南阳某中学高一数学第二章函数学案和课时作业

§1生活中的变量关系

§2.1函数概念

教学目标：

通过实例，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系；使学生掌握函

数、定义域、值域、开区间、闭区间等概念，会求一个函数的定义域和值域，会根据定

义域和对应法则判定函数的相等关系

教学重点和难点：

重点：理解函数思想，用集合与对应的语言来刻画函数.

难点：符号“y=/2”的含义

教学过程：

一、导学探究

我们对函数的概念并不陌生，初中开始就学习一次函数、二次函数、正比例函数、

\,x&Q

反比例函数等等。那么，y=l,旌R是函数吗？y=是函数吗？

问题一：依赖关系和函数关系有什么联系与区别？

对实例3,储油量V对油面高度h、油面宽度W都存在依赖关系，两种依赖关系都有

函数关系吗？

1.生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函

数关系；确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另

一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量.

2.对于同一液面大小，可以有两种不同的储油量.所以储油量v与油面宽度w虽然

存在依赖关系，但储油量V却不是油面宽度W的函数.而对于每一个油面高度，都有一

个唯一的储油量与之相对应，所以储油量V是油面高度h的函数.

由此我们可得：并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于其中一个

变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系.

问题二：能否用我们初中学过的函数定义来解释上面式子中y与X的关系？

初中定义：在变化过程中，有两个变量x和y,如果给定一个x值，就有唯一确定

的y值与之对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.

解释起来很勉强。说明这个定义已经不能满足我们的需求了。我们重新用集合的观

点来定义函数.

从集合的观点出发，函数定义：

给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中的任何一个数

x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把这种对应关系f叫

做定义在A上的函数，记作f：AfB,或y=f(x),xGA.；

此时x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合｛f(x)IxWA｝叫作函数

的值域.习惯上我们称y是x的函数.

注：函数的三要素：定义域，值域，对应法则

已知函数f：A-B,{函数的定义域}与集合A,{函数的值域}与集合B是什么关系？

问题三:f(x)与f(a)间关系是怎样的？

f(x)既表示关于变量的函数，又可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，

分开没有意义；符号f可以看做是对()中的“X”施加的某种法则或运算。当a是变量时,

它们是同一个函数；当a是常数时，f(a)表示自变量x=a对应的函数值，是一个数值，一

个常量.

已知函数解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.

问题四：f(x)=3x+l(xe/?)和g(t)=3t+l'eR)是同一个函数吗？

它们表示同一个函数。两个函数只要定义域相同、对应法则相同，那么值域一定也

相同，这时称它们是同一个函数。至于自变量和对应法则用哪个符号来表示并没有区别.

问题五：区间的概念？

设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：实数a与b都叫相应区间的端点.

定义名称符号数轴表示••・

[xIaWxWb}闭区间[a,b]

ab

{x|a<x<b}开区间(a,b)

・二—

{x|aWxVb}左闭右开区间[a,b)ab

0-_k-

{x|aVxWb}左开右闭区间(a,b]ab

实数集R用区间表示为：(一8,+8),“8”读作“无穷大”，“一8”读作

“负无穷大”，“+8”读作“正无穷大”.

[a,+°°),(a,+0°)

(—8,b],却X<fc}一(—8,b).

二：典例剖析

例1.下列各式是否表示y是X的函数关系?如果是，写出这个函数的解析式：

(l)5x+2y=1(%eR)(2)xy=-3(x0)

(3)J?=l(x6(-1,0))(4)X1H-j?=1(xeR)

例2.下列函数中哪个与函数丁=尤是同一个函数？

_______2

(1)(2)y=;(3)y=-\[^;(4)y=-—

.'"x

例3、已知函数f(x)=JX+3T———

x+2

(1)求函数的定义域；(2)求f(―3),f(-)的值;

例4、(1)一次函数y=ax+b(aWO)的定义域和值域是什么？(R,R)

(2)二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的定义域和值域是什么？(定义域是R)

4〃。—4〃。一人2

当a>0时，值域B={y|y2}，当aVO时,值域B={y|yW}

4〃4〃

对于R中的任意一个数x,在B中都有唯一的数y=ax?+bx+c(aWO)和它对应。

思考：反比例函数y=上的定义域、值域是什么？

x

三、总结升华

1.两个变量之间的依赖关系和函数关系

2.集合观点下的函数概念

3.相同函数的概念

4.区间

5.常见函数的定义域和值域

四、巩固拓展

、1,

1、已知f(x)=----(xeR,且xW—1),g(x)=r+2(X£R)

x+1

(1)求f(2),g(2)的值；(2)求f(g(2))的值；(3)写出y=f(g(x)),y=g(f(x))的表达式。

(4)分别求f(x+l),f(2x-5)的解析式和定义域。

1

答案：(1)一,6(2)一(3)y=+2

(x+1)2

(4)f(x+l)=—)—定义域f(2x-5)=—!——定义域

i+22x-4

反思：由(3),可讲清楚对应法则的作用对象和自变量的区别：

作用对象,是指对应法则f后()内的整体,f要对这个整体施加作用；对应法则一旦确

定，其作用对象的取值范围就不会再变；

自变量,就是指的x.

出现f(x)时，()内正好是自变量x,所以此时自变量x的范围就是作用对象的范围;

但在f(x+l)、f(2x-5)中，作用对象分别是x+1、2x-5,就要求x+1、2x-5整体不等于T,

再据此求出相应的x范围，即为所求定义域。

已知函数解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围。

§2.2函数的表示法

教学目标:

1、理解函数的三种表示方法的区别与联系；会熟练的运用函数的三种表示方法来表

示函数；了解简单的分段函数并能简单应用；会画一些简单函数、分段函数的图像。

2、训练学生的作图基本功，落实学生作图的基本功练习.

教学重点和难点：

重点：函数的三种表示方法及应用，分段函数

难点：分段函数的表示、图像及应用。

教学过程：

一、导学探究

我们初中学习一次函数、二次函数、反比例函数的时候，我们已经接触到了函数的三

种表示方法，譬如：用列表、描点、连线的方法画出函数与的图像，其中的列

表，就可以类似的理解为列表法表示函数(当然，有序实数对比较多，我们只是找一些

能表示函数基本规律的有序实数对列举出来)；我们所画出的图像就是图像法表示函

数;为就是解析法来表示函数.

问题一：常用的函数表示方法有哪些？这些方法各有什么特点？

列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值,

这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法；

图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标

系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的

方法叫做图象法；

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，

这个数学表达式叫做函数的解析式；

相比较而言，要表示出函数中两个变量的关系，列表法比较直观、准确，能很快的

看出对应值，如银行利率表、列车时刻表；图象法形象、直观，能更直观的看出图像的

走势，如企业生产图、股市走势图；解析式法则比较准确、全面，容易研究变量之间的

关系，如我们熟悉的一次函数、二次函数等等。注意:并非所有函数都能用解析法表示，

只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才有解析式。

问题二、什么是分段函数？分段函数的定义域和值域是怎么确定的？

在定义域的不同部分，函数解析式不同的函数称为分段函数。分段函数不管分多少

段，都是一个函数，如果要做图像，要在一个坐标系下画出每一段的图像；它的定义域

是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

三、典例剖析

例1.某种笔记本的单价是5元，买x(xG{l,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试

用三种表示法表示函数y=f(x).

注意本例的设问，此处强调了函数的本质，是一种对应关系，而不是单纯指函数解

析式。它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表.

注意：o函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注

意判断一个图形是否是函数图象的依据；

®解析法：必须注明函数的定义域；

@图象法：是否连线；

⑷列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

例2.先阅读课本29页例2,再画出函数y=|2九-的图像。

例3阅读课本29页例3,注意图中各线段的特点，思考造成这种特点的原因.

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，要写成函数在不同的自变量范围内有

不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.

例4：先阅读课本30页例4,再做根据下图写出函数解析式（图是直线的一部分与抛物线

的一部分组成）

儿龙＜0

(x-l)2,x>0

注：已知函数图像求函数解析式时，常用到待定系数法。

三、总结升华

1.函数的三种表示法

2.分段函数概念及图像（画分段函数图像时，一定要注意每一段的端点是否可取）

3.三种表示方法的相互转换、（三种方法之间可以相互转换，没有哪种方法最好，只能具体问题

具体分析）

4.解析式中含有绝对值符号的函数图像画法（应用题中求函数解析式，要让自变量有实

际意义）

5.图像法经常用于求函数值域或求参数范围.

四、巩固拓展

1、已知函数＞^04^，作出函数图象，观察其值域.值域［-3,3］

2、若|内联自辛的解集是空集，求实数。的取值范围［3,M）

§2.3映射的概念

教学目标：

了解映射的概念，掌握像、原像等概念及其简单应用。

学会用集合与对应的语言来刻画映射，体会对应关系在刻画映射概念中的作用。

教学重点：映射的概念。

教学难点：函数与映射的关系。

教学过程

一、导学探究

日常生活中有很多种对应关系

1、我们学校的每个同学都有一个他（她）所在的班级与之相对应

2对任意实数a,都有一个非负实数作为它的平方与之相对应

3坐标平面内任意一点A都有唯一的有序数对（x,y）和它对应

4班里每个同学都有唯一的一组数作为他（她）的学号

这些对应关系和我们之前所学的函数有什么异同点？

问题1：什么是映射？概念中有哪些要点？

映射：两个非空集合A与B存在某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素x,

在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应

法则f）叫做集合A到集合B的映射记作：

1任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；

2有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

问题2：什么是像与原像？

像、原像：给定一个集合A到集合B的映射，且如果元素a和元素力

对应，则元素a叫做原像，元素I叫做元素。的邃，记作

问题3：已知A与｛原像｝,B与｛像｝什么关系？

A=｛原像｝,Be｛像｝

问题4：映射与函数有什么异同？

函数中，A与B必须是非空数集，

映射中，A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等等，构成集合的元素不一

定是数，任何事物都可以。

问题5：什么是一一映射？

在映射广：4^£中，不但A中的每个元素都在B中有唯一的像，而且B中每个元素

在A中都有且只有一个原像，就称该映射为一一映射。

二、典例剖析

例1.在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？(1)(6)

(1)B中的某一个元素b的原像可能不止一个；(B)A中的某一个元素a的像

可能不止一个(C)A中的两个不同元素所对应的像必不相同；

(2)B中的两个不同元素的原像可能相同

(3)对于任意两个集合A与B,都可以建立一个从集合A到集合B的映射

(4)对于两个无限集合A与B,一定不能建立一个从集合A到集合B的映射

(5)如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能

建立一个映射

(6)如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立

一个映射

例2、给定映射一^

(3,1)的原像是(5,5),(1,1)

例3、己知从A到B的映射是彳小由A到

1

C的映射----------

(2x-l)2

三、总结升华

1、映射概念，像与原像

2、---映射，映射与函数的关系.

四、巩固拓展

1、已知到集合B={3,4,5)的映射，则这样的映射有多少个？从B

到A的映射有多少个？共有3'个从A到B的映射，23个从B到A的映射

从含有m个元素的集合到含有个n元素的集合，最多可以构成H个映射.

2、已知A={a,dc},3={—1,0,1},/是从集合A到B的映射，且满足

f(a)+f(b)+f(c)=0,求映射了:Af3的个数.(7个)

3、(本例学案没有)A={T,0,1},B={-2,T,O,l,2},f:AfB满足：对每一个xeA,

x+f(x)恒为奇数，这样的f:AfB有多少个？

解:x=T时，x+f(x)为奇数，则f(T)为偶数，可有三种选择:-2,0,2；

x=l时，x+f(x)为奇数,则f(l)为偶数，可有三种选择：-2,0,2；

x=0时，x+f(x)为奇数，则f(0)为奇数，可有两种选择：1,-1；

共有3x3x2=18个满足条件的映射.

函数的定义域

学习目标：会求函数定义域.

学习重点：求函数定义域.

学习难点：对函数定义域的理解

一、具体函数求定义域

例1.已知函数y=J3x—2+——，求它的定义域答案：[―,l)U(l,+s)

x-13

二、抽象函数求定义域

例2：(1)已知/(x)的定义域为[1,4),求/'(一)的定义域

M：由<4,.•.得一2<x<一1或l<x<2

・••)(炉)的定义域为(-2,-l]U[l,2)

(2)己知/(/)的定义域为的定义域为[1,4],求/⑴的定义域[-2,-1]o[1,2]

(3)已知/(一)的定义域为的定义域为[1,4],求/(2x+l)的定义域0,y

(4)若y=/(x)的定义域是[0,1,则函数〃x+l)+人2x—)的定义域是

(5)已知/⑴的定义域+b>0求g(x)=/(x)-/(-x)的定义域

a=0时{0},a<0时[-a,«],a>0时不符合题意

三、求实际问题函数的定义域

例3,用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架。若矩形底边长为2x,求此

框架围成的面积y与X的函数关系式y=/(x),并求其定义域。

1-1X-7CX

解:QAB=2%,则也）="尤,AD=

2

1-2x-71X7TX2

y=2x+----

22

即y=一%；4%2+£

2x>0

QAB>0,AZ)>0得<1—2x—nx

---------->0

I2

解为0<x<-^—

2+〃

故定义域为(0,^—)

2+%

四、定义域的应用问题

2kx-^

例4.已知函数丁=———--的定义域为全体实数，求k的值。

k2x2+3kx+l

解：1)攵=0,y=—8,定义域为R

2)左70时,左2〉o,要使42/+3履+1/0

贝I△=9公—4k2<0,即5左2<0此时左无解

.•.左=0时，函数的定义域为R。

总结归纳：对函数定义域的理解

求函数的解析式

学习目标：会求函数解析式

学习重点：求函数解析式

学习难点：函数解析式的各种求法

一、根据图象求解析式

例1.函数/(x)的图象如图示求/(x)的解析式。“

r\fz

-2x+3(x<-3);---p-----

/(%)=8(-3<X<5)II

2x-2(x>5)F—r厂不

二、求抽象函数解析式

例2.已知/(x+l)=%2-3x+2,求f(x)f(x)^x2-5x+6(配方法或换元法)

例3.已知/(x)是一次函数，且满足/{/"(切}=8%+7,求/(无)。

/(x)=2x+l(待定系数法)

2

例4.已知人x)满足2/(x)—3/(—x)=2x求/'(X)例x)=gx(构造方程组法)

例5.定义域为R函数/(%)满足/(0)=1,且对于任意的实数a,b都有

/(«-&)=f(a)-b(2a-b+l),求/(x)。

解:a=b=%,/(0)=f{x］-x(2x—x+V)

Q7(0)=1,1=f(x)-x(2x-x+1),f(x)=x2+x+l此法叫特殊值法

三、根据实际问题求函数解析式

例：已知A、B两地相距150KM,某汽车以每小时50km的速度从A地到B地，在B地

停留2小时。又以每小时60km的速度返回A地，写出该汽车离A地的距离关于时间的

函数解析式。

50x(0<%<3)

y=J150(3<x<5)

-60x+450(5<%<y)

汪：(定义域［0,葭］)

函数值域

一、求函数值域常用方法：观察性，换元法，判别式法，数形结合法。配方法等。

例1.求下列函数的值域

①y=3+Jl—2xz)x<^-;1+,+ooii)x<[3,+co)

@y=2x~-4x+5i)-2<x<2[3,5]ii)x>3[11,-KO)zn)xeR[3,-KO)

③y=2x—5+J15—4x(y<3)换元法

1

@y=—----（y<-；或y>0）（判别式法或二次函数配方法）

炉-2x-3

5x+3(x<0)

⑤求函数f(x)=<x+3(0<x<1)的最大值1=4)

-x+5(x>1)

./八一»*、+、21-1M'+D33

解：(分禺常数法)y=-----=-V-----

X+1-X+l-X+l

——一)^值域为{ylyw2}

j+1-

变：若规定x»2呢？{y|l<y<2.}

,2J3+3ix~2

⑦尸

（化简约分法）（注意等价化简）

则ywgjlywl,值域为{ylywgjlywl}

2Y2—YI2

⑧y=—判别式法：•••/+x+1>0恒成立，...函数的定义域为R。

'x+X+1

2Y2—Y+2

由>=—-------得：(y—2)厂+(y+l)x+y—2=0①

x+x+l'''

①当y—2=0即y=2时，①即3无+0=0,...x=0wH

②当y—2w0即yw2时，：xeR时方程(y—2)f+(y+l)x+y—2=0恒有实

根，

/.△=(y+l)2-4x(_y-2)2>0,

lKyK5且yw2,

.♦•原函数的值域为［1,5］。

二、函数值域的应用

,,,1\a,a>b

例2.对己max{a,b}={，函=max{|x+l|,|x-2|}

b,a<b

3

(xeR),求函数的最小值一(数形结合)

2

例3.已知关于x的方程—Y+l+a-x=0在(0,1］上有关实数解，求a的取值范围，

a-x2+x-1ae(-1,1］(转化思想)

例4.已知对于任意的实数无，不等式|x—5|+|x+3|>a恒成立，求a的范围。

(a<8)

三：总结归纳：函数值域的各种求法和应用

二次函数性质的再研究

4.1二次函数的图像

教学目标：

知识与技能：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用；领会二次函数图像移动的方

法

过程与方法：通过研究二次函数图象提高学生的逻辑思维能力，渗透数形结合思想

情感态度价值观：用联系的观点看问题，渗透由特殊到一般的思维，能准确寻求事

物的一般规律

教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用

教学难点：领会二次函数图像移动的方法

教学方法：逐层推进

教学过程：

一.问题探究

在初中，我们已经学过了而二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图象的开口方

向，对称轴，顶点等特征。

1、二次函数：形如y=ax?+bx+c(a#0)的函数称为二次函数，其定义域是R。

2、二次函数的解析氐：

①一般式：y=ax2+bx+c(a#0)；

②顶点式：y=a(x+2y+"其中顶点的坐标为(-2,处土)；

2a4a2a4a

③零点式(两根式)：y=a(x—xi)(x,一X2)(a^O),其中，xi>X2是函数y=ax?+

bx+c(a^O)的零点(或是方程ax2+bx+c=0的两个根)。

3、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线.

4、三个“二次”的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根xi、X2是函数y=ax2

+bx+c(a^O)的两个零点，也是对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解集

的端点。

下面我们进一步研究一般的二次函数/(%)=ax?+bx=c(aw0)

问题探究1：y=V和y=奴2(。/0)的图像之间有什么关系？

在同一坐标系中做出下列函数的图像；y=x2;y=2x2；

观察发现：

22

1.二次函数y=ax(aM)的图像可由的y=x图像各点纵坐标变为原来的a倍得到.

2.a决定了图像的开口方向：a>o开口向上，a〈0开口向下.

3.a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小：|a|越小图像开口就越大

问题探究2：y=o?(awo)和y=。(工+丸了+左,(。彳0)的图像之间有什么关系？

在同一坐标系中做出下列函数的图像：

>=2/.y=26+I2)；y=2(r+l2)-

观察发现：

9

二次函数y=a(x+h)+k(aM),a决定了二次函数图像的开口大小及方向；

而且“a正开口向上，a负开口向下"；越大开口越小；

h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；

k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。

问题探究3：丁=奴2(。/0),和y=+法+(?(。w0)的图像之间有什么关系？

观察发现：一般的，二次函数丁=⑪2+法+。3/0),通过配方就可以得到它的恒等

形式：y=a(x+/z)2+左,(。/0)。从而知道，由丁=。必(。/0)的图像经

过平移就可以得到y=ax2+bx+c(aw0)»

问题探究4：函数y=/(x),y=f(x+a\y=/(x)+a图象之间的关系

以a〉0为例，如果a<0,则方向正好相反

y=f(x)-y=f(x+a)【向左平移a个单位】

y=f(x)-*y=f(x)+a［再向上移动a个单位】

问题探究5：函数y=/(%),丁=/卜)y=|/(X)图象之间的关系

将y=f(x)的y轴左侧的图像变成与y轴右侧图像对称。简单的说就是把当x>0的图像按y

对称复制到x<0时。因为：y=f(|x|)本身关于y轴对称(f(x)=f(-x))

将y=f(x)在X轴下方的图像翻折到上方

问题探究6：函数y=/(%),y=y=y=-/(一工图象之间的关系

y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称，y=f(x)与y=-f(-x)关于原点

对称

二.典例剖析

题型一：求二次函数的解析式

例1.已知二次函数f(x)满足f(2)=一1,f(―1)=—1,且f(x)的最大值是8,

试求f(X)。

解答：

法一：利用二次函数的一般式方程

设f(xe)=ax2+bx+c(ar0),由题意

4〃+2Z?+c=-la=-4

<a—b+c=—l=<b=4

4ac-b2c=Q

------------=8oi

、4〃

2

故得f(x)=-4x+4x+7o

法二：利用二次函数的顶点式方程

设f(x)=a(x—m)2+n

由f(2)=f(-1)可知其对称轴方程为x=2+D=.,故m=4；

222

又由f(x)的最大值是8可知，a<0且n=8；

由f(2)=—1可解得a=-4。

故/(x)=-4(x—gy+8=-4x2+4x+7。

法三：利用-二次函数的零点式方程

由f(2)=-1,f(—1)=—1可知f(x)=-1的两根为2和一1,故可设F(x)

=f(x)+l=a(x—2)(x+l)o又由f(x)的最大值是8可知F(x)的最大值是9,

从而解得a=-4或。(舍)。

所以f(x)=-4x2+4x+7o

说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代

入求待定系数。

题型二：二次函数的图像变换

例2：:(1)下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为(4),(2),(3),(1).

2

(2)将二次函数y=3x的图像平行移动，顶点移到(一3,2)，则它的解析式为Y=3(x+3)

2

+2o

(3)二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数

29

g(x)=x+1,f(x)图像的顶点为⑶2),则f(x)的表达式为Y=(x-3)+2。

99

(4)由y=3(x+2)+4的图像经过怎样的平移变换，可以得到y=3x的图像.

右移2单位，下移4单位

2

(5)把函数y=x-2x的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图像对应的函

222

数解析式为：Y=(x12)-2(x-2)-3=x-6x+5=(x~~3)-4。

题型三：二次函数的图像的应用

例3.(1)已知函数f(x)=4x2—mx+5在区间［—2,+oo)上是增函数，则f(1)的

范围是()

A.f(1)>25B.f(1)=25C.f(1)<25D.f(1)>25

解答：函数f(x)=4x2—mx+5在区间［-2,+8)上是增函数，则区间［-2,+oo)

m

必在对称轴的右侧，从而一<-2^>m<-16,故f(1)=9—m>25o选A。

8

说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。

(2)试讨论y=|/-2%-3|与y=a的交点个数

当a〈0时，无交点；当a=0时，有两个交点；当l<a<4时，有四个；当a=4时，有三个,

当a>4时，有三个。

三.总结归纳

2

1.a,h,k对二次函数y=a(x+h)+k图像的影响。

22

2.y=x与y=a(x+h)+k的图像变换规律。

3.二次函数图像的应用

四、巩固拓展

已知t为常数，函数y=-—2%—在区间［0,3］上的最大值为2,贝ijt

________________O

解答：作出y=X?-2x—的图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax=f(3)=2

可解得t=l；IL若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即

可得到V=|九2-2%—的图像，贝Ijymax=f(1)或ymax=f(3),解得t=—3或t=l,经

检验，t=l。综上所述，t=l。

4.2二次函数的性质

教学目标

1.知识与技能

进一步掌握二次函数卡办2+bx+c（aW0）的图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值

的求法。

培养学生的观察分析能力，由特殊到一般的归纳能力，引导学生会用数形结合的方法研

究问题。

2.过程与方法

从感性认识入手升华到理性认识，结合精心设计的问题，引导学生思考，探索，在解决

问题中建构新知。

3.情感、态度与价值观

通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；通过合作学习，培养学生团结协作的思

想品质。

教学重点：运用配方法研究二次函数的性质

教学难点：二次函数性质的实际应用

教学过程

一、探究新知

导入：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一（如图），制造时一般是期望在它达到最高点（大

约在是距地面高度25m到30m处）时爆裂，如果在距地面高莞为18m的地方点火，并且

烟花冲出的速度是14.7m/s,问烟花冲出后什么时候是它爆烈的最佳时期？这时距地面的

高荒是多少？

这是一个什么样的函数？我们如何解决这个问题，也就是本节要讨论的二次函数的图像

与性质。

问题探究1：研究二次函数丁=。必（。/0）的单调性，对称性，最值与图象开口方向，对

称轴与顶点坐标

（1）顶点坐标为0,0）,对称轴为直缀=0

⑵象关于y轴对称

C）当苏0时，开口向上，江-8,0］上为减函数，省0,+8）上为增函数，有最小值）

当a〈00寸，开口向下，曲-oo,0］上为增函数，由0,+oo）上为减函数，有最大值）

问题探究2：把抽象的字母形式的二次函数产办^bx+cmWO）表示成顶点式，对照

性质从图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最值方面概括

严加+队+（:。#0）的图象及性质。

学生充分讨论.从形与数两方面进行抽象概括。

①开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

②顶点坐标：（-2,处二欧）；

2a4〃

b

③对称轴方程：x=----；

2a

④开口大小：a值越大，开口越小；a值越小，开口越大；

bb

⑤单调性：若a>0,单调增区间为（——，+oo）,单调减区间为（-8,——）；若a<0,

2a2a

bb

单调增区间为（一8,——）,单调减区间为（——，+oo）；

2a2a

.学生阅读教材第44页证明部分进一步理解和巩固二次函数的性质。

二、典例剖析

题型一：二次函数的最值问题

例1.学生自学教材例2

并思考变式题，求函数丁=-3/—6；1+1,16［-2,5］的最值。

解:y=-3x2-6x+l=-3（x+1）2+4

函数在区间-2,-1止为增函数，在区间-1,5］上为减函数

；.x=-1时函数有最大值，最大直为4

x=5时函数有最小值，最〃值为-104

评注：考虑y=-3--6x+l在区间［-2,5］上的单调性进一步解决最值：存在最大

值还是最小值，或是都存在。

例2：求生）=/_2公+2在［2,4］上的最值

•・•/（x）的对称轴是c=a,可分为以下三种情况

（1）当a〈2时，/（x庭［2,4］上为增函数,二./（》皤=拉）=6-4。；

⑵当2Wa<4时，/（a）为最小值，=2-a2-,

（3）当a〉4时，/（%应［2,4］上为减函数,:./（》）111也=/⑷=18-8a

最大值为/■⑵与/（4）中较大者：/（2）-/（4）=（6-4a）-（18-8o）=12+4t7

（1）当a23时，"2）2/（4）,则=/⑵=6-4a

（2）当a〈3时，/（2»（4）,>Wmax=/（4）=18-8tz

例3：求函数y=fVxVf+1)的最小值g(t)的表达式。

解：y=/一2x-1=(x—I?一2，对称轴为直线x=1

⑴当Yl4f+1,即04区1时，y在尤=1处取得最小值:.g⑺=-2

⑵当时，函数在，，［+1］上为增函数,:.、在兀=处取得最小值，

即g«)=/_2(_i

(3)1>/+1,即t<0时，函数在/+1］上为减函数,y在x=t+l处取得最小值

即g⑺=/一2

?-2(/<0)

.-.g(r)=<-2(0<r<l)

题型二：方程的根或函数零点的分布问题

例4.已知二次方程/+(相_1.+。_2=0的一个根比1大，另一个根比1小，试求。的

取值范围。

解答：设/(>)=炉+(/—l)x+a—2,贝U/Q&=。".2<0>2<<d；

例5当加为何实数时，关于工的方程必—2(根+2)%+根2—1=0

(D有两个正实根；

(II)有一个正实根，一个负实根。

解答：⑴设/00=炉—2(M+2)X+7〃2—1,由方程有两个正实根，结合图像可知:

f(0)>0m2—1>0

_5、

<A>0n<4(切+2)2—4(7772—1)>0=>—<m<—1或加>1

4

m+2>0m+2>0

(ID设/(x)=必-2(m+2)x+7〃2-i,结合图像可知：

y(o)<0

4=>4=4>—1<m<1

A>0［40+2)2—4(疗—1)〉0

说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图

像，考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。

题型三：二次函数的实际应用问题

例6.教材例3

这是一道实际应用型的题目，要从中让学生初步体验解应用题的规律和方法。

评注：解题方法是读题一一找关键字一一抽象成数学模型一一求数学模型的解一一

作答.

例7.补充例题

北京某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满，为迎接2008年奥

运公司提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，

若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

学生探求解题思路，自己动手解题，教师适时指导.

三.总结归纳

1、知识：二次函数图象与性质的有关结论

2.方法：研究二次函数的主要方法：配方法

3.思想：(1)函数与方程的思想：研究二次函数零点、最值等问题可以借助方程的思

想，研究方程根的分布、二次函数的应用等问题可以借助函数的思想，二者相互渗透；

(2)数形结合的思想：利用数形结合可以很方便地处理方程根的分布、函数的单调

性、值域和最值及某些求参数范围的问题。

(3)分类讨论的思想：对含有参数的二次函数的值域或最值的求解、单调性的研究

等往往要进行分类讨论。

4.解实际应用型题目的步骤与方法：读题一一找关键字一一抽象成数学模型一一求数

学模型的解一一作答.

5.简单的幕函数(1)

【教学目标】

(1)了解塞函数的概念，理解塞函数的图像特征和简单性质.

(2)掌握塞函数的定义域、值域的求法.

(3)理解募函数的单调性、奇偶性及其应用.

(4)结合具体函数、理解奇偶性定义，并能理解奇偶函数的图像特征.

(5)会判断函数的奇偶性，能熟练运用函数的奇偶性解决一些函数的问题。

【教学重点】嘉函数的概念、图像和性质；函数的奇偶性及应用.

【教学难点】嘉函数的图像与性质的灵活运用，塞函数图像的分布规律；函

数奇偶性的应用.

【教学过程】

一、创设情景

我们已经熟悉y=x是正比例函数，y=L(y=x。是反比例函数，>=/是

二次函数，从形式上看，他们只是指数不同

二、探究新知

问题探究1：根据上述函数形式上的特点，引出密函数概念

然函数的定义：一般地，函数丁=/叫做塞函数，其中x为自变量，a为常数.

注意：(1)寝函数y=炉中为变量的是底数x,而指数a为常数.

(2)形如y=(2x)a,y=x"+2等形式的函数不是暴函数.

(3)幕函数y=廿中的a为任意实数.

(4)在定义中没有规定塞函数的定义域，但不意味着定义域不用研究，只是因为指数

a的取值不一样，塞函数的定义域也不一样，如定义域为［0,+°°),

定义域为(一8,0)U(0,+8).

练习：判断下列函数是否为塞函数？

(l)y=%4(2)y=2x2(3)y=-x3(4)y=^(5)y=2x3”

X

问题探究2：分别作出函数y=x,丁=必，y=/,y=『，y=x?的图象

并观察函数图象，将你发现的结论写在下表内：

1

23-i

y二%y=xy=xy=y=x

定义域

值域

对称性

单调性

定点

根据上表的内容并结合图象，试总结函数y=x,>=必，y=x3,y=x\

>=%2的共同性质.

归纳：

⑴函数y=x,y=x2,y=d,y=x2和y=》T的图象都通过点(1,1)；

(2)函数y=x,y=V,y=/关于原点对称，函数y=必关于y抽对称；

(3)在区间(0,+8)上，函数y=x,y=x2,y=V和y=R都是增函数，函

数丁=/是减函数；

(4)在第一象限内，函数y的图象向上与y轴无限接近，向右与X轴无

限接近。

问题探究3：通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的辱函

数的性质吗？

1.一般地，当a>0时，塞函数y=x«有下列性质：

(1)图像都通过点(0,0),(1,1);

(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

(3)在第一象限内，a>l时，图像是向下凸的；0<a<l时，图像是向上凸的；

(4)在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展.