分类加法计数原理与分步乘法计数原理 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

主讲教师：学校：年级：高二学科：高中数学（人教A版）问题

近期学校新购置了一批课桌，需要对每张课桌设定一个编号（由1个字母和2个数字组成），编号的第一个位置要求是字母，后两个位置是数字（可以重复），你觉得有多少种不同的编号？这就是本章要研究的“计数”问题.如果问题中数量较少，通过列举一个一个地数也是计数的一种基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高或者不现实.所以我们有必要去探索一些高效巧妙的计数方法。问题分析具体问题要做一件什么事情思考1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？给一个座位编号怎么去做这件事情在字母或数字中选择一个每类能否单独完成能够，关键词是“或”如何计数26+10=36（种）你能概括出上述计数过程的基本环节吗？（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类（2）分别计算各类号码的个数（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.例1

在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表所示：A大学B大学生物学数学化学会计学医学经济学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情

每类能否单独完成如何计数选择一个专业从A大学或B大学中选择一个专业能够，关键词是“或”5+4=9（种）变式1如果数学也是A大学的强项专业，如右表所示：那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，如果只能选一个专业，那么这名同学共有多少种选择？注意：运用分类加法计数原理的前提条件是：每类不同方案中的方法互不相同.A大学B大学数学数学生物学会计学化学经济学医学法学物理学工程学解：因为只区分专业选择的不同，而不区分专业从属学校的差异，所以当数学均为A，B两所大学的强项专业时，专业可选择种数为6+4－1=9.变式2在例1的条件下增加C大学的2个不同专业，如右表所示：这时这名同学从中选择一个专业，共有多少种选择？A大学B大学C大学生物学数学教育学化学会计学心理学医学经济学物理学法学工程学解：因为3所大学没有一个专业是相同的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为N=5+4+2=11.小结：如果完成一件事有三类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+m3种不同的方法.延伸：如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+……+mn种不同的方法.你能举几个生活中可以运用分类加法计数原理的计数例子吗?问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情

每类能否单独完成如何计数思考2：用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？注意：树状图是解决计数问题常用的方法.问题分析具体问题要做一件什么事情给一个座位编号怎么去做这件事情先选一个字母，再选一个数字每步骤能否单独完成

不能，关键词是“和”如何计数6×9=54（种）字母A数字123456789得到的号码A1A7A5A9A4A2A3A6A8你能概括出上述计数过程的基本环节吗？（1）确定分步标准，根据问题条件分为先确定字母，后确定数字两步（2）分别计算各步方法个数（3）各步方法的个数相乘，得出所有号码的个数.一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.注意：无论第一步采用哪种方法，与之对应的第二步都有相同的方法数.例2某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每步骤能否单独完成如何计数选男生和女生各一名先从男生中选一名，再从女生中选一名不能，关键词是“和”30×24=720（种）变式

某班有男生30名，女生24名以及任课老师6名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛以及选出1名任课老师为比赛学生加油，共有多少种不同的选法？解：这里要完成的事情是“选男生，女生以及任课老师各1名”，可以分3个步骤：第一步，选男生，有30种选法；第二步，选女生，有24种选法；第三步，选任课老师，有6种选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N=30×24×6=4320.小结：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步中有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3种不同的方法.延伸：如果完成一件事需要n个步骤，做每一步分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×……×mn种不同的方法.你能举几个生活中可以运用分步乘法计数原理的计数例子吗?问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情

每步骤能否单独完成如何计数例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情

每类能否单独完成

如何计数

4+3+2=9（种）从书架上取1本书从第一层或第二层或第三层中挑选一本书

能够，关键词是“或”例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每步骤能否单独完成

如何计数

4×3×2=24（种）从书架上取3本书先从第一层挑1本书

再从第二层挑1本书最后从第三层挑1本书不能，表达“和”的意思变式

书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从中任取2本不同学科的书，有多少种不同取法？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成

如何计数

4×3+4×2+3×2=26（种）从书架上取2本不同学科的书挑选计算机书和文艺书各1本

或挑选计算机书和体育书各1本或挑选文艺书和体育书各1本能够，但每一类内部又要分步完成回顾问题

近期学校新购置了一批课桌，需要对每张课桌设定一个编号（由1个字母和2个数字组成），编号的第一个位置要求是字母，后两个位置是数字（可以重复），你觉得有多少种不同的编号？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每步骤能否单独完成

如何计数

26×10×10=2600（种）设定一个编号先第一个位置选字母

再第二个位置选数字最后第三个位置选数字不能，关键词是“和”课堂小结1.分类加法计数原理：2.分步乘法计数原理：如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+……