人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 3.1.1函数的概念及其表示（原卷版）

第第页3.1.1函数的概念课程标准学习目标①函数的概念；②了解函数的三要素；③掌握简单函数的定义域；④掌握求函数的值；⑤掌握区间的写法.通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域.知识点01：函数的概念1、初中学习的函数的传统定义设在一个变化的过程中，有两个变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如果给定了一个SKIPIF1<0值，相应地就有唯一确定的一个SKIPIF1<0值与之对应，那么我们就称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的函数，其中SKIPIF1<0是自变量，SKIPIF1<0是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系.2、函数的近代定义一般地，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非空的实数集，如果对于集合SKIPIF1<0中的任意一个数SKIPIF1<0，按照某种确定的对应关系SKIPIF1<0，在集合SKIPIF1<0中都有唯一确定的数SKIPIF1<0和它对应，那么就称SKIPIF1<0为从集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的一个函数(function)，记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0叫做自变量，SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0叫做函数的定义域；与SKIPIF1<0的值相对应的SKIPIF1<0值叫做函数值，函数值的集合SKIPIF1<0叫做函数的值域．显然，值域是集合SKIPIF1<0的子集.函数的四个特征：①非空性：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.【即学即练1】（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（

）A．

B．

C．

D．

知识点02：函数的三要素1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．2、对应关系：对应关系SKIPIF1<0是函数的核心，它是对自变量SKIPIF1<0实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：与SKIPIF1<0的值相对应的SKIPIF1<0值叫做函数值，函数值的集合SKIPIF1<0叫做函数的值域(range).【即学即练2】函数SKIPIF1<0的定义域为______．知识点03：函数相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.【即学即练3】下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0知识点04：区间的概念1区间的概念设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是实数，且SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的全体，叫做闭区间，记作SKIPIF1<0，即，SKIPIF1<0。如图：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02含有无穷大的表示全体实数也可用区间表示为SKIPIF1<0，符号“SKIPIF1<0”读作“正无穷大”，“SKIPIF1<0”读作“负无穷大”，即SKIPIF1<0。集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练4】已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型01函数关系的判断【典例1】若函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象可能是（

）A． B．C． D．【典例2】已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列对应关系中，从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的函数为（

）A．f：SKIPIF1<0 B．f：SKIPIF1<0C．f：SKIPIF1<0 D．f：SKIPIF1<0【变式1】（多选）下列对应中是函数的是（

）．A．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，其中y为不大于x的最大整数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0题型02集合与区间的转化【典例1】已知全集SKIPIF1<0,集合SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】若集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型03同一个函数【典例1】下列各组函数表示相同函数的是（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【典例2】（多选）下面各组函数表示同一函数的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【变式1】下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0题型04求函数值【典例1】若函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．【典例2】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝______．【变式1】设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）计算：SKIPIF1<0____________；（2）计算：SKIPIF1<0____________．题型05根据函数值请求自变量或参数【典例1】若函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则此函数的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）若函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，则区间SKIPIF1<0可能为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型06函数的定义域（具体函数的定义域）【典例1】已知函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】函数SKIPIF1<0的定义域为______．【变式1】函数SKIPIF1<0的定义域为________.题型07函数的定义域（抽象函数的定义域）【典例1】已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______.【典例2】若SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定义域．【变式1】（1）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______．（2）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______．题型08函数的定义域（复合函数的定义域）【典例1】若函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0）的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（）A．（SKIPIF1<0，4）B．[SKIPIF1<0，4）C．（SKIPIF1<0，6）D．（SKIPIF1<0，2）【变式1】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______.题型09函数的定义域（实际问题中的定义域）【典例1】已知等腰三角形的周长为SKIPIF1<0，底边长SKIPIF1<0是腰长SKIPIF1<0的函数，则函数的定义域为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】周长为定值SKIPIF1<0的矩形，它的面积SKIPIF1<0是这个矩形的一边长SKIPIF1<0的函数，则这个函数的定义域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为SKIPIF1<0（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______.题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域）【典例1】函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】求下列函数的定义域、值域，并画出图象：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0．【变式1】例题3．求下列函数的值域.(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.题型11函数的值域（根式型函数的值域）【典例1】函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】求函数SKIPIF1<0的值域为_________.【变式1】函数SKIPIF1<0的值域是___________.题型12函数的值域（分式型函数的值域）【典例1】函数ySKIPIF1<0的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞）C．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞） D．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞）【典例2】（1）求函数SKIPIF1<0的值域；（2）求函数SKIPIF1<0的值域.【变式1】求函数SKIPIF1<0的值域______________．【变式2】函数SKIPIF1<0的值域是___________.题型13根据函数的值域求定义域【典例1】已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则其定义域可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（多选）若函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，则区间SKIPIF1<0可能为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型14重点方法之换元法求值域【典例1】函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】求函数SKIPIF1<0的值域.题型15重点方法之分离常数法求值域【典例1】求函数SKIPIF1<0的值域.【典例2】求下列函数的值域：SKIPIF1<0题型16数学思想方法（数形结合的思想方法）【典例1】已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】若函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，则其值域为（

）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0题型17易错题（换元必换范围）【典例1】求下列函数的值域：SKIPIF1<0．【典例2】函数SKIPIF1<0的值域为___________．3.1.1函数的概念A夯实基础一、单选题1．已知函数SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值（

）A．3 B．5 C．72．函数SKIPIF1<0的定义域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<03．下列各函数中，与函数SKIPIF1<0表示同一函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知高斯取整函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．下表给出了x与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对应关系，根据表格可知SKIPIF1<0的值为（

）x1234x1234SKIPIF1<03142SKIPIF1<04321A．1 B．2 C．3 D．46．下列对应是从集合A到集合B的函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．若函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域是（

）A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）8．函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．若函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结果正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合M＝{SKIPIF1<01，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题11．设二次函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是____________．12．函数SKIPIF1<0的值域为___________．四、解答题13．已知函数SKIPIF1<0的定义域为A，集合SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求a的取值范围.14．已知函数SKIPIF1<0的值域为[1，3]，求SKIPIF1<0的值B能力提升1．若函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．函数SKIPIF1<0的值域为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数．例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)求证：SKIPIF1<0的定值；(3)求SKIPIF1<0的值．C综合素养1．欧拉函数SKIPIF1<0的函数值等于所有不超过正整数SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0互素的正整数的个数，例如，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（多选）对于定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，若同时满足下列条件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0函数”.下列结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0函数”，则其图象恒过定点SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是“SKIPIF1<0函数”C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是“SKIPIF1<0函数”（SKIPIF1<0表示不大于SKIPIF1<0的最大整数）D．若SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0函数”，则SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0上的增函数3．已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.4．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（Ⅰ）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定义域；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0为“同域函数”，求实数SKIPIF1<0的值；（Ⅲ）若存在实数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为“同域函数”，求实数SKIPIF1<0的取值范围.

3.1.2函数的表示法课程标准学习目标①了解函数的三种表示方法及特点；②掌握求函数解析式的常用方法③了解与认识分段函数及其定义域④会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质.通过本节课的学习，熟练掌握函数的三种表示方法，会求函数的解析式，掌握分段函数的解析法与图象法的表示方法与性质.知识点01：函数的表示法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点缺点联系解析法①简明、全面的概括了变量之间的关系；②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值；③便于利用解析式研究函数的性质；①并不是所有的函数都有解析式；②不能直观地观察到函数的变化规律；解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．图象法①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势；②可以直接应用图象来研究函数的性质；①并不是所有的函数都能画出图象；②不能精确地求出某一自变量相应的函数值；列表法①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值；①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系；②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律；知识点02：求函数解析式1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．2、换元法：主要用于解决已知SKIPIF1<0这类复合函数的解析式，求函数SKIPIF1<0的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.3、配凑法：由已知条件SKIPIF1<0，可将SKIPIF1<0改写成关于SKIPIF1<0的表达式，4、方程组（消去）法：主要解决已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0……的方程，求SKIPIF1<0解析式。【即学即练1】已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0_______，SKIPIF1<0=_______．知识点03：分段函数对于函数SKIPIF1<0，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数SKIPIF1<0叫分段函数．注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．【即学即练2】已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．知识点04：函数的图象1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0注：左右平移只能单独一个SKIPIF1<0加或者减，注意当SKIPIF1<0前系数不为1,需将系数提取到外面.2、函数图象的对称变换①SKIPIF1<0的图象SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象；②SKIPIF1<0的图象SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象；③SKIPIF1<0的图象SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象；3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）①SKIPIF1<0的图象SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象；（口诀；以SKIPIF1<0轴为界，保留SKIPIF1<0轴上方的图象；将SKIPIF1<0轴下方的图象翻折到SKIPIF1<0轴上方）②SKIPIF1<0的图象SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象.（口诀；以SKIPIF1<0轴为界，去掉SKIPIF1<0轴左侧的图象，保留SKIPIF1<0轴右侧的图象；将SKIPIF1<0轴右侧图象翻折到SKIPIF1<0轴左侧；本质是个偶函数）【即学即练3】函数SKIPIF1<0的部分图象大致是（

）A．B．C．D．题型01函数的三种表示法的应用【典例1】已知边长为1的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0边上沿SKIPIF1<0运动．设点SKIPIF1<0经过的路程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数图象大致为图中的（）A．

B．

C．

D．

【典例2】如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别由下表给出，SKIPIF1<0012SKIPIF1<0121SKIPIF1<0012SKIPIF1<0210则SKIPIF1<0_____________；满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的值是_____________．【变式1】如图，SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，点SKIPIF1<0由点SKIPIF1<0沿线段SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0移动，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，记位于直线SKIPIF1<0左侧的图形的面积为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系的图象大致是（

）A．B．C．D．【变式2】某校要召开学生代表大会，规定各班每SKIPIF1<0人推选一名代表，当班人数除以SKIPIF1<0的余数大于SKIPIF1<0时，再增选一名代表，则各班推选代表人数SKIPIF1<0与该班人数SKIPIF1<0之间的函数关系用取整函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示不大于SKIPIF1<0的最大整数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）可表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型02求函数的解析式（待定系数法）【典例1】（多选）已知函数SKIPIF1<0是一次函数，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解析式可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】若二次函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的表达式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型03求函数的解析式（换元法）【典例1】已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的解析式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.题型04求函数的解析式（配凑法）【典例1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．【典例2】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．6 B．3 C．11 D．10题型05求函数的解析式（方程组（消去）法）【典例1】已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0均满足：SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0解析式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式【变式1】已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)设函数SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数m的取值范围．题型06求函数的解析式（赋值法求抽象函数的解析式）【典例1】定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，并且对任意实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式.【典例2】已知函数SKIPIF1<0满足：对一切实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，且SKIPIF1<0．求函数SKIPIF1<0的表达式；【变式1】写出一个满足：SKIPIF1<0的函数解析式为______.【变式2】已知函数SKIPIF1<0对一切的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）求SKIPIF1<0的解析式；（3）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域.题型07分段函数（求分段函数的值）【典例1】已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【典例2】已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______.题型08分段函数（已知分段函数的值求参数）【典例1】已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为1，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0无最大值，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】已知函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是________．题型09分段函数（分段函数的值域或最值）【典例1】函数SKIPIF1<0的最小值是__________.【典例2】已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【变式1】（多选）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在最小值时，实数SKIPIF1<0的值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1题型10分段函数（解分段不等式）【典例1】设SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】函数SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集___________.【变式1】已知SKIPIF1<0,则使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的最小值；(2)若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，求k的取值范围.题型11函数图象（函数图象识别）【典例1】设SKIPIF1<0均为非零实数，则直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在同一坐标系下的图形可能是（

）．A．B．C．D．【典例2】函数SKIPIF1<0的图象大致形状是（

）A．B．C．D．【变式1】已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图像是（

）A．B．C．D．题型12函数图象（画出具体函数图象）【典例1】给定函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)在所给坐标系（1）中画出函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大致图象；（不需列表，直接画出.）(2)SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的较小者，记为SKIPIF1<0，请分别用解析法和图象法表示函数SKIPIF1<0.（SKIPIF1<0的图象画在坐标系（2）中）(3)直接写出函数SKIPIF1<0的值域.【典例2】已知函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；（2）画出函数的图象并写出函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值域；（3）若函数SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上最大值.【变式1】已知函数SKIPIF1<0，其中[x]表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，例如SKIPIF1<0(1)将SKIPIF1<0的解析式写成分段函数的形式;(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数SKIPIF1<0的图象;(3)根据图象写出函数SKIPIF1<0的值域.题型13函数图象（根据实际问题做出函数图象）【典例1】如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度SKIPIF1<0（单位：米/分钟）与时间SKIPIF1<0（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”SKIPIF1<0为无人机在时间段SKIPIF1<0内的最大速度与最小速度的差，则SKIPIF1<0的图像为（

）A．B．C．D．【典例2】如图，点SKIPIF1<0在边长为1的正方形的边上运动，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则当SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0运动时，点SKIPIF1<0经过的路程SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0的图象大致是下图中的A．B．C．D．【变式1】如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从SKIPIF1<0点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为SKIPIF1<0)，则小明到SKIPIF1<0点的直线距离SKIPIF1<0与他从SKIPIF1<0点出发后运动的时间SKIPIF1<0之间的函数图象大致是（

）A．B．C．D．题型14函数图象（函数图象的变换）【典例1】（多选）下列函数图像经过变换后，过原点的是（

）A．SKIPIF1<0向右平移SKIPIF1<0个单位 B．SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0个单位C．SKIPIF1<0向上平移SKIPIF1<0个单位 D．SKIPIF1<0向下平移SKIPIF1<0个单位【典例2】已知函数SKIPIF1<0定义在SKIPIF1<0上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：

(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0.【变式1】将函数SKIPIF1<0的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型15函数图象（根据图象选择解析式）【典例1】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】若函数SKIPIF1<0的大致图象如图所示，则SKIPIF1<0的解析式可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】已知某函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0题型16新定义（新文化题）【典例1】十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”SKIPIF1<0它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数SKIPIF1<0，则下列实数不属于函数SKIPIF1<0值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【典例2】黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数SKIPIF1<0为：当SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数，SKIPIF1<0是既约真分数）时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的无理数时SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是区间SKIPIF1<0内的实数，则下列不等式一定正确的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数SKIPIF1<0，符号SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义函数SKIPIF1<0，则下列命题中正确的序号是________．①函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；

②函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；③函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有无数个交点

④SKIPIF1<0题型17重点方法（换元法）【典例1】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝________.【典例2】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【变式2】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.题型18重点方法（消去法）【典例1】若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．2 C．3 D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【变式1】已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的解析式为___________.题型19数学思想方法（数形结合法）【典例1】（多选