模型43几何中等分面积问题(原卷版+解析)

模型介绍模型介绍线段分三角形面积问题.当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.如图当S△ABD∶S△ADC＝m∶n时，则eq\f(BD,CD)＝eq\f(m,n).例题精讲例题精讲【例1】．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF的面积是（）A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．变式训练【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为（）A．18cm2 B．16cm2 C．20cm2 D．24cm22．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（）A． B． C． D．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；③∠FAG＝2∠ACF．以上说法正确的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．①②③4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为．5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．7．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是．9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积为2，求：△CDF的面积．11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线y＝x经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（﹣，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x轴上．点M（0，2）．（1）点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值．（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x2，0），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC的顶点C重合，边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求线段DF的长；（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面积；（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明：＝．【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，＝，＝，求△ABC的面积．【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：＝．【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积．18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABD＝S△BCD．试说明AO＝CO；【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．模型介绍模型介绍线段分三角形面积问题.当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.如图当S△ABD∶S△ADC＝m∶n时，则eq\f(BD,CD)＝eq\f(m,n).例题精讲例题精讲【例1】．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是4．解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为：4．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF的面积是（）A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD，S△AEC＝S△CDE＝S△ADC，∵F是EC的中点，∴S△BEF＝S△BCF＝S△BCE，∵S△ABC＝8cm2，∴S△BCE＝4cm2，∴S△BCF＝2cm2，故选：C．

【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝﹣．解：连接AC、BO，交于D．∵平行四边形OCBA，∴BC∥OA，DB＝OD，DC＝DA，∴∠MCD＝∠DAN，∠CMD＝∠DNA，∴△CMD≌△AND，同理△BMD≌△OND，∴过D的任意直线都能把平行四边形的面积分成面积相等的两部分．过D作DF⊥x轴于F，过B作BE⊥x轴于E．∵平行四边形OCBA，B（17，6），C（5，6），∴DO＝BD，DF∥BE，∴OF＝EF，∴DF＝3，OF＝×17＝8.5，∴D（8.5，3），代入y＝x+b得：3＝×8.5+b，∴b＝﹣，故答案为：﹣．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝5．解：∵直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分∴直线y＝﹣x+b要经过矩形的中心∵矩形的中心为（3，2）∴把点（3，2）代入y＝﹣x+b，解得：b＝5．变式训练【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案为：2．【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？解：①如图，过点A作AQ⊥BC于Q，过点D作DM⊥BC于M，∵D是AB的中点，DM∥AQ，∴M是BQ的中点，∴DM＝AQ，∴三角形ABC的面积是＝BC×AQ＝1，∴BC×AQ＝2，∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE＝BC，∴三角形DEF的面积为＝DE×DM＝××BC××AQ＝；②∵DE＝，FG＝，∴＝，∴三角形DOE面积＝三角形DEF面积×＝．【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．解：如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，即点M为矩形ABFO的中心，∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分又∵点N（5，2）是矩形CDEF的中心，∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．∴直线MN即为所求的直线L，设直线l的解析式为y＝kx+b，则2k+b＝3，5k+b＝2，解得k＝，b＝，因此所求直线l的函数表达式是：y＝﹣x+．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为（）A．18cm2 B．16cm2 C．20cm2 D．24cm2解：设长方形ABCD中，AD＝a，AB＝b，则AE＝b＝GC，BF＝a，∴S阴＝S长方形ABCD﹣S△AEH﹣S△HFC﹣S△HCG，＝36﹣AE•AH﹣FC•AB﹣HD•CG，＝36﹣AD•AE﹣FC•AB，＝36﹣ab，＝18cm2．故选：A．2．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（）A． B． C． D．解：∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），∴梯形的面积为：＝8，∵直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，∴直线y＝kx+2与AD、AB围成的三角形的面积为4，设直线与x轴交于点（x，0），∴（x+1）×2＝4，∴x＝3，∴直线y＝kx+2与x轴的交点为（3，0）∴0＝3k+2解得k＝﹣故选：A．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；③∠FAG＝2∠ACF．以上说法正确的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．①②③解：∵E是AC的中点，∴AE＝EC，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①符合题意；若AF＝FB，则F是AB的中点，∵CF是∠ACB的平分线，∴BC＝AC与BC＞AC矛盾，故②不符合题意；∵∠BAC＝90°，∴∠FAG+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∴∠FAG＝∠ACD，∵CF平分∠ACB，∴∠ACD＝2∠ADF，∴∠FAG＝2∠ACF，故③符合题意；故选：A．4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为16．解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△BCE＝S△ABC，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE，∴S△ABC＝4S△BEF＝4×4＝16．故答案为：16．5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，∵C（10，4），∴AF＝10，CF＝4，…（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AM＝CM，即＝，∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠MEA＝∠CFA＝90°，∴ME∥CF，∴∠AME＝∠ACF，∠AEM＝∠AFC，∴△AME∽△ACF，∴＝＝，即E为AF的中点，∴ME为△AFC的中位线，…（4分）∴AE＝AF＝5，ME＝CF＝2，∴M（5，2），…（6分）∵直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝ax﹣2a﹣1经过点M，…（8分）将M（5，2）代入y＝ax﹣2a﹣1得：a＝1．…（9分）6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝2．解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝27．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为1．解：∵点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），∴四边形ABCD为平行四边形，∵直线y＝mx﹣3m﹣1四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝mx﹣3m﹣1过矩形的对角线的交点，而平行四边形的对角线的交点坐标为（7，3），∴7m﹣3m﹣1＝3，∴m＝1．故答案为：1．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是2．解：∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，过D作DF⊥AC于F，设DF＝x，则＝，∴AF＝x，∵S△ADE＝x•AE＝S△ABC＝15，∴AE＝，EF＝﹣x，∴DE2＝DF2+EF2＝x2+（﹣x）2＝x2+﹣144＝（x﹣）2+12≥12，故可得DE2最小值是12，∴DE最小值为2．故答案为：2．9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．解：由B的坐标（15，6），得到矩形中心的坐标为（7.5，3），直线y＝x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，将（7.5，3）代入直线y＝x+b得：3＝×7.5+b，解得：b＝．故答案为：．10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积为2，求：△CDF的面积．解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ACD＝S△ABC＝×2＝1，∵CD是△ACE的中线，∴S△CDE＝S△ACD＝1，∵DF是△CDE的中线，∴S△CDF＝S△CDE＝×1＝．∴△CDF的面积为．11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线y＝x经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（﹣，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．解：（1）在y＝x中，令y＝4，即x＝4，解得：x＝5，则B的坐标是（5，0）；令y＝0，即x＝0，解得：x＝2，则E的坐标是（2，0）．则OB＝5，OE＝2，BE＝OB﹣OA＝5﹣2＝3，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣3＝1，S四边形AECD＝（AE+CD）•AD＝（4+1）×4＝10；（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，则直线与CD的交点F，必有CF＝AE＝1，则F的坐标是（4，4）．设直线的解析式是y＝kx+b，则，解得：．则直线l的解析式是：y＝2x﹣4；（3）∵直线l1经过点F（﹣，0）且与直线y＝3x平行，设直线l1的解析式是y1＝kx+b，则：k＝3，代入得：0＝3×（﹣）+b，解得：b＝，∴y1＝3x+，已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y＝2x﹣4+，即：y＝2x﹣3，当y＝0时，x＝，∴M（，0），解方程组得：，即：N（﹣7，﹣19），S△NMF＝×[﹣（﹣）]×|﹣19|＝．答：△NMF的面积是．12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）在y＝2x+4中，分别令y＝0和x＝0来得到：A（﹣2，0）、B（0，4）、D点是因为旋转，OD＝OB，所以，D点（4，0）；C点也是因为旋转，OA＝OC，所以，C点（0，2）；设经过A、B、D的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则有：4a﹣2b+c＝0①，c＝4②，16a+4b+c＝0③（3分）解①②③得：，b＝1，c＝4，∴抛物线的解析式为：．（4分）（2）若存在点P满足条件，则直线CP必经过OD的中点E（2，0）；（5分）易知经过C、E的直线为y＝﹣x+2，（6分）于是可设点P的坐标为P（m，﹣m+2）；将P（m，﹣m+2）代入得：，（7分）整理，得：m2﹣4m﹣4＝0，解得：，；所以满足条件的点P有两个：P1（2+2，﹣2），．（9分）13．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x轴上．点M（0，2）．（1）点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值．（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．解：（1）由已知，OA＝OC＝，连接AC、AM，如图1所示．∵四边形OABC是菱形，∴PC＝PA，∴PC+PM＝PM+PA≤AM，即PC+PM≤＝＝3．（2）∵y＝kx+b为y＝﹣x﹣1平移得来的，∴k＝﹣1．①依照题意画出图形，如图2所示．结合函数图象可知，当点O在直线y＝﹣x+b上时，b最小，此时b＝0；当点C在直线y＝﹣x+b上时，b值最大，∵点C（1，2），∴2＝﹣1+b，解得：b＝3．故0≤b≤3．②连接AC、OB，设AC与OB的交点为D，当直线y＝﹣x+b过点D时，直线y＝﹣x+b将四边形OABC分成面积相等的两部分，如图3所示．∵OA＝OC＝，∴点A（，0）．∵四边形OABC为菱形，C（1，2），A（，0），∴点D（，1）．∵直线y＝﹣x+b过点D，∴1＝﹣+b，解得：b＝．∴当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，k＝﹣1，b＝．14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x2，0），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得a＝1，b＝﹣2，所以抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线y＝kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，A（﹣1，0），B（3，0），E（），F（）；S四边形ACFE＝（CF+AE）•OC＝（1）；S四边形EFDB＝（DF+BE）•OC＝（5）；即（1）＝（5），k＝．（3）存在点P．直线y＝m与y轴交点为F（0，m），①当DE为腰时，分别过D、E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2；如图，则△DP1E和△DEP2均为等腰直角三角形，又DP1＝DE＝EP2＝OF＝﹣m，又AB＝xB﹣xA＝3+1＝4，又△ECD∽△BCA，即，即m＝；P1（，0），P2（，0）；②当DE为底时，过P3作GP3⊥DE于G，如图，又DG＝GE＝GP3＝OF＝﹣m，由△ECD∽△BCA，，即m＝；P3（，0）综上所述，P1（，0），P2（，0），P3（，0）．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC的顶点C重合，边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求线段DF的长；（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．解：（1）如图1：连接DF，在Rt△CDF中，CD＝12，CF＝16，根据勾股定理：DF＝＝20；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，∴BC＝＝40，根据题意得：当t＝＝10时，停止运动；如图2：当点E在AB上时，∵∠C＝90°，∠EFG＝90°，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BF：BC，∴12：30＝BF：40，∴BF＝16，∴CG＝BC﹣BF﹣GF＝40﹣16﹣16＝8，此时，t＝8÷4＝2；如图3：当F与B重合时，CG＝BC﹣BG＝40﹣16＝24，此时，t＝24÷4＝6，∵tan∠ABC＝＝，tan∠GBD＝＝，∴此时，点D在直线AB上；①当0＜t≤2时，s＝S矩形DEFG＝12×16＝192，②如图4：当2＜t≤6时，设矩形DEFG的边EF交BC于点M，边DE交AB于点N∵BF＝24﹣4ttanB＝∴MF＝（24﹣4t）＝18﹣3t，∴EM＝EF﹣FM＝12﹣（18﹣3t）＝3t﹣6，∴NE＝EM＝4t﹣8，∴s＝S矩形DEFG﹣S△EMN＝192﹣EM•EN＝192﹣6（t﹣2）2，③如图5：当6＜t≤10时，设DG与AB交于点M，BG＝40﹣4t，则MG＝BG＝30﹣3t，则s＝S△BMG＝BG•MG＝×（40﹣4t）（30﹣3t）＝6（10﹣t）2；（3）能，如图6：当QK经过矩形DEFG的对称中心O时，就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分；∵在Rt△GDF与Rt△CAB中，tan∠GDF＝＝＝，tan∠B＝＝，∴∠GFD＝∠B，∴DF∥AB，∴，∵DF＝20，∴OF＝10，∵BF＝24﹣4t，HF＝＝，QB＝5t，∴BH＝BF+FH＝24﹣4t+，∴，解得：t＝；（4）如图7：过点D作MN⊥AB于N，交BC于M，∵∠GMD+∠B＝90°，∠GMD+∠GDM＝90°，∴∠GDM＝∠B，∴GM＝GD•tan∠GDM＝×12＝9，∴DM＝＝15，∵BG＝40﹣4t，∴BM＝BG+GM＝40﹣4t+9＝49﹣4t，∴MN＝BM•cos∠B＝（49﹣4t），∴DN＝MN﹣DM＝（49﹣4t）﹣15，∵QH＝QB＝×5t＝t，∵DH∥AB，∴QH＝DN，则t＝（49﹣4t）﹣15，解得t＝．故t值为．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面积；（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．解：（1）由方程x2﹣6x+5＝0得x1＝1，x2＝5，∵m＜n，∴m＝1，n＝5，∴A（1，0），B（0，5）．把A（1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣4x+5；（2）C（﹣5，0），D（﹣2，9），过D作DE⊥x轴于E，∵易得E（﹣2，0）．∴S△BCD＝S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC＝；（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5），由于直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点在直线BC上．∵易得直线BC的解析式为y＝x+5，∴，解得a1＝﹣1，a2＝﹣5（不合题意，舍去），∴P点坐标为（﹣1，0）．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明：＝．【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，＝，＝，求△ABC的面积．【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：＝．【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积．解：【经验发展】如图1，过C作CH⊥AB于H，∵S△ACM＝AM×CH，S△BCM＝BM×CH，∴＝＝，即＝．【结论应用】如图2，连接AE，∵＝，∴S△CDE＝S△ACE，又∵＝，∴S△ACE＝S△ABC，∴S△CDE＝×S△ABC＝S△ABC，又∵△CDE的面积为1，∴△ABC的面积12．【拓展延伸】如图3，∵M是AB上任意一点，∴＝，∵D是CM上任意一点，∴S△ACD＝×S△ACM，S△BCD＝×S△BCM，∴＝＝，即＝．【迁移应用】如图4，连接BD，∵M是AB的三等分点（AM＝AB），∴＝，∵N是BC的中点，∴＝＝1，设S△ADM＝a，则S△BDM＝2a，S△ACD＝3a，S△CDN＝S△