2.2 基本不等式（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

2.2基本不等式（精练）1直接型1．（2022·江西）当时，的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由（当且仅当时等号成立．）可得当时，的最小值为故选：D2．（2022·广东茂名·高一期末）若a，b都为正实数且，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由基本不等式可得，即，解得，当且仅当，即，时，取等号，故选：C.4．（2022·浙江杭州·高一期末）若为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因为为正实数，，所以，当且仅当，即，时取等号.所以的最小值为.故选：D5．（2022·广东深圳·高一期末）已知，则的最大值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【解析】时，（当且仅当时等号成立）则，即的最大值为0.故选：C6．（2022·北京通州·高一期末）已知函数，则（

）A．当且仅当时，有最小值为B．当且仅当时，有最小值为C．当且仅当时，有最大值为D．当且仅当时，有最大值为【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当即时等号成立.故选：A.7．（2022·北京东城·高一期末）已知实数x，y满足，那么的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，当且仅当或时等号成立.故选：C.8．（2022·北京丰台·高一期末）已知a>0，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为a>0，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：D9．（2022·上海浦东新·高一期末）任意，下列式子中最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.当时，，排除；B.，当且仅当时等号成立，符合；C.，当且仅当时等号成立，排除；D.，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.故选：B.2常数代换型1．（2022·四川省）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4.故选：D.2．（2022·河南信阳·高一期末）设，且，则的最小值是（

）A． B．8 C． D．16【答案】B【解析】由题意，故则当且仅当，即时等号成立故选：B3．（2022·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】B【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即，，等号成立．所以的最小值为25，故选：B4．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）已知a，b＞0，且a＋2b＝1，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】∵a＋2b＝1，∴＝＝9，当且仅当时即时等号成立,故选：C.5．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.6．（2022·甘肃·永昌县）（多选）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于，下列说法准确的是（

）A．取得最小值时a＝ B．最小值是5C．取得最小值时b＝ D．最小值是【答案】AD【解析】，当且仅当，即时取等号.故AD正确，BC错误.故选：AD.7．（2022·江苏淮安·高一期末）已知实数x，y>0，且，则的最小值是________．【答案】【解析】∵x，y>0，且，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最小值是，故答案为：8．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．【答案】【解析】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.3配凑型1．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】因为.所以.当且仅当“”即时取“=”.故选：B.2．（2021·辽宁·沈阳市第五中学）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.3．（2022·浙江省乐清中学）已知实数，则的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，，当且仅当，即时取等号，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2，故选：C4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数，则的最大值为_________．【答案】【解析】（当且仅当，时取等号），的最大值为.故答案为：.5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知，则的最小值为___

.【答案】1【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，，令，因为在上递增，所以，故答案为：16．（2022·重庆·高一期末）已知，且，则的最小值为____________.【答案】【解析】由题意得：，当且仅当时取得等号，故答案为：4消元型1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】由，得，而，则有，因此，，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为2.故选：D2．（2021·江苏·常州市北郊高级中学）已知，且，则最大值为______．【答案】【解析】由且，可得，代入，又，当且仅当，即，又，可得，时，不等式取等，即的最大值为，故答案为：．3．（2022·浙江）已知，若，则的最大值为_______．【答案】【解析】由条件可知，则，，，，设，，当，即时，等号成立，所以的最大值是.故答案为：4（2021·浙江高三期末）已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.【答案】【解析】由x2+xy=1，得，所以，当且仅当时取等号.故答案为：.5（2022云南）．若正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得当且仅当时，等号成立.则的最小值为故答案为：6．（2021·全国高三）已知，，且，则的最小值为【答案】【解析】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时，.7（2022年福建）.若正数满足，则的最小值是。【答案】4【解析】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立5求参数1．（2022·河南新乡·高一期中）已知，，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，所以（当且仅当，即，时，等号成立），所以.由推得出，由推不出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A2．（2022·河南）若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意得，当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．故选：B3．（2022·河南·虞城县高级中学高一期末）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．【答案】【解析】由得．又，当且仅当，即当时等号成立，∴，∴的最大值为．故答案为：5．（2022·江苏·高一）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．【答案】或【解析】不等式有解，，，，且，，当且仅当，即，时取“”，，故，即，解得或，故答案为：或．6．（2021·河南·高一阶段练习）已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】因为x、y为两个正实数，由可得，因为，当且仅当时，等号成立．所以，因此，实数a的取值范围是,故答案为：7．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案为：8．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【答案】36【解析】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，由题意知＝3，∴a＝36.故答案为：6综合运用1．（2022·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；对于选项B：，，∴B错误；对于选项C：，因为∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，∴，D正确；故选：D2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对A，可取负数，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，等号成立当且仅当，故D正确；故选：D3（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知，则（

）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最小值为D．的最小值为16【答案】BCD【解析】由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：当且仅当时，等号成立，此时，解得：或，因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，即，解得：或，因为，所以舍去，故的最小值为4，B正确；由变形为，则，由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，此时，令，则由，解得：或（舍去）所以的最小值为，C正确；由可得：，从而当且仅当时，即，等号成立，故最小值为16.故选：BCD，4．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）（多选）设正实数､满足，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】对于A中，由，可得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；对于B中，由基本不等式得，所以，解得，所以B正确；对于C中，由基本不等式可得，因为，故，当且仅当时，等号成立，所以C错误；对于D中，由正实数满足，则，可得，故，所以D正确.故选：ABD.5．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）（多选）若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值【答案】AD【解析】选项A：由（当且仅当时等号成立），得，故有最大值.判断错误；选项B：（当且仅当时等号成立），则，则有最大值.判断正确；选项C：（当且仅当时等号成立），故有最小值4，判断正确；选项D：（当且仅当时等号成立），所以有最小值.判断错误.故选：AD.6．（2022·福建龙岩·高一期末）（多选）设，且，则下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于选项A，因为，且，则，由，则，即，解得，故A正确，对于选项B，因为，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，故B错误；对于选项C，，且，则，即，由选项B可得：，当且仅当时取等号，故C正确；选项D：因为，当且仅当时取等号，故D错误.故选：AC．7．（2022·贵州六盘水·高一期中）（多选）若x，．且，则（

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