高考总复习理数（北师大版）课件第7章第5节直接证明与间接证明

不等式、推理与证明第七章第五节直接证明与间接证明考点高考试题考查内容核心素养直接证明与间接证明未单独考查命题分析对直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等综合考查.02课堂·考点突破03课后·高效演练栏目导航01课前·回顾教材01课前·回顾教材1．直接证明综合法分析法定义从_____________出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过______推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.从____________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的________条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法.命题的条件演绎求证的结论充分综合法分析法思维过程由因导果执果索因证题骤P(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn⇒Q(结论)Q(结论)⇐Q1⇐Q2⇐…⇐Qn⇐P(已知)文字语言因为……，所以……或由……，得……要证……，只需证……，即证……符号语言⇒⇐2.间接证明反证法定义在证明数学命题时，先假定命题结论的________成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的________不可能成立，由此断定命题的________成立．这种证明方法叫作反证法.证明步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论.适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.反面反面结论提醒：辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)×

(6)×2．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的(

)A．充分条件

B．必要条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件B

解析：由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．命题“对于任意角θ，cos4

θ－sin4

θ＝cos2θ”的证明：“cos4

θ－sin4

θ＝(cos2

θ－sin2

θ)(cos2

θ＋sin2

θ)＝cos2

θ－sin2

θ＝cos2θ”过程应用了(

)A．分析法 B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法B

解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确．4．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(

)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°B

解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”．答案：0＜2[明技法]分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．02课堂·考点突破分析法的应用[明技法]综合法证题的思路综合法的应用反证法的应用[明技法]用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾．(3)否定反设，得出原命题结论成立．[提能力]【典例】

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足