△ABD≌△ECD（SAS）；②解：由①知，△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∵AB＝5，∴CE＝5，∵ED＝AD，AD＝x，∴AE＝2AD＝2x，在△ACE中，AC＝3，根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3，∴1＜x＜4，故答案为：1＜x＜4；（2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH，∵DH＝DF，DE⊥DF，即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEH（SAS），∴EH＝EF，∵AD是中线，∴BD＝CD，∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，∴△BDH≌△CDF（SAS），∴CF＝BH，∵BE+BH＞EH，∴BE+CF＞EF．【总结提升】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．8．（2022秋•武汉期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：（1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）取BD的中点P，连接OP，请证明AC＝2OP．【答案】（1）（2）证明见解析．【思路引领】（1）根据兄弟三角形的定义证明即可；（2）延长OP至E，使PE＝OP，利用SAS证明△BPE≌△DPO得出BE＝OD，∠E＝∠DOP，进而得出BE＝OC，再根据SAS证明△EBO≌△COA即可推出结论．证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，又∵AO＝OB，OC＝OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）延长OP至E，使PE＝OP，∵P为BD的中点，∴BP＝PD，在△BPE和△DPO中，PE=PO∠BPE=∠DPO∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE＝OD，∠E＝∠DOP，∴BE∥OD，∴∠EBO+∠BOD＝180°，又∵∠BOD+∠AOC＝180°，∴∠EBO＝∠AOC，∵BE＝OD，OD＝OC，∴BE＝OC，在△EBO和△COA中，OB=AO∠EBO=∠AOC∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE＝AC，又∵OE＝2OP，∴AC＝2OP．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．做垂线段构造全等类型三过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作AF⊥AE，AF＝AE，BF交AC于D．（1）求证：∠FAC＝∠CEA；（2）求证：点D为BF中点；（3）求证：BE＝2CD．【思路引领】（1）由余角的性质可求解；（2）由“AAS”可证△AGF≌△ECA，可得AG＝EC，FG＝AC，由“AAS”可证△FGD≌△BCD，可得DF＝DB，可得结论；（3）由全等三角形的性质可得DC＝GD，由线段的和差关系可求解．证明：（1）∵AF⊥AE，∴∠FAE＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠CAE＝∠CAE+∠CEA，∴∠FAC＝∠CEA；（2）如图，过F点作FG⊥AC于点G，在△AGF和△ECA中，∠AGF=∠ECA=90°∠FAC=∠CEA∴△AGF≌△ECA（AAS），∴AG＝EC，FG＝AC，∵AC＝BC，∴BC＝FG，在△FGD和△BCD中，∠FDG=∠CDB∠FGD=∠BCD∴△FGD≌△BCD（AAS），∴DF＝BD，即D为BF的中点；（3）∵△FGD≌△BCD，∴DC＝GD，∴CG＝2CD，∵AG＝CE，AC＝BC，∴CG＝BE，∴BE＝2CD；【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F（1）求证：点F是ED的中点；（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．【思路引领】（1）过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，根据同角的余角相等求出∠EBM＝∠A，然后利用“角角边”证明△ABC和△BEM全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝EM，再求出BD＝EM，然后利用“角角边”证明△EMF和△DBF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝DF，从而得证；（2）根据全等三角形的面积相等和等底等高的三角形的面积相等进行证明．证明：（1）如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，∵BE⊥AB，∴∠EBM+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，在△ABC和△BEM中，∠EBM=∠A∠C=∠M=90°∴△ABC≌△BEM（AAS），∴BC＝EM，∵BD＝BC，∴BD＝EM，在△EMF和△DBF中，∠M=∠DBF=90°∠EFM=∠DFB∴△EMF≌△DBF（AAS），∴EF＝DF，∴点F是ED的中点；（2）∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，∵点F是ED的中点，∴S△BEF＝S△DBF=12S△BEM=12∴S△ABC＝2S△BEF．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．类型四截长补短法构造全等11．（2019秋•浠水县期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定【答案】C【思路引领】由于AB与A、与BC之间没有什么直接的联系，所以必须通过作辅助线建立AB与AD、BC之间的联系，进而方可求解．不妨在AB上截取AF＝AD，连接EF，求证△BCE≌△BFE即可，也可延长AE交BC延长线于F，证△ADE≌△FCE，当然其它方法只要能得出三条线段之间的关系即可，具体求解过程如下．【解答】解：法1：在AB上截取AF＝AD，连接EF（如图）易证AE⊥BE，△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，所以可证△BCE≌△BFE，所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；法2：如图，延长AE交BC延长线于F，∵AD∥CB，∴∠CBA+∠BAD＝180°，∵BE平分∠CBA，AE平分∠BAD，∴∠EBA+∠BAE＝90°，∴∠BEA＝180°﹣90°＝90°，∴BE⊥AF，由△ABE≌△FBE（ASA），可得BA＝BF，AE＝FE，于是可证△ADE≌△FCE（ASA），所以AD＝CF，所以AB＝BC+CF＝BC+AD．故选：C．【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．12．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE是△ABC的角平分线，且交于点O．求证：AC＝AE+CD．【思路引领】在AC上取AF＝AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE＝∠AOF；再证得∠COF＝∠COD，则根据全等三角形的判定方法ASA即可证△FOC≌△DOC，可得DC＝FC，即可得结论．证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO与△AFO中，AE=AF∠EAO=∠FAO∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE＝∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12∠ACB+12∠BAC=12（∠ACB+∠则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∴在△FOC与△DOC中，∠COD=∠COFCO=CO∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC＝FC，∵AC＝AF+FC，∴AC＝AE+CD．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．（2023•汉阳区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．（1）求证：∠CBE＝45°；（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．【答案】（1）证明过程见解答；（2）BH⊥EH，BH＝EH，证明过程见解答．【思路引领】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，可证明∠ABC＝∠C=12∠DAB，而∠ABE＝∠DBE=12∠DBA，则∠CBE=1（2）延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，因为AB＝AC，所以BG＝CE＝BF，即可证明△EBG≌△EBF，得∠G＝∠F，可证明∠G=12∠DAB，则∠G＝∠F＝∠C，于是∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，得BH⊥EH，由∠HEB＝∠HBE＝45°，得BH＝【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于D，∴∠BDC＝∠FDC＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠C=12∠∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE=12∠∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE=12（∠DAB+∠（2）解：BH⊥EH，BH＝EH，证明：延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，∵AB＝AC，∴AB+AG＝AC+AE，∴BG＝CE，∵BF＝CE，∴BG＝BF，在△EBG和△EBF中，BG=BF∠GBE=∠FBE∴△EBG≌△EBF（SAS），∴∠G＝∠F，∵∠G＝∠AEG，∴∠DAB＝∠G+∠AEG＝2∠G，∴∠G=12∠∴∠G＝∠C，∴∠F＝∠C，∵∠HEC＝∠DEF，∴∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，∴