2024-2025学年四川省绵阳市涪城区九年级（上）入学数学试卷（含详解）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省绵阳市涪城区九年级（上）入学数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列式子中属于最简二次根式的是(

)A.7 B.9 C.402.某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，x，6，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是(

)A.5 B.5.5 C.6 D.73.下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(

)A.7、23、25 B.3、4、5 C.3、2、1 D.0.5、1.2、4.二次根式3−2x有意义时，x的取值范围是(

)A.x≤32 B.x<32 C.5.已知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，则m的取值范围是(

)A.m<0 B.m≤0 C.m≥0 D.m>06.下列等式从左到右的变形过程正确的是(

)A.a−b=(a+b)(a−7.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列能判断四边形ABCD是平行四边形的是(

)A.OA=OC，AB=CD B.AB//CD，∠BAC=∠ACD

C.∠BAD=∠BCD，AB//CD D.AB=CD，AD//BC8.如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为(    )nmile．A.53

B.153

C.9.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论①∠ACE=30°，②OE//DA，③S▱ABCD=AC⋅AD，④CE⊥DB.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=−x，直线l2与l1交于B(a,−a)，与y轴交于点A(0,b).其中a、b满足(a+2)2+b−3=0，那么，下列说法：

(1)B点坐标是(−2,2)；

(2)三角形ABO的面积是3；

(3)S△OBC：S△AOB=2：1；A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11.如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段AB，OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为(

)A.(−1,0)

B.(−2,0)

C.(−3,0)

D.(−4,0)12.如图所示，以Rt△ABC的直角边AC向△ABC外构造等边△ACD，E为AB的中点，连接CE、DE，∠ACB=90，∠ABC=30°.下列结论：①AC⊥DE；②四边形BCDE是平行四边形；③四边形ADCE是菱形；④S四边形BCDE=3A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13.4的算术平方根是______．14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、DE，若CD=6.5，AC=12，则DE=______．15.若直线y1=12x−2与直线y2=−14x+a16.如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，BD，过点A作AF⊥DE于点F.点G为线段FE上一点，连接BG，若∠1=45°，AB=10，则FG的长为______．17.如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程x2−7x+12=0的两个解(其中BC>AB).点E在BC边上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处．当△ECB′为直角三角形时，则B′C的长是______．18.图(1)，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从点A出发，沿三角形的边AC方向以1cm/秒的速度顺时针运动一周，图(2)是点P运动时，线段AP的长度y(cm)随运动时间x(秒)变化的关系图象，则图(2)中P点的坐标是______．

三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题5分)

计算：(20.(本小题6分)

2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩，绘制如图统计图．

(1)根据图中提供的数据列出如表统计表：平均成绩(分)众数(分)甲80b乙a90则a=______，b=______．

(2)现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．21.(本小题8分)

如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE=CF．

(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；

(2)若DB=10，AB=13，求平行四边形ABCD的面积．22.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AB的中点，点E在AC上，连接BE和DE，若∠CBE=2∠EDA，CE=6，求BE的长．23.(本小题11分)

如图，在直角坐标系xOy中，△OAB是等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，且点B的坐标是(2,0)，直线y=kx+32经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以AD为边在第一象限内作正方形ADEF．

(1)求点A的坐标和k的值；

(2)求直线EF

参考答案1.A

解：7是最简二次根式，故选项A正确；

9=3，不是最简二次根式，故选项B不正确；

40=210，不是最简二次根式，故选项C不正确；

15被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项D不正确，解：∵数据的平均数是6，

∴5+5+x+6+85=6，

解得x=6，

故选：C．

3解：A、72+232=578≠252=625，不能构成直角三角形，符合题意；

B、32+42=25=52，能构成直角三角形，不符合题意；

C、1解：根据二次根式的意义，被开方数3−2x≥0，解得x≤故选A．

5.D

解：由正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，

可得：m>0．

故选：D．

6.D

解：A．a−b=(a+b)(a−b)，只有a、b均为非负数时才成立，故此选项不符合题意；

B.a2+b2=|a|+|b|，故此选项不符合题意；

C.若a<0解：A、由OA=OC，AB=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；

B、由AB//CD，∠BAC=∠ACD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；

C、∵AB//CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，∠ABC+∠BCD=180°，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠ADC=∠ABC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；

D、由AB=CD，AD//BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；

故选：C．

8.B

解：连接AC，

由题意得：AC⊥CB，

在Rt△ACB中，∠ABC=90°−30°=60°，BC=15海里，

∴AC=BC⋅tan60°=153(海里)，

∴此时渔船与小岛A的距离为153海里，

故选：B解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，OD=OB，

∴∠DCE=∠CEB，

∵CE是∠DCB的平分线，

∴∠DCE=∠ECB，

∵EB=EA=EC，

∴∠ACB=90°，∠ECB=∠EBC，

∵AB//CD，

∴∠BCD+∠EBC=180°，

∴∠DCE=∠CEB=∠ECB=∠EBC=60°，

∴∠ACE=∠EAC=90°−60°=30°，故①正确，

∵OD=OB，AE=EB，

∴OE是△ABD的中位线，

∴OE//AD，故②正确，

∵AD//BC，

∴∠DAC=∠ACB=90°，

∴AD⊥AC，

∴S▱ABCD=AC⋅AD，故③正确，

假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，

故选：C．

解：(1)∵a、b满足(a+2)2+b−3=0，

∴a+2=0，b−3=0，

∴a=−2，b=3，

∴点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(−2,2)，

故(1)正确；

(2)三角形ABO的面积=12×OA×|xB|=12×3×2=3，

故(2)正确；

(3)设直线l2的解析式为y=kx+c(k≠0)，

将A、B的坐标代入y=kx+c，得：−2k+c=2c=3，解得：k=12c=3，

∴直线l2的解析式为y=12x+3，

令y=0，则x=−6，

∴C(−6,0)，

∴S△OBC=12×6×2=6，

∵S△ABO=3，

∴S△OBC：S△AOB=2：解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．

令y=x+4中x=0，则y=4，

∴点B的坐标为(0,4)；

令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=−4，

∴点A的坐标为(−4,0)．

∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，

∴点C(−2,2)，点D(0,2)．

∵点D′和点D关于x轴对称，

∴点D′的坐标为(0,−2)．

设直线CD′的解析式为y=kx+b，

∵直线CD′过点C(−2,2)，D′(0,−2)，

∴−2k+b=2b=−2，解得k=−2b=−2，

∴直线CD′的解析式为y=−2x−2．

令y=0，则0=−2x−2，解得：x=−1，

∴点P的坐标为(−1,0)．

故选：A．

12.解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°，AC=12AB，

∵△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

∴∠ACD=∠BAC，

∴CD//AB，

∵E为AB的中点，

∴BE=AE=12AB，

∴BE//CD，CD=BE=AE，

∴四边形BCDE为平行四边形，故②正确；四边形ADCE是平行四边形，

∵∠ACB=90°，AE=BE，

∴CE=AE=12AB，

∴四边形ADCE是菱形，故③正确；

∵四边形BCDE为平行四边形，

∴DF//BC，

又∵∠ACB=90°，

∴AC⊥DE，故①正确；

设AC=x，则AB=2x，

∴S△ACD=S△ACE=S解：∵22=4，

∴4的算术平方根是2．

故答案为：2．

14解：∵∠ACB=90°，D是边AB的中点，CD=6.5，

∴AB=2CD=13，

∵AC=12，

∴BC=AB2−AC2=5，

∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=12BC=2.5解：如图：当x<4时，y1<16.2解：如图：过B作BH⊥GE交GE延长线于H，∠BHE=90°，

∵正方形ABCD中，AB=10，

∴∠C=90°，BC=CD=AB=10，

∴∠BHE=∠C=90°，

∵点E为BC中点，

∴BE=CE=5，

∴DE=EC2+CD2=55，

∵∠BEH=∠CED，

∴△BHE∽△DCE，BHCD=HEEC=BEDE=555，即BH10=HE5=55，

解得：BH=25，HE=5，

∵∠1=45°，∠BHE=90°，

∴△BGH是等腰直角三角形，

∴HG=BH=25，

∴EG=GH−EH=5．

∵AF⊥DE，解：∵x2−7x+12=0，

∴(x−3)(x−4)=0，

则x−3=0或x−4=0，

解得x=3或x=4，

∵BC>AB，

∴BC=4，AB=3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，AD=BC=3，∠DAB=∠ABC=90°，

由折叠知AB=AB′=3，BE=B′E，∠ABC=∠AB′E=90°，

若∠CEB′=90°，且∠DAB=∠ABC=90°，

∴四边形ABEB′是矩形，且AB=AB′=3，

∴四边形ABEB′是正方形，

∴BE=B′E=3，

∴EC=BC−BE=1，

∴B′C=B′E2+EC2=10；

若∠EB′C=90°，且∠AB′E=90°，

∴∠AB′E+∠EB′C=180°，

∴点A，点B′，点C三点共线，

在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=5，

解：由图象可知：AC=6，BC=16−6=10，

当x=11时，即点P运动了11>6，

∴此时点P在线段BC上，CP=11−6=5，

则P为线段AC的中点，

又因为∠A=90°，

所以AP=12BC=5．

所以图(2)中P的坐标为(11,5)．

故答案为：(11,5)．

19.解：(3+1)(3−1)−820.解：(1)甲的众数为b=80，

乙的平均数为a=(50+60+70×2+80+90×3+100×2)÷10=80，

故答案为：80，80；

(2)应该选派乙，理由如下：

两位同学平均成绩一样，从众数看，乙的众数大．

21.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

∵BE⊥AD，BF⊥CD，

∴∠AEB=∠CFB=90°，

在△ABE和△CBF中，

∠A=∠CAE=CF∠AEB=∠CFB，

∴△ABE≌△CBF(ASA)，

∴AB=CB，

∴平行四边形ABCD是菱形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=13，

设AE=x，则DE=13−x，

在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2=AB2−AE2=DB2−DE2，

即1322.解：过D作DF⊥DE交BC于F，连接CD，EF，

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，

∴AD=CD=BD=12AB，∠ABC=∠DCE=45°，CD⊥AB，

∵∠EDF=90°，

∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

同理∠CDE=∠BDF，

∴△CDE≌△BDF(ASA)，

∴