爱提分中考复习 4一轮-图形的性质-第08讲 圆（一）(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱圆（1）知识精讲​知识精讲一．圆的相关概念与性质1．圆的相关概念（1）圆的概念①描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径；②集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（2）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．（3）弦与弧的相关概念：①弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；②直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍；③弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；④弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作；⑤等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；⑥半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；⑦优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．（4）圆心角与圆周角①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；②圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；③将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧；④圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（5）圆内接四边形的概念如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆．2．垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．3．圆周角定理（1）圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（2）圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意：推论3不可以直接利用，需要证明．

方法点拨一．圆与新定义此类属于中考压轴题，比较综合，难度较大，与其他新定义题目比较起来，圆的新定义问题在求最值和参数范围的时候更难讨论一些，但是同样可以参照其他新定义题目的做法，紧抓定义，围绕定义作答，取特殊状态找到参数的范围两个临界值，在此介绍一下圆的方程，利用代数方法可在时间紧迫下求解：1．设圆心为，坐标为，半径为，则此圆的方程为（即圆上任意一点坐标代入次方程均满足方程成立）；2．平面直角坐标系中常见结论：（1），；（2），；（3）说明：这里面为直线与轴正半轴夹角，当夹角为锐角时，我们正常取正值，当夹角为钝角时，我们取；（4）两点间距离公式：．三点剖析一．考点：圆的相关概念与性质；与圆有关的新定义问题二．重难点：垂径定理与圆周角定理圆的基本概念和性质例题例题1、如图，AB是圆O的直径，它把圆O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦，的平分线交圆O于点P，当C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（）AACODPBA.到CD的距离保持不变B.位置不变C.随C点的移动而移动D.等分例题2、下列说法中，（1）长度相等的两条弧一定是等弧；（2）半径相等的两个半圆是等弧；（3）同一条弦所对的两条弧一定是等弧；（4）直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线．其中正确说法的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个例题3、如图，⊙O的弦AB=8，P是劣弧AB中点，连结OP交AB于C，且PC=2，则⊙0的半径为（）A.8B.4C.5D.10例题4、如图，DE为半圆的直径，O为圆心，，延长DE到A，使得，直线AC与半圆交于B、C两点，且.（1）求弦BC的长；（2）求的面积．AABCDEO随练随练1、下列命题：直径是弦，弦是直径，弧是半圆，半圆是弧，其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个随练2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A.B.C.D.随练3、如图，已知圆的两条半径与互相垂直，为上的一点，且，求∠OAC的度数．随练4、已知：如图，和相交于、两点，动点在上，且在外，直线、分别交于、，问：的弦的长是否随点的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定最长和最短时点的位置，如果不发生变化，请你给出证明．随练5、已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且；（1）求证：；（2）求证：．随练6、已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．与圆有关的新定义问题例题例题1、对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．（1）如图1，已知点，，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可）（2）如图2，已知点，点（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为，求m的值；（3）若是抛物线的τ型点，直接写出n的取值范围．例题2、对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得，则称P为⊙C的关联点．已知点，，．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使，若直线l上的点是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．随练随练1、在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．拓展拓展1、下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A.①②③④⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.②④⑤拓展2、如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=8，则⊙O的半径是（）A.3B.4C.5D.拓展3、如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（）A.15°B.20°C.25°D.30°拓展4、已知如图，正方形AEDG的两个顶点A、D都在⊙O上，AB为⊙O直径，射线ED与⊙O的另一个交点为C，试判断线段AC与线段BC的关系．DDOBCAEG拓展5、我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图