福建省三明市第一中学2024-2025学年高二上学期8月开学考试数学

三明一中20242025学年上学期高二8月月考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（）A. B. C. D.2.若构成空间一组基底，则下列向量不共面的为（）A.，， B.，，C.，， D.，，3.下列说法不正确的是（）A.若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量B.若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直C.是任意一个平面的一个法向量D.一个平面的法向量是不唯一的4.如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（）A. B.C. D.5.空间向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（）A1 B.2 C.4 D.87.已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（）.A. B.1 C. D.8.已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（）A.B.当时，C.若，，则D.平行六面体的体积二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则，使得 D.若，则10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若，则向量，夹角是锐角B.空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面11.在四面体中，已知，，则（）A.直线AC与DB所成的角为B.直线AD与平面ABC所成角的正弦值为C.平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为D.若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知向量，，且，则________．13.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________.14.正方体的棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）．16.已知空间三点，，，设，．（1）若与互相垂直，求实数的值；（2）若，，求．17.如图，在平行六面体中，，.（1）求体对角线的长度；（2）求证：四边形为正方形.18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，.（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.（1）证明：向量是平面的法向量；（2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.三明一中20242025学年上学期高二8月月考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解.【详解】由题意，长方体中，，，，可得，因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为.故选：A.2.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.【详解】构成空间的一组基底，则不共线，假设共面，则存在不全为零的实数，使，即，则，则，与不共线矛盾，故不共面；，故共面；，故共面；，故共面.故选：.3.下列说法不正确的是（）A.若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量B.若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直C.是任意一个平面的一个法向量D.一个平面的法向量是不唯一的【答案】C【解析】【分析】由直线方向向量的定义，平面的法向量的定义及性质即可判断.【详解】对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量，是正确的；对于B，由平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于平面共面的所有向量，若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的；对于C，由平面的法向量的定义可知，是任意一个平面的一个法向量，是错误的；对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的.故选：C.4.如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则，∴．故选:B．5.空间向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】，，由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，故选：C.6.由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根据数量积的几何意义即可求解.【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为，由数量积的几何意义可知，.故选：A7.已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（）.A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果.【详解】由题意取，则，所以到的距离为.故选：C8.已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（）A.B.当时，C.若，，则D.平行六面体的体积【答案】C【解析】【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断.【详解】对于A，，而，故，正确；对于B，，当时，有意义，则，正确；对于C，因为，，所以，，所以，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则，使得 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据线线，线面，面面位置关系，即可得直线的方向向量及法向量间的关系.【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，所以则，使得，故C正确；对于D，若，则，故D正确.故选：ACD.10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若，则向量，的夹角是锐角B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面【答案】BC【解析】【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D.【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故A错误；对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.对C，因为，且，所以四点共面,故C正确.对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选：BC.11.在四面体中，已知，，则（）A.直线AC与DB所成的角为B.直线AD与平面ABC所成角的正弦值为C.平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为D.若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】由题意，把四面体放置在一个长方体中，设长方体棱长分别为，求得，以为坐标原点，结合向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，把四面体放置在一个长方体中，如图所示，设长方体的棱长分别为，可得，解得，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，对于A中，直线与为异面直线，所以直线与所成的角，则，所以A不正确；对于B中，由，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成角为，可得，所以B正确；对于C中，由，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设平面和平面所成的角为，可得，所以C正确；对于D中，取的中点，分别连接，因为，可得和，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，所以线段为异面直线和的公垂线段，即和上两动点的最短距离，又由，，所以，即和上两动点的最短距离为，所以D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则________．【答案】2【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.【详解】由于，所以，解得，故答案为：213.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________.【答案】【解析】【分析】利用空间位置的向量关系即可求解.【详解】平面的法向量为，依题意，，则，因此，所以.故答案为：14.正方体的棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面的法向量，根据平面，可得,进而求出的坐标，再根据外接球球心O在过的外心且垂直面ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球的表面积.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，，则，令，解得，所以，又平面，所以,所以，解得：，再根据下图：作的平行线,分别为的中点，连接,因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直面的垂线上，连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离都相等，故,故,由题可设，,所以，又,所以,解得：，所以所以,所以球的表面积为,故答案为：【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由于是的中点,所以，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；（2）由于是的中点,所以，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；（3）由于，分别，的中点，所以，又是的中点，，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；【小问1详解】解：因为是的中点，所以，所以，；【小问2详解】解：因为是的中点,所以，所以，；【小问3详解】解：因为，分别，的中点，所以，又是的中点，，所以，.16.已知空间三点，，，设，．（1）若与互相垂直，求实数的值；（2）若，，求．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案.【小问1详解】，故，，因为互相垂直，所以，解得或；【小问2详解】，设，则且，解得或，故或；17.如图，在平行六面体中，，.（1）求体对角线长度；（2）求证：四边形为正方形.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出.（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判断推理即得.【小问1详解】在平行六面体中，，由，，得，所以.【小问2详解】在平行六面体中，，则四边形为平行四边形，由，，得是等边三角形，即，则为菱形；又，则，即，所以四边形为正方形.18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，.（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（i）；（ii）存在，【解析】【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，从而得证；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面的距离公式法求解即可.【小问1详解】取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点，∴，∵，∴，∴四边形ABMN是平行四边形，∴，又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．【小问2详解】∵，∴，∴，∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，∴平面ABCD，又AD，平面ABCD，∴，而，，∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线