第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末重难点归纳总结（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

第2章一元二次函数、方程和不等式章末重难点归纳总结考点一基本不等式常见考法【例1-1】（2022·浙江·温州中学）若正数满足，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】C【解析】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故选：C【例1-2】（2022·湖北十堰·高一期末）若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．49 D．81【答案】D【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D【例1-3】（2021·四川德阳·高一期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)【答案】C【解析】不等式等价于，设，显然a=0不符合题意，若，，是开口向上，零点分别为1和的抛物线，对于，解集为或，不符合题意；若，则是开口向下，零点分别为1和的抛物线，对于，依题意解集为，，即，故选：C.【例1-4】（2021·江苏·高一专题练习）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】正实数，满足，当且仅当且，即，时取等号，存在，使不等式有解，，解可得或，即，故选：C．【一隅三反】1．（2022·四川德阳）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)【答案】C【解析】不等式等价于，设，显然a=0不符合题意，若，，是开口向上，零点分别为1和的抛物线，对于，解集为或，不符合题意；若，则是开口向下，零点分别为1和的抛物线，对于，依题意解集为，，即，故选：C.2．（2022·天津红桥·）若，都是正数，且，则的最小值为（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【解析】若，都是正数，且，当且仅当时等号成立，故选：A.3．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设，，且，则的最大值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，，当且仅当，时取等号，∴．故选：B．4．（2022·全国·专题练习）（1）已知，则取得最大值时的值为________．（2）已知，则的最大值为________．（3）函数的最小值为________．【答案】（1）

（2）

1

（3）【解析】（1），当且仅当，即时，取等号．故答案为：.（2）因为，所以，则,当且仅当，即时，取等号．故的最大值为1.故答案为：1.（3）.当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.5．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值是___________.【答案】##【解析】因为正实数、满足，则，由可得，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：.考点二三个一元二次的关系【例2-1】（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】由题意得，即，所以即，解得．故选：B【例2-2】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C【例2-3】（2022·江西宜春）已知，q：方程有两个不相等的实数根，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程有两个不相等的实数根，当且仅当，解得或，显然，，，所以p是q的充分不必要条件.故选：A【一隅三反】1．（2022·江苏·高一）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】关于x的不等式的解集为，，，可化为，，关于x的不等式的解集是．故选：D．2．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为则（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为【答案】BC【解析】因为关于x的不等式的解集为所以，是方程，所以A错误，，则，对于B，由，得，因为，所以，所以不等式的解集为，所以B正确，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，不等式可化为，因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，所以D错误，故选：BC30（2022广东）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式的解集为或，关于的不等式的解集为(其中)(1)求，的值；(2)求集合；(3)是否存在实数，使得_______.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).【答案】(1)1、2；(2)当时，；当时，；当时，；(3)若选①：；若选②：或；若选③：.【解析】(1)由一元二次不等式的解集为或，得，且方程的两根为、，∴解得(2)由(1)可知即为，即．m＜2时，；m＝2时，不等式无解；m＞2时，．综上，当时，；当时，；当时，．(3)由(1)知或，若选：，则，当时，，不满足；当时，，满足；当时，，满足；∴选，则实数的取值范围是；若选：，当时，，则；当时，，不满足；当时，，满足；∴选，则实数的取值范围是或；若选③：，，当时，，则m≥1，∴；当时，，满足当时，，不满足．∴选，则实数m的取值范围是.考点三恒成立或存在问题【例3-1】（2022·全国·专题练习）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题意可知，不等式在上有解，∴，∴实数的取值范围为，故答案为：【例3-2】（2022·全国·专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为A．，， B．，，C．，， D．【答案】C【解析】令，则不等式恒成立转化为在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范围为．故选：C．【一隅三反】1．（2022·江西吉安）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．2．（2022·全国·专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，该不等式为，成立；当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得，综上所述，的取值范围是，故选：A.3．（2021·全国·高一课时练习）关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为不等式对恒成立，所以对恒成立，所以，当时，对恒成立．当时，由题意，得，即，解得，综上，的取值范围为．故选：C4．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】由于“存在，”为假命题，所以“”，为真命题，所以在区间上恒成立，在区间上，当时，取得最大值为，所以.故答案为：5．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】由题意得，“，”是真命题，则对恒成立，在区间上，的最小值为，所以，即a的取值范围是.故答案为：6．（2021·全国·高一专题练习）若不等式在时有解，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】由，得，因为，所以有解，令，则在上单调递增，所以，所以，故答案为：7（2022·江苏）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为关于的不等式在上有解，的最大值为4所以，解得故答案为：考点四含参一元二次不等式解法【例4-1】（2022·四川）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)【答案】C【解析】不等式等价于，设，显然a=0不符合题意，若，，是开口向上，零点分别为1和的抛物线，对于，解集为或，不符合题意；若，则是开口向下，零点分别为1和的抛物线，对于，依题意解集为，，即，故选：C.【例4-2】（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知关于的不等式(1)若不等式的解集为，则实数的值；(2)若，求不等式的解集．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】(1)不等式，依题意，是方程的二根，且，因此，，解得，所以实数的值是.(2)由（1）知，，当时，解得，当时，不等式化为，解得或，当时，不等式化为，当时，有，解得，当时，有，不等式无解，当时，有，解得，所以当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为.【一隅三反】．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.【答案】答案见解析【解析】（1）当时，不等式为，解集为；时，不等式分解因式可得当时，故，此时解集为；当时，，故此时解集为；当时，可化为，又解集为；当时，可化为，又解集为.综上有，时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为（2）把化简得，①当时，不等式的解为②当，即，得，此时，不等式的解为或③当，即，得或，当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为，④当，得，此时，，解得且，综上所述，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为且，当时，不等式的解为或，（3），，①时，，可得；②时，可得若，解可得，或；若，则可得，当即时，解集为，；当即时，解集为，；当即时，解集为.（4）不等式可化为.①当时，，解集为，或；②当时，，解集为；③当时，，解集为，或.综上所述，当时，原不等式的解集为，或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，或.（5）当时，不等式即，解得.当时，对于方程，令，解得或；令，解得或；令，解得或，方程的两根为.综上可得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（6）原不等式可变形为.①当时，则有，即，解得；②当时，，解原不等式得或；③当时，.（i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解；（ii）当时，即当时，解原不等式得；（iii）当时，即当时，解原不等式可得.综上所述：①当时，原不等式的解集为；②当时，原不等式的解集为；③当时，原不等式的解集为；④当时，原不等式的解集为；⑤当时，原不等式的解集为.（7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x<2，所以原不等式的