专题12因式分解(热考题型)-原卷版+解析

专题12因式分解【思维导图】◎考点题型1因式分解的概念概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【注意】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.例．（2023秋·山西大同·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解并且正确的是（

）A． B．C． D．变式1．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．变式2．（2021春·江苏徐州·七年级统考期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．变式3．（2021春·浙江·七年级期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解是()A．a(4﹣y2)=4a﹣ay2B．﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣(2x﹣3y)2C．x2+3x﹣1=x(x+3)﹣1D．x2+y2=(x+y)2﹣2xy◎考点题型2提取公因式法1、公因式概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.【注意】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.2、提公因式法概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．【注意】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号;（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.例．（2023春·七年级课时练习）多项式与的公因式是（

）A． B． C． D．变式1．（2021秋·山东济南·八年级校联考期中）将分解因式，正确的是（

）A． B． C． D．变式2．（2021·福建泉州·八年级南区中学校考期中）下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（）A．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300B．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1C．2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601D．2300+（﹣2）301＝2300+2301＝2601变式3．（2020秋·山东烟台·八年级统考期中）（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（）A．﹣22019 B．﹣22020 C．22019 D．﹣2◎考点题型3公式法——平方差公式1、概念：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.2、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．3、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．例．（2021春·湖南株洲·七年级统考期中）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．变式1．（2019春·重庆·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）下列各式能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．变式2．（2019秋·山东泰安·八年级校联考阶段练习）下列多项式能用平方差公式因式分解的是(

)A．－xy B．－4x C．－4＋ D．－－变式3．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）若正整数x、y满足，则这样的数对(x，y)个数是（

）A．个 B．1个 C．2个 D．2019个◎考点题型4公式法——完全平方公式1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。即，形如，的式子叫做完全平方式。【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右边是两数的和（或差）的平方。（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。2、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．3、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．例．（2023春·七年级课时练习）对多项式进行因式分解，结果正确的是（

）A． B． C． D．变式1．（2022·广东·九年级专题练习）若实数a、b满足，则的值是（

）A．1 B． C．3 D．变式2．（2022秋·北京海淀·八年级校考期中）多项式与多项式的公因式是（

）A． B． C． D．变式3．（2021春·全国·八年级专题练习）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．◎考点题型5平方差公式和完全平方式的综合应用例．（2019春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023春·七年级课时练习）无论、取何值，多项式的值总是（

）A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定变式2．（2022春·江苏·七年级专题练习）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（）A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a） B．（a2﹣2a+1）2C．（a﹣1）4 D．（a+1）2（a﹣1）2变式3．（2012·安徽·中考真题）下面的多项式中，能因式分解的是【

】A． B． C． D．◎考点题型6十字相乘法1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则【注意】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.2、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.【注意】（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.例．（2023春·七年级课时练习）若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（

）A．1 B．7 C．11 D．13变式1．（2021·全国·九年级专题练习）下列各项分解因式正确的是（

）A． B．C． D．变式2．（2023春·七年级课时练习）计算结果为a2﹣5a﹣6的是（）A．（a﹣6）（a+1） B．（a﹣2）（a+3） C．（a+6）（a﹣1） D．（a+2）（a﹣3）变式3．（2020春·四川成都·八年级统考期末）下列多项式分解因式正确的是（

）A．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）C．m3﹣m＝m（m﹣1）（m＋1） D．x2＋2xy﹣y2＝（x﹣y）2◎考点题型7分组分解法概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.【注意】分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式例．（2023春·七年级课时练习）下列多项式不能分解因式的是（

）A． B．C． D．变式1．（2021春·八年级课时练习）用分组分解的因式，分组正确的是（

）A． B．C． D．变式2．（2023春·七年级课时练习）把xy2y1分解因式结果正确的是（

）A．xy1xy1 B．xy1xy1C．xy1xy1 D．xy1xy1变式3．（2019·湖北荆门·统考中考真题）下列运算不正确的是（

）A．B．C．D．◎考点题型8因式分解的应用例．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市庐阳中学校考期中）已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，ac+b+1=0（c≠1），则（

）A．a=1，b2-4ac>0 B．a≠1，b2-4ac≥0 C．a=1，b2-4ac<0 D．a≠1，b2-4ac≤0变式3．（2021春·广东·八年级专题练习）已知，，是的三条边长，且，则一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上均不对◎考点题型9因式分解在有理数简算中的应用例．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）计算的值为（

）．A． B． C． D．变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：的结果是（

）A． B． C． D．变式2．（2021秋·河南安阳·八年级统考期末）已知，那么的值为（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．变式3．（2019春·七年级单元测试）计算所得的结果是（

）A． B．－ C．－2 D．2专题12因式分解【思维导图】◎考点题型1因式分解的概念概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【注意】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.例．（2023秋·山西大同·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解并且正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据多项式因式分解的意义，逐个判断得结论．【详解】解：A、左右两边不相等，故此选项错误，不符合题意；B、整式的乘法，故此选项错误，不符合题意；C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项正确，符合题意；D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项错误，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．变式1．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，逐一进行判断即可．【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意；B、，不是整式的积的形式，不符合题意；C、，等式右边有减法，不是整式的积的形式，不符合题意；D、，是因式分解，符合题意；故选D．【点睛】本题考查因式分解的判断．熟练掌握因式分解的定义，是解题的关键．变式2．（2021春·江苏徐州·七年级统考期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；C、是整式的乘法，故C错误；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；故选B．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．变式3．（2021春·浙江·七年级期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解是()A．a(4﹣y2)=4a﹣ay2B．﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣(2x﹣3y)2C．x2+3x﹣1=x(x+3)﹣1D．x2+y2=(x+y)2﹣2xy【答案】B【分析】根据因式分解的意义，可得答案．【详解】解：A．属于整式乘法运算，不属于因式分解；B．﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣(2x﹣3y)2，属于因式分解；C．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解；D．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键．◎考点题型2提取公因式法1、公因式概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.【注意】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.2、提公因式法概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．【注意】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号;（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.例．（2023春·七年级课时练习）多项式与的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把多项式进行因式分解，然后取相同的因式，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴多项式与的公因式是；故选：A．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，正确的求出多项式的公因式．变式1．（2021秋·山东济南·八年级校联考期中）将分解因式，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接用提公因式法分解因式即可．【详解】故选：C【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题等关键是把看成一个整体．变式2．（2021·福建泉州·八年级南区中学校考期中）下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（）A．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300B．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1C．2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601D．2300+（﹣2）301＝2300+2301＝2601【答案】A【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，再利用提取公因式法分解因式计算得出答案．【详解】2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300．故选：A．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及有理数的混合运算，正确将原式变形是解题关键．变式3．（2020秋·山东烟台·八年级统考期中）（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（）A．﹣22019 B．﹣22020 C．22019 D．﹣2【答案】C【分析】直接提取公因式（−2）2019，进而计算得出答案．【详解】（−2）2019＋（−2）2020＝（−2）2019×（1−2）＝22019．故选：C．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．◎考点题型3公式法——平方差公式1、概念：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.2、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．3、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．例．（2021春·湖南株洲·七年级统考期中）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可．【详解】解：A、是x2与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；B、两项的符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；C、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确；D、去括号后结果为x2，不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．变式1．（2019春·重庆·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）下列各式能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断各个选项是否满足平方差的形式，即：的形式【详解】A、C都是的形式，不符；B中，变形为：－()，括号内也是的形式，不符；D中，满足的形式，符合故选：D【点睛】本题考查平方差公式，注意在利用乘法公式时，一定要先将式子变形成符合乘法公式的形式，我们才可利用乘法公式简化计算.变式2．（2019秋·山东泰安·八年级校联考阶段练习）下列多项式能用平方差公式因式分解的是(

)A．－xy B．－4x C．－4＋ D．－－【答案】C【分析】把各选项变形，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项是平方项且符号相反，逐一判断即可.【详解】A.－xy两项不是平方项，不能用平方差公式进行因式分解，故该选项不符合题意，B.－4x两项不是平方项，不能用平方差公式进行因式分解，故该选项不符合题意，C.－4＋两项是平方项且符号相反，能用平方差公式进行因式分解，故该选项符合题意，D.－－两项是平方项但符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故该选项不符合题意，故选C.【点睛】本题考查用平方差公式法进行因式分解，熟记平方差公式的特点是解题关键.变式3．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）若正整数x、y满足，则这样的数对(x，y)个数是（

）A．个 B．1个 C．2个 D．2019个【答案】C【分析】利用平方差公式得到，由2019=1×2019=3×673列出x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解．【详解】解：∵，∴，∴或或或，解得：或或或，∵x、y为正整数，∴或，∴这样的数对(x，y)个数是2个，故选：C．【点睛】本题考查解二元一次方程组、因式分解，能利用平方差公式列出方程组是解答的关键．◎考点题型4公式法——完全平方公式1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。即，形如，的式子叫做完全平方式。【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右边是两数的和（或差）的平方。（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。2、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．3、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．例．（2023春·七年级课时练习）对多项式进行因式分解，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先去括号整理后，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：故选：C【点睛】本题考查运用完全平方公式分解因式，分解因式时一定要分解彻底．变式1．（2022·广东·九年级专题练习）若实数a、b满足，则的值是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】利用完全平方公式对条件进行变形，根据非负数的性质求出a，b的值，最后求a+b即可．【详解】解：由得：+（a﹣2b）2＝0，根据非负数的性质得：，解得：，∴a+b＝2+1＝3，故选：C．【点睛】本题考查了非负数的性质和完全平方公式进行因式分解，根据非负数的性质求出a，b的值是解题的关键．变式2．（2022秋·北京海淀·八年级校考期中）多项式与多项式的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式是．【详解】解：∵又∵∴多项式与多项式的公因式是．故选A．【点睛】本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．变式3．（2021春·全国·八年级专题练习）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断得出答案．【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；B、，故此选项错误，不符合题意；C、，故此选项错误，不符合题意；D、，故此选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．◎考点题型5平方差公式和完全平方式的综合应用例．（2019春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答案．【详解】A.x2+2x+1=(x+1)2，故该选项不属于因式分解，不符合题意，B.x2-y2=(x+y)(x-y)，故该选项因式分解错误，不符合题意，C.xy-x=x(y-1)，故该选项正确，符合题意，D.x2+2x-1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行分解，要分解到不能再分解为止．变式1．（2023春·七年级课时练习）无论、取何值，多项式的值总是（

）A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定【答案】A【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可．【详解】解：∵≥1＞0，∴多项式的值总是正数．故选：A．【点睛】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.变式2．（2022春·江苏·七年级专题练习）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（）A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a） B．（a2﹣2a+1）2C．（a﹣1）4 D．（a+1）2（a﹣1）2【答案】D【详解】（a2+1）2﹣4a2=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）=（a﹣1）2（a+1）2．故选：D．考点：因式分解-运用公式法．变式3．（2012·安徽·中考真题）下面的多项式中，能因式分解的是【

】A． B． C． D．【答案】D【详解】因式分解的条件．在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分为止．因此，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解：A、不能分解因式，故本选项错误；B、不能分解因式，故本选项错误；C、不能分解因式，故本选项错误；D、是完全平方式，故本选项正确．故选D．◎考点题型6十字相乘法1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则【注意】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.2、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.【注意】（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.例．（2023春·七年级课时练习）若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（

）A．1 B．7 C．11 D．13【答案】B【分析】将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．【详解】解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），所以a=4，b=5，c=-3，所以a-c=4-（-3）=7，故选：B．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．变式1．（2021·全国·九年级专题练习）下列各项分解因式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平方差公式对A、C进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；利用十字相乘法对D进行判断．【详解】解：A、a2−1＝（a＋1）（a−1），所以A选项错误；B、a2−4a＋2在实数范围内不能因式分解；C、−b2＋a2＝a2−b2＝（a＋b）（a−b），所以C选项正确；D、x2−2x−3＝（x−3）（x＋1），所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．也考查了公式法因式分解．变式2．（2023春·七年级课时练习）计算结果为a2﹣5a﹣6的是（）A．（a﹣6）（a+1） B．（a﹣2）（a+3） C．（a+6）（a﹣1） D．（a+2）（a﹣3）【答案】A【分析】根据十字相乘法分解因式即可．【详解】解：a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）．故选：A．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，解题关键是运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．变式3．（2020春·四川成都·八年级统考期末）下列多项式分解因式正确的是（

）A．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）C．m3﹣m＝m（m﹣1）（m＋1） D．x2＋2xy﹣y2＝（x﹣y）2【答案】C【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案．【详解】A、a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3，不符合因式分解的定义，故此选项错误；B、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；C、m3﹣m＝m（m﹣1）（m＋1），正确；D、x2＋2xy﹣y2，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了十字相乘法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．◎考点题型7分组分解法概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.【注意】分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式例．（2023春·七年级课时练习）下列多项式不能分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A、原式展开后，利用分组分解法提公因式分解即可；B、利用分组分解法，再运用公式法分解即可；C、先对前三项利用“十字相乘法”分解因式，再次利用“十字相乘法”分解因式即可；D、不能分解.【详解】A.能分解，本选项不合题意；B.=能分解，本选项不合题意；C.且∴原式能分解，本选项不合题意；D.，不能提公因式，不能用公式，不能用十字相乘法，不能分解，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了对学习过的几种分解因式的方法的记忆和理解，熟练掌握公式结构特征以及各种分解方法是解本题的关键．变式1．（2021春·八年级课时练习）用分组分解的因式，分组正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分组后应用公式法、提公因式法分解，看是否有公因式可提出或者公式法分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A.，不能分解，本选项不合题意；B.，不能分解，本选项不合题意；C.，不能分解，本选项不合题意；D.，本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了因式分解－分组分解法、公式法、提公因式法，合理分组后能继续分解是解题关键．变式2．（2023春·七年级课时练习）把xy2y1分解因式结果正确的是（

）A．xy1xy1 B．xy1xy1C．xy1xy1 D．xy1xy1【答案】A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式===故选A．【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．变式3．（2019·湖北荆门·统考中考真题）下列运算不正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．，A正确，不符合题意；，B错误，符合题意；，C正确，不符合题意；，D正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．◎考点题型8因式分解的应用例．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】各式利用题中的新定义判断即可．【详解】解：根据题中的新定义得：A．，，故推断正确；B．，，故推断不正确；C．，，故推