福建省永安市第三中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE16-福建省永安市第三中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上.1.等差数列{}中，=2，=12，则=（）A.10 B.14 C.28 D.60【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的下标和性质可干脆得到答案.【详解】因为数列{}是等差数列，所以故选：B【点睛】本题考查的是等差数列的性质，较简洁.2.已知cosα=－，且，则sin2α的值等于（）A. B. C.－ D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系可得，再由二倍角的正弦公式即可得解.【详解】，，，.故选：C.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、二倍角的正弦公式的应用，考查了运算求解实力，属于基础题.3.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质和基本不等式逐一推断即可.【详解】若，，则，若，，则，故A错误；推不出，如，故B错误；若，但，故C错误若，则，故D正确故选：D【点睛】本题考查的是不等式的性质和对基本不等式的理解，较简洁.4.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°结果等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=.5.设变量满意约束条件，则目标函数的最大值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】依据约束条件画出可行域如图：目标函数z＝5x+y可化为y＝-5x+z，即表示斜率为-5，截距为z的动直线，由图可知，当直线过点时，纵截距最大，即z最大，由得A（1，0）∴目标函数z＝5x+y的最小值为z＝5故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最终通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.在中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.假如a，b，c成等比数列，∠B＝30°，的面积为，那么b＝（）A. B.1＋ C. D.6【答案】A【解析】【分析】由a，b，c成等比数列，则,由的面积为，可得，从而得到答案.【详解】由a，b，c成等比数列，则又∠B＝30°，的面积为，所以,得由，得故选：A【点睛】本题考查等比中项的应用和三角形面积公式的应用，属于基础题.7.设数列的前项和，则A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【详解】试题分析：由数列的前n项和及等差数列的性质得该数列是自然数列1,2,3,4，······，n故选C．考点：等差数列及前n项和公式8.在中，，，，则等于（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】干脆利用余弦定理可解出答案.【详解】因为在中，，，，所以由余弦定理可得，即所以，解得或故选：C【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简洁.9.等比数列中，，则等于（）A3 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】由题得把已知代入化简即得解.【详解】由题得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.10.设，且，则的值为A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】试题分析：利用裂项求和得选D．考点：裂项求和11.不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a－b等于（）A.10 B.14 C.－4 D.－10【答案】D【解析】【分析】由题意结合一元二次不等式与一元二次方程的关系可得方程的两根为和，由韦达定理解出、后即可得解.【详解】因为一元二次不等式的解集是，所以方程的两根为和，则，解得，，则.故选：D.【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程关系的应用，考查了运算求解实力，属于基础题.12.如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧河岸边选定一点，测出、的距离是，，，则、两点间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形的内角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【详解】由三角形的内角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故选：A【点睛】本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.13.已知△的角所对的边分别是，且，则角_______．【答案】【解析】试题分析：由余弦定理得考点：余弦定理．14.数列中，，，，则________【答案】420【解析】【分析】由题意结合累加法、等差数列前n项和可得，即可得解.【详解】因为，，，所以，，所以当时，，又，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了累加法求数列通项的应用，考查了等差数列前n项和的应用，属于基础题.15.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】依据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以有一元二次方程的判别式小于零，即.故答案为：【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了数学运算实力.16.下列结论中：①函数最小正周期为②当时，的最大值为；③；④不等式的解集为正确的序号有__________.【答案】②④【解析】【分析】结合协助角公式、三角函数的性质可推断①；由函数的单调性可推断②；举出反例可推断③；由分式不等式的解法可将原不等式转化为，再由穿根法即可推断④；即可得解.【详解】对于①，函数，所以函数最小正周期，故①错误；对于②，当时，函数单调递增，所以，故②正确；对于③，当，时，满意，，但此时，，，故③错误；对于④，，解得或，所以不等式的解集为，故④正确.故答案：②④.【点睛】本题考查了协助角公式及三角函数性质的应用，考查了函数单调性的应用及分式不等式的求解，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卷相应题目的答题区域内作答.17.设等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）设出等差数列的首项和公差，利用方程思想进行求解；（2）先求出数列的通项，且判定该数列为等比数列，再利用等比数列的前项和公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）因为数列是等差数列，设其公差为，由题设可得解得所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，可知数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此．考点：1.等差数列；2.等比数列．18.在中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且c=3，.（1）若，求角；（2）若，求△ABC的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求得，由于可得为锐角，确定值；（2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式得面积．【详解】（1），，由正弦定理：∴，∴，∴（2）由余弦定理：，代入上式：∴，．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，本题依据正弦定理与余弦定理干脆求解即可，驾驭正弦定理、余弦定理是解题基础．19.已知函数．（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，解关于的不等式．【答案】（1）；（2）当时，则不等式的解集为或；当时，此时不等式解集为；当时，则不等式的解集为或．【解析】【分析】（1）当时，解一元二次不等式求得解集.（2）当时，原不等式等价于.对分成三类，比较两者的大小，由此求得不等式的解集.【详解】（1）当时，不等式可化，即，解得，所以不等式的解集为．（2）当时，不等式可化为，即，则，当时，，则不等式的解集为或；当时，不等式化为，此时不等式解集为；当时，，则不等式的解集为或．【点睛】本小题考查一元二次不等式的解法，考查含有参数的一元二次不等式不等式的解法，考查分类探讨的数学思想方法，属于中档题.20.已知数列中，（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意结合等比数列的定义可得数列为等比数列，求出、后，由等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意，由等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】（1）因为在数列中，，，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；（2）由（1）知，∴，∴.【点睛】本题考查了等比数列的推断与通项公式的应用，考查了等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.21.在中，分别为角所对的边，且.（1）试确定角的大小；（2）若为锐角三角形，，求的最大值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）依据正弦定理，结合特别角的三角函数值进行求解即可；（2）解法一：依据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可；解法二：依据正弦定理，结合锐角三角形的性质、协助角公式、正弦型三角函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）依据正弦定理由，可得，，所以或；（2）解法一：由（1）知，由余弦定理得：，即故，即（当且仅当时取等号），故当时，；解法二：由(Ⅰ)知，由正弦定理知因为为锐角三角形，所以，所以因为，所以当时，即当时，.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了协助角公式和正弦型函数的单调性应用，考查了数学运算实力.22.已知函数，其图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到的图象，求在上的单调递增区间.【答案】（1）；