2025届高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式作业试题1含解析新人教版

PAGE第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题﹒考点自测1.sin2·cos3·tan4的值()A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在2.已知点P(cos300°,sin300°)是角α终边上一点,则sinα-cosα= ()A.QUOTE+QUOTE B.-QUOTE+QUOTEC.QUOTE-QUOTE D.-QUOTE-QUOTE3.[2024全国卷Ⅰ,5分]tan255°= ()A.-2-QUOTE B.-2+QUOTEC.2-QUOTE D.2+QUOTE4.[2024全国卷Ⅱ,5分]若α为第四象限角,则 ()A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0 D.sin2α<05.已知sinα+cosα=QUOTE,α∈(0,π),则QUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE6.[2024北京,5分]如图4-1-1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 ()A.4β+4cosβ B.4β+4sinβC.2β+2cosβ D.2β+2sinβ图4-1-17.[2024全国卷Ⅰ,5分]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=QUOTE,则|a-b|= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.18.[多选题]下列说法正确的是 ()A.其次象限角大于第一象限角B.无论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关C.若sinα=sinβ,则α与β的终边相同或关于y轴对称D.若cosθ<0,则θ是其次或第三象限的角拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形,现有如图4-1-3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短,则方案更优.

图4-1-32.(1)[2024洛阳市联考]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线y=3x重合,且sinα<0,P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=QUOTE(O为坐标原点),则m-n等于 ()A.2 B.-2 C.4 D.-4(2)[2017北京,5分]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=QUOTE,则cos(α-β)=.

3.(1)[2024全国卷Ⅰ,5分]已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE(2)[2016全国卷Ⅲ,5分]若tanα=QUOTE,则cos2α+2sin2α= ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE(3)[2024全国卷Ⅱ,5分]已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.

4.(1)[2017全国卷Ⅲ,5分]函数f(x)=QUOTEsin(x+QUOTE)+cos(x-QUOTE)的最大值为 ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.QUOTE(2)设f(α)=QUOTE(1+2sinα≠0),则f(-QUOTE)=.5.已知tanα=2,则cos(QUOTEπ+2α)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE答案第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.A因为QUOTE<2<3<π<4<QUOTE,所以2rad和3rad的角是其次象限角,4rad的角是第三象限角,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,所以sin2·cos3·tan4<0.2.D由点P(cos300°,sin300°)是角α终边上一点,可得sinα-cosα=sin300°-cos300°=-QUOTE-QUOTE.3.D由正切函数的周期性可知,tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=QUOTE=2+QUOTE,故选D.4.D∵α为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故选D.5.A解法一sinα+cosα=QUOTE,两边同时平方得1+2sinαcosα=QUOTE,所以sinαcosα=-QUOTE<0,又α∈(0,π),所以sinα>0,则cosα<0,所以sinα-cosα>0.因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=QUOTE,所以sinα-cosα=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,故选A.解法二因为sinα+cosα=QUOTE,所以QUOTEsin(α+QUOTE)=QUOTE,sin(α+QUOTE)=QUOTE<QUOTE,又α∈(0,π),故α+QUOTE∈(QUOTE,π),则cos(α+QUOTE)=-QUOTE=-QUOTE.所以tan(α+QUOTE)=QUOTE=-QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE.6.B图D4-1-1如图D4-1-1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,则阴影区域面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当△ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧APB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时△ABP面积最大,阴影区域面积也最大.下面计算当点P为优弧APB的中点时阴影区域的面积.因为∠APB为锐角,且∠APB=β,所以∠AOB=2β,∠AOP=∠BOP=180°-β,则阴影区域的面积S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=2×QUOTE×2×2sin(180°-β)+QUOTE×22×2β=4β+4sinβ,故选B.7.B由题意知QUOTE=QUOTE,即b=2a.因为cos2α=2cos2α-1=QUOTE,所以cos2α=QUOTE,即(QUOTE)2=QUOTE,所以a2=QUOTE,则|a-b|=|-a|=|a|=QUOTE.8.BC第一象限角370°大于其次象限角100°,故A错误;易知BC正确;当θ=π时,cosθ=-1<0,此时θ既不是其次象限角,也不是第三象限角,故D错误.故选BC.1.一由已知可知A=B=QUOTE,AM=BN=1,AD=2,则方案一中扇形的弧长为2×QUOTE=QUOTE,方案二中扇形的弧长为1×QUOTE=QUOTE;方案一中扇形的面积为QUOTE×22×QUOTE=QUOTE,方案二中扇形的面积为QUOTE×12×QUOTE=QUOTE.由此可见:两种方案中利用废料面积相等,方案一中切割时间更短.因此方案一更优.2.(1)A因为P(m,n)在直线y=3x上,所以n=3m①,又sinα<0,所以m<0,n<0.由|OP|=QUOTE,得m2+n2=10②.联立①②,并结合m<0,n<0,可得m=-1,n=-3,所以m-n=2.(2)-QUOTE解法一因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以α+β=2kπ+π,k∈Z,所以cos(α-β)=cos(2kπ+π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=-[1-2×(QUOTE)2]=-QUOTE.解法二因为sinα=QUOTE>0,所以角α为第一象限角或其次象限角.当角α为第一象限角时,可取其终边上一点(2QUOTE,1),则cosα=QUOTE,又点(2QUOTE,1)关于y轴对称的点(-2QUOTE,1)在角β的终边上,所以sinβ=QUOTE,cosβ=-QUOTE,此时cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=QUOTE×(-QUOTE)+QUOTE×QUOTE=-QUOTE;当角α为其次象限角时,可取其终边上一点(-2QUOTE,1),则cosα=-QUOTE,因为点(-2QUOTE,1)关于y轴对称的点(2QUOTE,1)在角β的终边上,所以sinβ=QUOTE,cosβ=QUOTE,此时cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-QUOTE)×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE.综上可得,cos(α-β)=-QUOTE.3.(1)A∵3cos2α-8cosα=5,∴3(2cos2α-1)-8cosα=5,∴3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=2(舍去)或cosα=-QUOTE.∵α∈(0,π),∴sinα=QUOTE=QUOTE.故选A.(2)A解法一由tanα=QUOTE=QUOTE,cos2α+sin2α=1,得QUOTE或QUOTE则sin2α=2sinαcosα=QUOTE,则cos2α+2sin2α=QUOTE+QUOTE=QUOTE.故选A.解法二cos2α+2sin2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.故选A.(3)-QUOTE解法一∵sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,∴sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1①,cos2α+sin2β+2cosαsinβ=0②,①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,∴sin(α+β)=-QUOTE.解法二由已知可得sinα=1-cosβ,cosα=-sinβ,由同角三角函数关系式可得sin2α+cos2α=(1-cosβ)2+(-sinβ)2=1,整理得cosβ=QUOTE,所以sinα=QUOTE.又cosα=-sinβ,所以cosαsinβ=-cos2α=sin2α-1=-QUOTE,故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-QUOTE.4.(1)A因为cos(x-QUOTE)=cos[(x+QUOTE)-QUOTE]=sin(x+QUOTE),所以f(x)=QUOTEsin(x+QUOT